Mouvement d’un solide ind´eformable
M. Vanden Driessche Ann´ ee 2007
Table des mati` eres
1 Position et N´ecessit´e d’un rep`ere 2
2 La vitesse 3
2.1 Vitesse moyenne . . . 3
2.2 Vitesse instantan´ee . . . 3
2.3 Le vecteur vitesse . . . 4
3 Description du mouvement 5 3.1 Centre d’inertie . . . 5
3.2 Constante6= Uniforme . . . 5
3.3 Solide en translation . . . 6
3.4 Solide en rotation . . . 6
4 Projections et trigonom´etrie 7
1 Position et N´ ecessit´ e d’un rep` ere
La position et le mouvement d’un corps sont relatifs `a un r´ef´erentiel qu’il faut pr´eciser. Ce r´ef´erentiel est constitu´e :
– d’un solide de r´ef´erence ;
– d’un rep`ere math´ematique R(O,~i,~j, ~k), tel que O est un point du solide de r´ef´erence et (~i,~j, ~k) une base orthonorm´ee fixe par rapport `a ce mˆeme solide ; – d’un rep`ere de temps (horloge).
La position est donc un ensemble de trois coordonn´ees d’espace (x,y,z), associ´ee `a une coordonn´ee de temps t, et on note M(x,y,z) `a t ou ´eventuellement M(x,y,z,t) .
D´efinitions
1. La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives occup´ees par ce point au cours du temps.
2. date : la date est un instant t.
3. dur´ee : La dur´ee est une diff´erence de temps entre 2 instants t1 et t2;
Exemple de trajectoire :
2 La vitesse
Nous l’avons vu, un objet poss`ede une position dans l’espace.
Le mouvement est une variation de cette position au cours du temps, le mobile passant de M1 en M2.
On a donc
M1(x1, y1, z1, t1)→M2(x2, y2, z2, t2)
2.1 Vitesse moyenne
Soit un point M passant d’une position A1 `a l’instant t1 `a une position A2 `a l’instant t2, la vitesse moyenne vmoy12(M) caract´erise cette variation de position Ad1A2 au cours de la dur´ee ∆t =t2−t1
vmoy12(M) = longueur de la trajectoire A1A2 t2−t1
vmoy12(M) = Ad1A2
∆t vmoy12(M) = ∆l
il se peut que la variation de position au moment qui nous int´eresse soit tr`es diff´erente de cette vitesse.
Par analogie, la moyenne d’une classe ne permet pas `a priori de juger du niveau d’un ´el`eve en particulier.
Pour ˆetre plus pr´ecis, on va alors r´eduire l’intervalle de temps autour du point consid´er´e, jusqu’`a faire tendre cet intervalle de temps vers z´ero. On obtient alors la vitesse instantan´ee, telle que :
v(M) = lim
∆t→0
∆l
∆t Remarque :
Dans le cas d’une mesure exp´erimentale, on approxime souvent l’arc de courbe par sa corde, tel que pour le point Mi on a ∆l = Mi+1Mi−1 et ∆t = ti+1 −ti−1, soit :
v(M) = Ati+1Ai−1
i+1−ti−1
2.3 Le vecteur vitesse
Au cours d’un d´eplacement peuvent changer la valeur de la vitesse, la direction du mouvement, ou le sens du mouvement.
L’ensemble de ces informations concernant le mouvement `a la date t au point M sont rassembl´ees dans le vecteur vitesse.
Les caract´eristiques de ce vecteur sont : – valeur ou norme : v(M, t) ;
– direction : la tangente `a la trajectoire `a la date t ; – sens : sens du d´eplacement ;
– point d’application : le point consid´er´e.
3 Description du mouvement
3.1 Centre d’inertie
Exp´erimentalement, on constate que lors d’un mouvement, il existe un point du corps qui a un mouvement simple : le centre d’inertie.
D’un point de vue th´eorique, il s’agit du barycentre (centre de masse) du corps.
Si le solide est `a r´epartition homog`ene des masses, le barycentre est confondu avec le centre g´eom´etrique.
– sph`ere : centre de la sph`ere – carr´e : croisement des diagonales.
En g´en´eral, plutˆot que d’´etudier le mouvement du corps en entier, tr`es com- plexe, on se contente d’´etudier le mouvement du centre d’inertie.
3.2 Constante 6= Uniforme
Attention : le vocabulaire en physique est tr`es important
Pour un mouvement, on ne parle de vitesse constante que lorsque le vecteur vitesse reste identique `a lui-mˆeme au cours du temps.
On est alors confront´e `a une constante vectorielle :
~v =cste~
Dans ce cas, toutes les caract´eristiques du vecteur sont constantes :
~
v =cste~ ⇔
k~v k =v =constante direction =constante sens=constant
Si on veut parler d’un mouvement o`u la norme de la vitesse reste constante, on utilise alors le mot uniforme
3.3 Solide en translation
Si tous les points du solide ont des trajectoires identiques (allure et longueur), et si les vecteurs vitesses instantan´es sont identiques alors le solide a un mouve- ment de translation (La r´eciproque est vraie ).
Il existe deux sortes de translation : la translation rectiligne et la translation cur- viligne .
Ces deux translations sont ensuite caract´eris´ees par le qualificatif uniforme ou non-uniforme.
3.4 Solide en rotation
Tous les points du corps parcourent un cercle autour de l’axe de rotation. Plus un point est loin du centre, plus le chemin parcouru est grand, et plus sa vitesse est importante par cons´equent.
Par contre, l’ensemble des point parcourent le mˆeme angle.
Pour d´ecrire le mouvement, on d´efinit alors la vitesse angulaireω telle que :
ω= θ
t2−t1 = θ
∆t avec
θ en rad
∆t en s ω en rad.s−1
D’autre part, lorsque l’on exprime la mesure d’un angle en radian, il existe une relation entre le rayon d’un arc, son angle θ et sa longueur l :
l=r.θ
On obtient alors un lien entre la vitesse et la vitesse angulaire (on identifie dans cette partiel et ∆l) :
v = ∆tl l =rθ
v = ∆trθ
de plus, ∆tθ =ω
⇒v =rω
4 Projections et trigonom´ etrie
On se contente dans ce cours de traiter le probl`eme `a 2 dimensions.
Soit un rep`ere orthonorm´e R(O,~i,~j), alors tout vecteur peut ˆetre obtenu par une combinaison lin´eaire de~i et~j.
C’est `a dire
∀~u,∃(α, β) tq. ~u=α~i+β~j
On utilise aussi l’´ecriture~u=~ux+~uy(donc~ux =α~iet~uy =β~j) Comment trouver ~ux et~uy?
Pour le sens et la direction, ce n’est pas difficile, ce sont ceux de~i et~j.
Pour la norme, on utilise la trigonom´etrie. En effet, puisque le triangle form´e par
~
u, ~ux et ~uy est rectangle, on obtient :
sinα= ||~||~uu||y|| et cosα= ||~||~uu||x||
Soit ||~ux||=||~u||cosα et ||~uy||=||~u||sinα
