Universit´e “Franc¸ois Rabelais” de Tours UFR Sciences et Techniques
Licence de Physique 2011–2012
UE404P : Mod´elisation, Simulations et Outils Informatiques
TD1 : Introduction `a la Mod´elisation : Introduction aux Techniques Perturbatives
Dans l’exercice pr´ec´edent on a ´etudi´e la diffusion d’une particule par le champ de forces en- gendr´ee par une autre, lorsque les forces sont d´ecrites par une fonction d’´energie potentielle V(r) = C/r. On a, en particulier, trouv´e que le flux des particules, d´evi´e vers une direction donn´ee, ´etait ind´ependant du signe de C.
Lors de notre ´etude on a gard´e fixe la distance d’approche la plus faible, rmin et l’on a vari´e
´
energie et moment cin´etique. Maintenant on voudrait fixer l’´energie, varier le moment cin´etique et d´eduire la d´ependance de la distance rmin `a ce dernier. La technique utilis´ee est beaucoup plus int´eressante que son application dans cet exemple, qui sert juste `a l’introduire dans un contexte facile `a comprendre et `a contrˆoler par d’autres moyens, plus familiers.
La distance, rmin est solution de l’´equation E =Veff(r) = C
r + L2
2mr2 (1)
Dans l’exercice pr´ec´edent on avait trouv´e commode de travailler, plutˆot, avec la variableu≡1/r et ´ecrire cette ´equation sous la forme
E =Cu+ L2
2mu2 ⇔ L2
2mu2+Cu−E = 0 (2)
Pour le cas d’une force r´epulsive, C > 0, on se rend compte que cette ´equation poss`ede, pour E > 0, une seule racine positive–l’autre, n´egative, n’a pas de sens physique, puisque r = 1/u est une distance radiale.
L’analyse dimensionnelle nous permet de se rendre compte queC/E poss`ede les dimensions d’une longueur. Puisque l’on fixe la valeur de l’´energie, on peut prendre ce rapport comme unit´e de longueurs et exprimer toutes les autres comme multiples de celle-ci.
Il est commode, dans ce cas, o`u l’on cherche `a exprimer la racine en puissances d’une quantit´e proportionnelle au moment cin´etique, d’´ecrire l’´eq. (2) sous la forme
r2− C
Er− L2
2mE = 0 (3)
En posant C/E ≡z et L2 ≡ρ2∞×(2mE) on d´eduit r
z 2
− r
z −ρ∞ z
2
= 0 (4)
En posant
ρ∞
z 2
≡ε (5)
on cherche `a exprimer la racine sous la forme r z =
∞
X
n=0
Anεn (6)
Pour r´ealiser le calcul de la racone on proc`ede de la fa¸con suivante : 1. L’´equation pour A0 : pour ε= 0 l’´equation (4) devient
A20−A0 = 0
qui poss`ede deux solutions : A0 = 0 et A0 = 1. Discuter pourquoi le choix A0 = 1 correspond `a un choix physique dans ce cas.
2. L’´equation pour A1 : Pour d´eterminer les autres coefficients, A1, A2, . . . on remplace (6) dans (4). On doit, alors, calculer
∞
X
n=0
Anεn
!2
Montrer que
∞
X
n=0
Anεn
!2
=
∞
X
n=0
εn
n
X
k=0
AkAn−k
et d´eduire l’´equation pour A1 :
2A1A0−A1−1 = 0⇔A1 = 2A0−1
= 1 (7)
3. l’´equation pour An, n > 1 : Montrer que les coefficients An, n > 1 sont donn´es par l’expression
n
X
k=0
AkAn−k−An = 0⇔(2A0−1)An=−
n−1
X
k=1
AkAn−k ⇔An=− 1 2A0 −1
n−1
X
k=1
AkAn−k=−
n−1
X
k=1
AkAn−k (8)
Ecrire un programme qui calcule les A0, A1, . . . , AN−1 et trouve r
z
N
=
N−1
X
n=0
Anεn (9)
Afficher (r/z)N comme fonction du param`etre ε et discuter la comparaison avec l’expres- sion exacte.
