TD n o 6 : Moment cin´ etique 1 Quantification sur un anneau

(1)

L3 - Physique-Chimie 3 d´ ecembre 2015 M´ ecanique quantique

TD n ^o 6 : Moment cin´ etique 1 Quantification sur un anneau

Nous allons nous int´ eresser ` a la dynamique d’une particule sur un anneau, ce qui permettra d’´ etablir la connexion entre la quantification du moment cin´ etique orbital en deux dimensions et les probl` emes unidimensionnels ´ etudi´ es au d´ ebut du cours.

On consid` ere une particule de masse M, effectuant un mouvement de rotation dans le plan xOy ` a distance de l’origine r fix´ ee, et anim´ ee d’une impulsion ~ p = p ϕ ~ u ϕ o` u ~ u ϕ = − sin ϕ ~ u x + cos ϕ ~ u _y (notons que p _ϕ est positif ou n´ egatif). Le confinement dans le plan (z = 0) et la direction radiale (r =cste) r´ esulte d’un potentiel.

On d´ ecrit d’abord le probl` eme classiquement :

1. Faire un sch´ ema de la situation et donner l’´ energie cin´ etique de la particule en fonction de p ϕ et M .

2. Exprimer le moment angulaire ` _z en fonction de p _ϕ et r. Analyser son signe.

3. R´ e´ ecrire l’´ energie cin´ etique comme une ´ energie cin´ etique de rotation ` ² _z

2I en faisant ap- paraˆıtre le moment d’inertie I que l’on exprimera en fonction de M et r.

On introduit maintenant des ´ el´ ements de m´ ecanique quantique. On note λ la longueur d’onde caract´ erisant la particule.

1. Rappeler la relation de de Broglie.

2. ` A cause du confinement radiale, la fonction d’onde ψ(ϕ) d´ epend uniquement de l’angle azimutal ϕ. Quelle propri´ et´ e doit v´ erifier la fonction d’onde ψ(ϕ) ?

3. Puisque s = rϕ est l’abscisse curviligne, on cherche une solution en onde plane du type ψ(ϕ) = A e ^iks = A e ^ikrϕ o` u k le vecteur d’onde. Quelle est la condition de quantification sur k ? On pourra introduire un entier m.

4. D´ eduire que les valeurs possibles de ` z sont de la forme ± ~m. Discuter la quantification de l’´ energie cin´ etique de rotation.

2 Spectre de rotation de la mol´ ecule di-c´ esium

Dans certaines conditions, une mol´ ecule diatomique peut ˆ etre consid´ er´ ee comme un bˆ aton rigide en rotation caract´ eris´ e, dans son centre de masse, par une ´ energie cin´ etique de rotation

H rot =

~ ` ²

2I (1)

(2)

o` u ~ ` est l’op´ erateur de moment cin´ etique orbital d´ ecrivant la rotation de la mol´ ecule et I = M R ² un moment d’inertie.

1/ Quel est le spectre des ´ etats stationnaires et les valeurs propres de l’´ energie, not´ ee E ` ? Discuter les d´ eg´ en´ erescences.

2/ Quelle est la distance entre deux niveaux successifs E _` − E `−1 ? Comparer au spectre de la figure 1, obtenu en ´ etudiant un gaz ultrafroid (T ∼ 0.3 mK) de mol´ ecules de di-C´ esium ionis´ ees.

3/ Le C´ esium est ¹³³ ₅₅ Cs. D´ eduire la masse M intervenant dans I (on donne m _proton ' 1.67 × 10 ⁻²⁷ kg). La figure repr´ esente deux spectres de rotation associ´ es ` a deux ´ etats de la mol´ ecule, indic´ es par un autre nombre quantique (not´ e n). Sans calcul : dans quel ´ etat la distance R entre atomes est-elle la plus grande ? En utilisant les donn´ ees de la figure, calculer num´ eriquement la distance R. Commenter.

0 1 2 3

frequency (GHz)

n=4 n=17

Intensity

Figure 1 : Spectre rotationnel de la mol´ ecule Cs 2 ionis´ ee. Donn´ ees tir´ ees de la r´ ef´ erence : A. Fioretti et al,

Photoassociative spectroscopy of the Cs 2 O ⁻ _g long-range state

, The European Physical Journal D 5, 389 (1999).

