Cin´etique
Torseur cin´etique- Torseur dynamique - ´Energie cin´etique
Papanicola
Lyc´ee Jacques Amyot
7 octobre 2012
Sommaire
Torseur cin´etique D´efinition
R´esultante cin´etique Changement de point Solide ind´eformable Torseur dynamique
D´efinition
Changement de point de r´eduction
Relation entreσetδ Solide ind´eformable
Energie cin´´ etique D´efinition Solide ind´eformable
cas particuliers Caract´eristiques cin´etiques d’un ensemble de solide
Torseur cin´etique d’un ensemble de solides
Torseur dynamique d’un ensemble de solides
´Energie cin´etique d’un ensemble de solides
Torseur cin´etique
D´efinition
CE/R =
# » pE/R=
Z
p∈E
# » VP/R· dm
# » σA,E/R=
Z
p∈E
# » AP∧# »
VP/R· dm
A
(1)
Le torseur cin´etique est le torseur des quantit´es de mouvement d’un syst`eme mat´eriel E dans son mouvement par rapport au r´ef´erentiel R.
Torseur cin´etique
D´efinition
CE/R =
# » pE/R=
Z
p∈E
# » VP/R· dm
# » σA,E/R=
Z
p∈E
# » AP∧# »
VP/R· dm
A
I # »
VP/R: Vitesse du point P du syst`eme mat´eriel E dans son mouvement par rapport au r´ef´erentielR;
Ip# »E/R= Z
p∈E
# »
VP/R· dm: R´esultante cin´etique de l’ensemble mat´eriel E dans son mouvement par rapport `aR;
Iσ# »A,E/R= Z
p∈E
# » AP∧# »
VP/R· dm: Moment cin´etique au point A de l’ensemble mat´eriel E dans son mouvement par rapport `aR.
Torseur cin´etique
R´esultante cin´etique
Soit O un point li´e au r´ef´erentielRetG le centre d’inertie de l’ensemble mat´erielE , par d´efinition du centre d’inertie : mE# »
OG=R
P∈E
# » OPdm.
En d´erivant par rapport au temps dansR: mE·
d dt
# » OG
R
= d
dt Z
P∈E
# » OPdm
R
. Compte tenu du principe de conservation de la masse, on peut inverser la d´erivation par rapport au temps et l’int´egration sur la masse :
mE· d
dt
# » OG
R
= Z
P∈E
d dt
# » OP
R
dm.
On reconnaˆıt la vitesse du point G et celle du point P par rapport au r´ef´erentielR:
# » pE/R=
Z
p∈E
# »
VP/R· dm=mE·V# »G/R (2)
Torseur cin´etique
Changement de point
Le champ des moments cin´etiquesσ# »A,E/Rest ´equiprojectif, on peut donc ´ecrire :
# »
σB,E/R=σ# »A,E/R+# »
BA∧p# »E/R (3)
soit
# »
σB,E/R=σ# »A,E/R+# »
BA∧mE·# »
VG/R. (4)
Torseur cin´etique
Cas du solide ind´eformable
L’hypoth`ese de solide ind´eformable, permet d’associer les propri´et´es du champ des vecteurs vitesses d’un solide aux propri´et´es du torseur cin´etique. Ainsi, pour P et A deux points li´es au solide :
# »
VP∈S/R=# » VA∈S/R+# »
ΩS/R∧# »
AP (5)
avec # »
ΩS/R: le vecteur rotation du solide S par rapport au r´ef´erentiel Rd’o`u le torseur.
