Problème proposé par Raymond Bloch
Dans ce grand parc poussent depuis des siècles:
1) des séquoias géants (Sequoiadendron giganteum) plantés aux sommets A,B,C,D,.... d'un polygone (P) régulier de n côtés. Les sommets A,C et D sont tels que la plus grande hauteur du triangle ACD est égale à la somme des deux autres hauteurs.
2) des séquoias à feuille d'if (Sequoia sempervirens) qui occupent des sommets de polygones
PA,PB,PC ....homothétiques au polygone P. Sur chacun de ces polygones on trouve deux séquîoas géants et n
‒ 2 séquoias à feuille d'if.
La figure ci-dessus fait apparaître pour chacun des polygones PA,PB,PC ....quatre sommets sur les n sommets, à savoir les sommets A,a₁,a₂,B du polygone PA, puis les sommets B, b₁,b₂,C du polygone PB enfin les
sommets C,c₁,c₂,D, du polygone PC .Le même motif alterné se répète jusqu'au polygone passant par le n- ième séquoia géant et par le sommet A.
Q₁ Déterminer le nombre n de séquoias géants et le nombre de séquoias à feuille d'if.
Q₂ Démontrer les trois relations 1/AB = 1/AC + 1/AD , Aa₂ + AB = AC et Aa₁ + Aa₂ + AB = AD.
Q1 : Si O est le centre du polygone (P), AOB=2π/n, AOC=4π/n, AOD=6π/n,
OAB=(n-1)π/n, OAC=(n-2)π/n, OAD=(n-3)π/n donc ABD=(2n-3)π/n, BAD=2π/n, ADB=π/n ; puisque hD=hA+hB, 1/sin(ADB)=1/sin(BAD)+1/sin(ABD) c’est-à-dire 1/sin(π/n)=1/sin(2π/n)+1/sin(3π/n) ; sin(2π/n)sin(3π/n)=sin(π/n)(sin(2π/n)+sin(3π/n)) soit cos(π/n)-cos(5π/n)=cos(π/n)-cos(3π/n)+cos(2π/n)-cos(4π/n), ou encore
cos(2π/n)+cos(5π/n)=cos(3π/n)+cos(4π/n), ce qui n’est vrai que pour n=7, les deux membres étant nuls. Il y a donc 7 séquoias géants. Par ailleurs, chaque paire de petits heptagones alternés a un point commun autre que les séquoias géants : il y a 6 paires (7 étant impair, le premier et le dernier heptagone sont dans la même position) et donc 7*5-6=29 séquoias à feuilles d’if.
Q2 : Si S est l’aire de ABD, 2S=BD*hA=AC*hA=AD*hB=AB*hD ; comme hD=hA+hB
1/AB=1/AD+1/AC (soit (AC+AD)(AB/ AD)=AC ).
Aa1=AB2/AD=ABsin(π/7)/sin(3π/7), Aa2=AB*AC/AD=ABsin(2π/7)/sin(3π/7), donc Aa2+AB=(AC+AD)(AB/AD)=AC. Enfin,
2sin(2π/7)sin(3π/7)=cos(π/7)-cos(5π/7)=cos(2π/7)-cos(6π/7)=2(sin2(3π/7)-sin2(π/7)) Donc sin2(π/7)/sin(3π/7)+sin(2π/7)=sin(3π/7), soit Aa1+AC=AD ou
Aa1+Aa2+AB=AD.