3 Moment cin´ etique orbital des atomes et effet Zeeman

L’hamiltonien d´ ecrivant la dynamique d’une particule soumise ` a un champ magn´ etique est de la forme

H B = 1 2M

~

p–q ~ A(~ r) 2

+ V (~ r) (2)

o` u A(~ ~ r) = (1/2) B × ~ ~ r d´ ecrit un champ magn´ etique uniforme. Si cette particule est un ´ electron dans un atome, V (~ r) → V (r) est un potentiel ´ electrostatique (` a sym´ etrie sph´ erique).

1/ A l’approximation lin´ ` eaire en B, montrer que l’hamiltonien devient H B ' H 0 − q

2M B · ~ ~ ` (3)

o` u ~ ` = ~ r × ~ p est l’op´ erateur de moment cin´ etique orbital. Nous pouvons donc ´ ecrire le terme de couplage au champ magn´ etique sous la forme

H _Z = − B · ~ M ~ _orb o` u M ~ _orb

^def

= q 2M

~ ` (4)

(3)

2/ Dans la mˆ eme approximation, l’hamiltonien d’un atome avec Z ´ electrons a la mˆ eme structure, H atome ' H 0 − B · ~ M ~ _orb , mais fait intervenir le moment cin´ etique total des Z ´ electrons L ~ = P _Z

i=1 ~ ` i . Justifier (physiquement) que H 0 commute avec ~ L. D´ eduire une d´ eg´ en´ erescence des niveaux d’´ energie.

3/ Comment les niveaux d’´ energie de H _atome d´ ependent-ils de B ? Tracer l’allure des sous-niveaux pour un L donn´ e en fonction de B.

4/ R` egles de s´ election.– Toutes les transitions entre niveaux d’´ energie d’un atome ne sont pas autoris´ ees mais doivent satisfaire certaines r` egles de s´ election. Par exemple, les transitions dipolaires ´ electriques (les plus probables a priori) sont possibles entre deux niveaux si ∆` =

` ⁰ − ` = ±1 et ∆m = +1, 0, −1.

Dessiner toutes les transitions dipolaires ´ electriques possibles entre les sous niveaux Zeeman de deux niveaux caract´ eris´ es par les nombres quantiques ` = 1 et ` ⁰ = 2.

Commenter la figure 2.

Intensity

404.614 404.630 404.646 404.662 404.678 404.694 404.710 404.726

Wavelength (nm)

Figure 2 : Spectre Zeeman (intensit´ e lumineuse absorb´ ee en fonction de la longueur d’onde) pour une vapeur d’atomes de mercure soumise ` a un champ magn´ etique B = 29 kGauss (transition 7 ³ S 1 → 6 ³ P 0 ).

5/ Le spectre Zeeman du Sodium est repr´ esent´ e sur la figure 3. Est-ce compatible avec la discussion pr´ ec´ edente ? Comment expliquer la diff´ erence avec le cas du mercure ( ²⁰⁰ ₈₀ Hg alors que le sodium est un alcalin, ²³ ₁₁ Na) ? Que peut-on conclure sur le moment cin´ etique total dans l’atome ? Quel terme a-t-il ´ et´ e oubli´ e dans H B (et H _Z ) ?

Figure 3 : En bas : spectre Zeeman de l’atome de sodium (la fl` eche indique une raie peu visible).

(4)

4 Moment cin´ etique orbital et op´ erateurs vectoriels

On note ~ r et ~ p les op´ erateurs position et impulsion d’une particule et ~ ` = ~ r × ~ p son moment cin´ etique orbital. On rappelle les relations de commutation canoniques : [r _i , p _j ] = i ~ δ _ij .

1/ V´ erifier que les composantes de ~ ` satisfont les relations de commutation d´ efinissant un mo- ment cin´ etique.

Indication : on rappelle [A, BC ] = [A, B]C + B[A, C].

2/ Calculer [` _z , x], [` _z , y], [` _z , z]. Commenter.

3/ D´ eduire [` z , ~ r ² ].

5 Harmoniques sph´ eriques

Les harmoniques sph´ eriques Y _` ^m (θ, ϕ) = h θ, ϕ | `, m i sont les fonctions d’onde ´ etats propres des op´ erateurs ~ ` ² et ` _z . Il est commode d’introduire

C _` ^m =

r 4π

2` + 1 Y _` ^m (5)

Exprim´ ee en fonction des coordonn´ ees cart´ esiennes sur la sph` ere, x = cos ϕ sin θ, y = sin ϕ sin θ et z = cos θ, les premi` eres harmoniques prennent la forme

C ₀ ⁰ = 1 (6)

C ₁ ⁰ = z , C ₁ ^±1 = ∓ 1

√

2 (x ± iy) (7)

C ₂ ⁰ = 1

2 (3z ² − 1) , C ₂ ^±1 = ∓ r 3

2 (x ± iy)z , C ₂ ^±2 = r 3

8 (x ² − y ² ± 2ixy) (8) 1/ Pour ~ r → 0, la fonction f (~ r) admet le d´ eveloppement

f (~ r) = a 0 + a 1 ( √

2x + i z) + a 2 xz + · · · (9) Ecrire le d´ ´ eveloppement en terme des harmoniques sph´ eriques, i.e. f(~ r) = P

` f _` (r) P

m A _`,m Y _` ^m (θ, ϕ).