CS/R =
# » pS/R=
Z
p∈S
# » VP∈S/R· dm
# » σA,S/R=
Z
p∈S
# » AP∧# »
VP∈S/R· dm
A
(6)
Torseur cin´etique
Cas du solide ind´eformable - r´esultante cin´etique La r´esultante cin´etique devient :
# » pS/R=
Z
p∈S
# »
VP/R· dm=ms·# »
VG∈S/R. (7)
Torseur cin´etique
Cas du solide ind´eformable - moment cin´etique D´eterminons le moment cin´etique :
# » σA,S/R=
Z
p∈S
# »
AP∧V# »P∈S/R· dm= Z
p∈S
# »
AP∧V# »A∈S/R+Ω# »S/R∧AP# »
· dm
= Z
p∈S
# » AP· dm
∧# » VA∈S/R+
Z
p∈S
# » AP∧# »
ΩS/R∧# » AP
· dm avec :
Z
p∈S
# »
AP· dm=msAG# »et
Z
p∈S
# »
AP∧# »
ΩS/R∧# »
AP
· dm=IA(S)·# »
ΩS/R
# »
σA,E/R=msAG# »∧V# »A∈S/R+IA(S)·Ω# »S/R. (8)
Torseur cin´etique
Cas du solide ind´eformable R´esultante cin´etique
# » pS/R=
Z
p∈S
# »
VP/R· dm=ms·V# »G∈S/R. (9)
Moment cin´etique
# » σA,E/R=ms# »
AG∧# »
VA∈S/R+IA(S)·# »
ΩS/R. (10)
Torseur cin´etique
Cas du solide ind´eformable - Cas particulier
A≡G
# »
σG,E/R=IG(S)·# » ΩS/R
A fixe
# »
σA,E/R=IA(S)·Ω# »S/R
Mvt de translation
# » σA,E/R=ms# »
AG∧# » VA∈S/R
Torseur dynamique
D´efinition
Le torseur dynamique est le torseur des quantit´es d’acc´el´eration d’un syst`eme mat´eriel E dans son mouvement par rapport `aR:
DE/R =
# » AE/R=
Z
p∈E
# » ΓP/R· dm
# » δA,E/R=
Z
p∈E
# » AP∧# »
ΓP/R· dm
A
(11)
Torseur dynamique
D´efinition
IΓ# »P/R: acc´el´eration du point P de l’ensemble mat´eriel E dans son mouvement par rapport `aR;
IA# »E/R= Z
p∈E
# »
ΓP/R· dm: r´esultante dynamique de l’ensemble mat´eriel E dans son mouvement par rapport `aR, on montre aussi que
# »
AE/R=mE·# »
ΓG/R; (12)
I # » δA,E/R=
Z
p∈E
# » AP∧# »
ΓP/R· dm: moment dynamique en A de l’ensemble mat´eriel E dans son mouvement par rapport `aR.
Torseur dynamique
Changement de point de r´eduction
Le champ des moments dynamiques est un champ de torseur. Pour changer de point de r´eduction on utilise donc la relation g´en´erale des torseurs :
# » δB,E/R=# »
δA,E/R+# »
BA∧mE·# »
ΓG/S. (13)
Torseur dynamique
Relation entreσetδ
# » σA,E/R=
Z
p∈E
# » AP∧# »
VP/R· dm, on peut ´ecrire en d´erivant
d dt
# » σA,E/R
R
=
d dt Z
p∈E
# » AP∧V# »P/Rdm
R
= Z
p∈E d
dt
# » AP∧V# »P/R
R
·dm
= Z
p∈E d
dt
# » AP
R
∧V# »P/R·dm+ Z
p∈E
# » AP∧
d dt
# » VP/R
R
·dm
= Z
p∈E d
dt
# » OP−OA# »
R
∧V# »P/R·dm+ Z
p∈E
# » AP∧Γ# »P/R·dm
= Z
p∈E
V# »P/R−V# »A/R
∧# »VP/R·dm+ Z
p∈E
# » AP∧Γ# »P/R·dm
d dt
# » σA,E/R
R
= Z
p∈E
# »
AP∧Γ# »P/R·dm− Z
p∈E
# » VA/R∧V# »P/R·dm
Torseur dynamique
Relation entreσetδ
d dt
# » σA,E/R
R
= Z
p∈E
# » AP∧# »
ΓP/R· dm− Z
p∈E
# »
VA/R∧V# »P/R· dm
I
Z
p∈E
# »
AP∧Γ# »P/R· dm=δ# »A,E/R;
I
Z
p∈E
# »
VA/R∧V# »P/R· dm=V# »A/R∧ Z
p∈E
# »
VP/R· dm=mE·V# »A/R∧V# »G/R. D’o`u la relation cherch´ee entre le moment dynamique et le moment cin´etique :
# » δA,E/R=
d dtσ# »A,E/R
R
+mE·# » VA/R∧# »
VG/R (14) A un point g´eom´etrique quelconque et G le centre d’inertie de cet ensemble mat´eriel.
Torseur dynamique
Relation entreσetδ Finalement
# » δA,E/R=
d dt
# » σA,E/R
R
+mE·# » VA/R∧# »
VG/R
Cas particuliers
IA≡G :δ# »G,E/R= d
dt
# » σG,E/R
R
;
IA fixe de R : # » δA,E/R=
d dt
# » σA,E/R
R
. D´etermination du moment dynamique
Il est en g´en´eral plus facile de d´eterminer le moment cin´etique que le moment dynamique (le champ des vitesses est en g´en´eral connu) puis de d´eriver. On choisira de le calculer en un point caract´eristique. Pour obtenir le moment dynamique en un autre point on utilise la relation liant les moments d’un torseur.