2/ Quel est le rapport avec la m´ ecanique quantique ?

Annexe : principales propri´ et´ es utiles

Un moment cin´ etique J ~ ˆ = ˆ J

x

~ u

x

+ ˆ J

y

~ u

y

+ ˆ J

z

~ u

z

est un op´ erateur vectoriel dont les composantes satisfont des relations de commutations :

[J

x

, J

x

] = 0 , [J

x

, J

y

] = i ~ J

z

, [J

x

, J

z

] = −i ~ J

y

, ...

etc (les autres sont obtenues par permutations circulaires des trois indices). Les ´ etats propres de J ~

²

et J

z

sont not´ es {|j, m i} o` u les deux nombres quantiques correspondent aux valeurs propres de J ~

²

et J

z

J ~

²

| j, m i = ~

²

j(j + 1) | j, m i avec j = 0, 1, 2, ... OU j = 1/2, 3/2, · · ·

J

z

| j, m i = ~ m | j, m i avec m = −j, −j + 1, · · · , j − 1 , j

(5)

6 Grand moment cin´ etique

Soit J ~ un moment cin´ etique. Consid´ erons les 2j + 1 ´ etats propres de J ~ ² , {| j, −j i, · · · , | j, +j i}.

1/ On pose m = −j + n avec n ∈ {0, 1, · · · , 2j}. Que deviennent les relations J ± |j, m i =

~ p

j(j + 1) − m(m ± 1) |j, m ± 1 i ?

2/ Discuter la limite n j. Comparer ` a l’oscillateur harmonique.

TD n o 6 : Moment cin´ etique 1 Quantification sur un anneau

L3 - Physique-Chimie 3 d´ ecembre 2015 M´ ecanique quantique

TD n o 6 : Moment cin´ etique 1 Quantification sur un anneau

Nous allons nous int´ eresser ` a la dynamique d’une particule sur un anneau, ce qui permettra d’´ etablir la connexion entre la quantification du moment cin´ etique orbital en deux dimensions et les probl` emes unidimensionnels ´ etudi´ es au d´ ebut du cours.

On d´ ecrit d’abord le probl` eme classiquement :

1. Faire un sch´ ema de la situation et donner l’´ energie cin´ etique de la particule en fonction de p ϕ et M .

2. Exprimer le moment angulaire ` z en fonction de p ϕ et r. Analyser son signe.

3. R´ e´ ecrire l’´ energie cin´ etique comme une ´ energie cin´ etique de rotation ` 2 z

2I en faisant ap- paraˆıtre le moment d’inertie I que l’on exprimera en fonction de M et r.

On introduit maintenant des ´ el´ ements de m´ ecanique quantique. On note λ la longueur d’onde caract´ erisant la particule.

1. Rappeler la relation de de Broglie.

2. ` A cause du confinement radiale, la fonction d’onde ψ(ϕ) d´ epend uniquement de l’angle azimutal ϕ. Quelle propri´ et´ e doit v´ erifier la fonction d’onde ψ(ϕ) ?

3. Puisque s = rϕ est l’abscisse curviligne, on cherche une solution en onde plane du type ψ(ϕ) = A e iks = A e ikrϕ o` u k le vecteur d’onde. Quelle est la condition de quantification sur k ? On pourra introduire un entier m.

4. D´ eduire que les valeurs possibles de ` z sont de la forme ± ~m. Discuter la quantification de l’´ energie cin´ etique de rotation.

2 Spectre de rotation de la mol´ ecule di-c´ esium

Dans certaines conditions, une mol´ ecule diatomique peut ˆ etre consid´ er´ ee comme un bˆ aton rigide en rotation caract´ eris´ e, dans son centre de masse, par une ´ energie cin´ etique de rotation

H rot =

~ ` 2

2I (1)

o` u ~ ` est l’op´ erateur de moment cin´ etique orbital d´ ecrivant la rotation de la mol´ ecule et I = M R 2 un moment d’inertie.

1/ Quel est le spectre des ´ etats stationnaires et les valeurs propres de l’´ energie, not´ ee E ` ? Discuter les d´ eg´ en´ erescences.

2/ Quelle est la distance entre deux niveaux successifs E ` − E `−1 ? Comparer au spectre de la figure 1, obtenu en ´ etudiant un gaz ultrafroid (T ∼ 0.3 mK) de mol´ ecules de di-C´ esium ionis´ ees.

0 1 2 3

frequency (GHz)

n=4 n=17

Intensity

Figure 1 : Spectre rotationnel de la mol´ ecule Cs 2 ionis´ ee. Donn´ ees tir´ ees de la r´ ef´ erence : A. Fioretti et al,

Photoassociative spectroscopy of the Cs 2 O − g long-range state

, The European Physical Journal D 5, 389 (1999).

3 Moment cin´ etique orbital des atomes et effet Zeeman

L’hamiltonien d´ ecrivant la dynamique d’une particule soumise ` a un champ magn´ etique est de la forme

H B = 1 2M

~

p–q ~ A(~ r) 2

+ V (~ r) (2)

o` u A(~ ~ r) = (1/2) B × ~ ~ r d´ ecrit un champ magn´ etique uniforme. Si cette particule est un ´ electron dans un atome, V (~ r) → V (r) est un potentiel ´ electrostatique (` a sym´ etrie sph´ erique).

1/ A l’approximation lin´ ` eaire en B, montrer que l’hamiltonien devient H B ' H 0 − q

2M B · ~ ~ ` (3)

o` u ~ ` = ~ r × ~ p est l’op´ erateur de moment cin´ etique orbital. Nous pouvons donc ´ ecrire le terme de couplage au champ magn´ etique sous la forme

H Z = − B · ~ M ~ orb o` u M ~ orb

= q 2M

~ ` (4)

2/ Dans la mˆ eme approximation, l’hamiltonien d’un atome avec Z ´ electrons a la mˆ eme structure, H atome ' H 0 − B · ~ M ~ orb , mais fait intervenir le moment cin´ etique total des Z ´ electrons L ~ = P Z

i=1 ~ ` i . Justifier (physiquement) que H 0 commute avec ~ L. D´ eduire une d´ eg´ en´ erescence des niveaux d’´ energie.

3/ Comment les niveaux d’´ energie de H atome d´ ependent-ils de B ? Tracer l’allure des sous-niveaux pour un L donn´ e en fonction de B.

` 0 − ` = ±1 et ∆m = +1, 0, −1.

Dessiner toutes les transitions dipolaires ´ electriques possibles entre les sous niveaux Zeeman de deux niveaux caract´ eris´ es par les nombres quantiques ` = 1 et ` 0 = 2.

Commenter la figure 2.

Intensity

Wavelength (nm)

Figure 2 : Spectre Zeeman (intensit´ e lumineuse absorb´ ee en fonction de la longueur d’onde) pour une vapeur d’atomes de mercure soumise ` a un champ magn´ etique B = 29 kGauss (transition 7 3 S 1 → 6 3 P 0 ).

Figure 3 : En bas : spectre Zeeman de l’atome de sodium (la fl` eche indique une raie peu visible).

4 Moment cin´ etique orbital et op´ erateurs vectoriels

On note ~ r et ~ p les op´ erateurs position et impulsion d’une particule et ~ ` = ~ r × ~ p son moment cin´ etique orbital. On rappelle les relations de commutation canoniques : [r i , p j ] = i ~ δ ij .

1/ V´ erifier que les composantes de ~ ` satisfont les relations de commutation d´ efinissant un mo- ment cin´ etique.

Indication : on rappelle [A, BC ] = [A, B]C + B[A, C].

2/ Calculer [` z , x], [` z , y], [` z , z]. Commenter.

3/ D´ eduire [` z , ~ r 2 ].