Torseur dynamique
Cas du solide ind´eformable
Pour un solide, `a partir de la relation de composition des vitesses des points du solide :V# »P∈S/R=V# »Q∈S/R+Ω# »S/R∧QP.# »
R´esultante dynamique :
# »
AS/R=mSΓ# »G∈S/R (15)
Moment dynamique en A point g´eom´etrique :
# » δA,S/R=
d dt
# » σA,S/R
R
+mS·V# »A/R∧V# »G∈S/R (16)
Attention
Cette derni`ere relation est `a manipuler avec pr´ecaution, en effet
# »
VA/Rn’est pas toujours facile `a ´evaluer pour un point quelconque, on se limitera donc `a calculer le moment dynamique uniquement en des points avec des propri´et´es particuli`eres.
Torseur dynamique
Cas du solide ind´eformable Cas particuliers
IA est confondu avec G, alors :
# » δG,S/R=
d dt
# » σG,S/R
R
; (17)
IA est un point fixe de R, alors :
# » δA,S/R=
d dt
# » σA,S/R
R
. (18)
Puis on utilisera la relation de changement de point des torseurs.
# »
δB,S/R=δ# »A,S/R+BA# »∧mS·Γ# »G/S. (19)
´ Energie cin´etique
D´efinitions
Masse ponctuelle L’´energie cin´etique ´el´ementaire d’un point P affect´e de la massedmdans son mouvement par rapport `a un rep`ere R est donn´ee par :
dTP/R=1 2
# » VP/R2
dm (20)
Ensemble mat´eriel L’´energie cin´etique d’un ensemble mat´eriel E en mouvement par rapport `a un rep`ere R est alors :
TE/R=1 2 Z
P∈E
# » VP/R2
dm (21)
L’unit´e de l’´energie cin´etique est le Joule.
´ Energie cin´etique
Cas du solide ind´eformable
Soit un solide S de masse m, de centre d’inertie G, en mouvement par rapport `a un rep`ereR, A un point li´e au solide.
On peut alors ´ecrire l’´energie cin´etique du solide dans son mouvement par rapport au r´ef´erentielR:
TS/R=1 2 Z
P∈E
# » VP∈S/R
2dm. (22)
´ Energie cin´etique
Cas du solide ind´eformable
D´eterminons l’´energie cin´etique d’un solide : TS/R=1
2 Z
P∈E
# »
VP∈S/R2dmavecVVPS/R=V# »A∈S/R+Ω# »S/R∧AP# »
=1 2 Z
P∈E
V# »A∈S/R+Ω# »S/R∧AP# »2 dm
=1 2
Z
P∈E
# » VA∈S/R2
dm+ Z
P∈E
# » ΩS/R∧# »
AP2 dm
TS/R=1 2 Z
P∈E
# » VA∈S/R2dm+
Z
P∈E
# » VA∈S/R·# »
ΩS/R∧# »
AP dm +1
2 Z
P∈E
# »
ΩS/R∧# »
AP2
dm
´ Energie cin´etique
Cas du solide ind´eformable
TS/R=1 2 Z
P∈E
# » VA∈S/R2dm+
Z
P∈E
# »
VA∈S/R·Ω# »S/R∧AP# » dm +1
2 Z
P∈E
Ω# »S/R∧AP# »2 dm
# » VA∈S/Ret# »
ΩS/Rind´ependant de dm 1
2mS# » VA∈S/R2
+# » VA∈S/R·
# » ΩS/R∧
Z
P∈E
# » APdm
+1 2 Z
P∈E
# » ΩS/R∧# »
AP
·# » ΩS/R∧# »
AP dm
On reconnaˆıt le produit mixte (#»u∧#»v)·w#»invariant par permutation circulaire avec#»u =# »
ΩS/R, #»v =AP# »etw#»=# » ΩS/R∧AP# »
´ Energie cin´etique
Cas du solide ind´eformable
TS/R=1
2mSV# »A∈S/R2+mS·Ω# »S/R·AG# »∧V# »A∈S/R +1
2 Z
P∈E
AP# »∧Ω# »S/R∧AP# »
·Ω# »S/Rdm avec
Z
P∈E
AP# »∧Ω# »S/R∧AP# »
dm=IA(S), l’op´erateur d’inertie du solide S en A.
Finalement la relation permettant de d´eterminer l’´energie cin´etique d’un solide :
TS/R=1 2mS
# »
VA∈S/R2+mS·# » ΩS/R·# »
AG∧# » VA∈S/R
(23) +1
2
# »
ΩS/R· IA(S)·Ω# »S/R
´ Energie cin´etique
Cas du solide ind´eformable
TS/R=1
2mS# » VA∈S/R2
+mS·# » ΩS/R·# »
AG∧# » VA∈S/R
(24) +1
2
# »
ΩS/R· IA(S)·# » ΩS/R
Cette relation est assez difficile `a utiliser, montrons que dans le cas d’un solide, l’´energie cin´etique peut aussi se calculer en r´ealisant le comoment des torseurs cin´ematique et cin´etique.