5 Harmoniques sph´ eriques

Les harmoniques sph´ eriques Y ` m (θ, ϕ) = h θ, ϕ | `, m i sont les fonctions d’onde ´ etats propres des op´ erateurs ~ ` 2 et ` z . Il est commode d’introduire

C ` m =

r 4π

2` + 1 Y ` m (5)

Exprim´ ee en fonction des coordonn´ ees cart´ esiennes sur la sph` ere, x = cos ϕ sin θ, y = sin ϕ sin θ et z = cos θ, les premi` eres harmoniques prennent la forme

C 0 0 = 1 (6)

C 1 0 = z , C 1 ±1 = ∓ 1

√

2 (x ± iy) (7)

C 2 0 = 1

2 (3z 2 − 1) , C 2 ±1 = ∓ r 3

2 (x ± iy)z , C 2 ±2 = r 3

8 (x 2 − y 2 ± 2ixy) (8) 1/ Pour ~ r → 0, la fonction f (~ r) admet le d´ eveloppement

f (~ r) = a 0 + a 1 ( √

2x + i z) + a 2 xz + · · · (9) Ecrire le d´ ´ eveloppement en terme des harmoniques sph´ eriques, i.e. f(~ r) = P

` f ` (r) P

m A `,m Y ` m (θ, ϕ).

2/ Quel est le rapport avec la m´ ecanique quantique ?

Annexe : principales propri´ et´ es utiles

Un moment cin´ etique J ~ ˆ = ˆ J

~ u

TD n ^o 6 : Moment cin´ etique 1 Quantification sur un anneau

2. Exprimer le moment angulaire ` _z en fonction de p _ϕ et r. Analyser son signe.

3. R´ e´ ecrire l’´ energie cin´ etique comme une ´ energie cin´ etique de rotation ` ² _z

3. Puisque s = rϕ est l’abscisse curviligne, on cherche une solution en onde plane du type ψ(ϕ) = A e ^iks = A e ^ikrϕ o` u k le vecteur d’onde. Quelle est la condition de quantification sur k ? On pourra introduire un entier m.

~ ` ²

o` u ~ ` est l’op´ erateur de moment cin´ etique orbital d´ ecrivant la rotation de la mol´ ecule et I = M R ² un moment d’inertie.

2/ Quelle est la distance entre deux niveaux successifs E _` − E `−1 ? Comparer au spectre de la figure 1, obtenu en ´ etudiant un gaz ultrafroid (T ∼ 0.3 mK) de mol´ ecules de di-C´ esium ionis´ ees.

Photoassociative spectroscopy of the Cs 2 O ⁻ _g long-range state

H _Z = − B · ~ M ~ _orb o` u M ~ _orb

2/ Dans la mˆ eme approximation, l’hamiltonien d’un atome avec Z ´ electrons a la mˆ eme structure, H atome ' H 0 − B · ~ M ~ _orb , mais fait intervenir le moment cin´ etique total des Z ´ electrons L ~ = P _Z

3/ Comment les niveaux d’´ energie de H _atome d´ ependent-ils de B ? Tracer l’allure des sous-niveaux pour un L donn´ e en fonction de B.

` ⁰ − ` = ±1 et ∆m = +1, 0, −1.

Dessiner toutes les transitions dipolaires ´ electriques possibles entre les sous niveaux Zeeman de deux niveaux caract´ eris´ es par les nombres quantiques ` = 1 et ` ⁰ = 2.

Figure 2 : Spectre Zeeman (intensit´ e lumineuse absorb´ ee en fonction de la longueur d’onde) pour une vapeur d’atomes de mercure soumise ` a un champ magn´ etique B = 29 kGauss (transition 7 ³ S 1 → 6 ³ P 0 ).

On note ~ r et ~ p les op´ erateurs position et impulsion d’une particule et ~ ` = ~ r × ~ p son moment cin´ etique orbital. On rappelle les relations de commutation canoniques : [r _i , p _j ] = i ~ δ _ij .

2/ Calculer [` _z , x], [` _z , y], [` _z , z]. Commenter.

3/ D´ eduire [` z , ~ r ² ].

Les harmoniques sph´ eriques Y _` ^m (θ, ϕ) = h θ, ϕ | `, m i sont les fonctions d’onde ´ etats propres des op´ erateurs ~ ` ² et ` _z . Il est commode d’introduire

C _` ^m =

2` + 1 Y _` ^m (5)

C ₀ ⁰ = 1 (6)

C ₁ ⁰ = z , C ₁ ^±1 = ∓ 1

C ₂ ⁰ = 1

2 (3z ² − 1) , C ₂ ^±1 = ∓ r 3

2 (x ± iy)z , C ₂ ^±2 = r 3

8 (x ² − y ² ± 2ixy) (8) 1/ Pour ~ r → 0, la fonction f (~ r) admet le d´ eveloppement

` f _` (r) P

m A _`,m Y _` ^m (θ, ϕ).

Soit J ~ un moment cin´ etique. Consid´ erons les 2j + 1 ´ etats propres de J ~ ² , {| j, −j i, · · · , | j, +j i}.