TS/R=1 2
VS/R ⊗
CS/R (25)
´ Energie cin´etique
Cas du solide ind´eformable
ITorseur cin´ematique en A du solide S par rapportR: nVS/Ro
= ( # »
ΩS/R
# » VA∈S/R )
A
;
ITorseur cin´etique du solide S par rapport R:n
CS/Ro
=
mS·V# »G∈S/R
# » σA,S/R
A
.
TS/R=1 2
nVS/Ro
⊗n CS/Ro
=1 2
( # » ΩS/R
# » VA∈S/R )
A
⊗
mS·V# »G∈S/R
# » σA,S/R
A
=1 2
# »
ΩS/R·σ# »A,S/R+mS·V# »A∈S/R·V# »G∈S/R
=1 2
# » ΩS/R·
ms·# » AG∧# »
VA∈S/R+IA(S)·# » ΩS/R
+mS·# » VA∈S/R·# »
VG∈S/R TS/R=1
2mS# »
VA∈S/R2+mS·# »
ΩS/R·# »
AG∧# » VA∈S/R
+1 2
# »
ΩS/R· IA(S)·# » ΩS/R
On retrouve bien le mˆeme r´esultat. Cette relation est souvent plus facile
`
a mettre en œuvre que la relation g´en´erale.
´ Energie cin´etique
Cas du solide ind´eformable
L’´energie cin´etique ne d´epend pas du point de calcul, il est donc toujours int´eressant de la calculer en un point avec des propri´et´es simplificatrices.
Pour un mouvement de translation , TS/R=1
2mSV# »A∈S/R2=1
2mSV# »G∈S/R2 (26) En G, centre d’inertie du solide :
IG(S) la matrice d’inertie du solide S en G, TS/R=1
2mS# » VG∈S/R2
+1 2
# »
ΩS/R· IG(S)·# » ΩS/R (27)
´ Energie cin´etique
Cas du solide ind´eformable .
Pour un mouvement de rotation de centre C , point fixe dans le mouvement de rotation ( rotule ou gyroscope) par rapport au r´ef´erentielRavecIC(S) la matrice d’inertie du solide S en C ;
TS/R=1 2
# »
ΩS/R· IC(S)·# »
ΩS/R (28)
Pour un mouvement de rotation autour d’un axe fixe (C,#»u) , dans le r´ef´erentiel, en C point fixe de l’axe de rotation du solide S par rapport au r´ef´erentielR.
TS/R=1 2
# »
ΩS/R· IC(S)·Ω# »S/R=1
2Iu·ω2u (29) avecIule moment d’inertie autour de l’axe (C,#»u) et ωu, la vitesse de rotation.
Caract´eristiques cin´etiques d’un ensemble de solide
Torseur cin´etique d’un ensemble de solides
Soit E un ensemble de n solidesSi, en mouvement par rapport au rep`ere R Le torseur cin´etique d’un ensemble de solide, est la somme (en un mˆeme point) des torseurs cin´etiques de chaque solide.
CE/R =
n
X
i=1
CS
i/R (30)
La r´esultante cin´etique d’un ensemble de solides est la somme des r´esultantes cin´etiques et le moment cin´etique en un point A d’un ensemble de solides est la somme des moments cin´etiques de chaque solide en ce mˆeme point.
# » pE/R=
n
X
i=1
# »
pSi/R σ# »A,E/R=
n
X
i=1
# »
σA,Si/R (31)
Caract´eristiques cin´etiques d’un ensemble de solide
Torseur dynamique d’un ensemble de solides
Le torseur dynamique d’un ensemble de solide, est la somme (en un mˆeme point) des torseurs dynamique de chaque solide.
DE/R =
n
X
i=1
DS
i/R (32)
La r´esultante dynamique d’un ensemble de solides est la somme des r´esultantes dynamiques et le moment dynamique en un point A d’un ensemble de solide est la somme des moments dynamiques de chaque solide en ce mˆeme point.
# » AE/R=
n
X
i=1
# » ASi/R
# » δA,E/R=
n
X
i=1
# »
δA,Si/R (33)
Caract´eristiques cin´etiques d’un ensemble de solide
´Energie cin´etique d’un ensemble de solides
L’´energie cin´etique d’un ensemble de solide est la somme des
´energies cin´etiques.
TE/R=
n
X
i=1
TSi/R (34) En d´ecomposant sur chaque solide :
TE/R=1 2
n
X
i=1
VS
i/R ⊗
CS
i/R
TE/R=1 2
n
X
i=1
( Ω# »Si/R
# » VAi∈S/R
)
Ai
⊗ mi
# » VGi∈Si/R
# » σAi,Si/R
Ai
(35) Remarque :l’´energie cin´etique ne d´ependant pas du point de calcul du comoment, chaque comoment peut-ˆetre calcul´e en un point particulier caract´eristique du mouvement consid´er´e.
