Description du mouvement 6

(1)

Le calcul vectoriel s’avère un excellent outil mathématique pour l’étude des mouvements. Un vecteur peut représenter une force, une vitesse ou une accélération. Il faut bien saisir le lien entre ces diﬀ érents éléments qui expliquent le mouvement et le calcul diﬀ érentiel nous y aide bien.

■ Un scientiﬁ que

Nicolas Copernic (1473-1543) étudie les mathématiques et l’astronomie à l’uni- versité de Cracovie puis le droit canonique en Italie. Revenu en Pologne, il devient chanoine et se construit un laboratoire astronomique où il eﬀ ectue de nombreuses observations. Il aﬃ rme, dans un essai publié en 1514 et passé un peu inaperçu, que la Terre tourne autour du Soleil et non l’inverse ; l’idée avait déjà été émise dans l’Antiquité par le savant grec Aristarque de Samos. Ce n’est pourtant qu’en 1543 qu’il publie De Revolutionibus orbium coelestium, ouvrage dans lequel il reprend avec force cett e thèse mais il meurt peu après de maladie.

LE SAVIEZ-VOUS ?

Au XIVê siècle un théologien réputé, Nicole Ôresme (1325-1382), fut un précurseur dans le domaine scientifi que. Plus de deux siècles avant ^Galilée, il énonce la loi du mouvement uniforme et affi rme que la Terre tourne sur elle-même et deux cent cinquante ans avant ^Descartes, il repère les points du plan avec deux coordonnées qu’il nomme latitudino et longitudino. Ses idées, trop visionnaires, ne peuvent être comprises de ses contemporains.

Chapitre 6

Description

du mouvement

(2)

Objectifs

Les notions que je dois maîtriser

Connaître la signification des vecteurs position, vitesse et accélération d’un point Savoir expliciter leurs expressions en coordonnées cartésiennes et dans le repère de Frenet

Connaître la signification de mouvements particuliers : mouvement rectiligne uniforme, mouvement rectiligne uniformément accéléré, mouvement circulaire uniforme

Les compétences que je dois acquérir

À partir des coordonnées cartésiennes du vecteur position, être capable de déterminer les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse et du vecteur accélération en utilisant la dérivée d’une fonction par rapport au temps

À partir d’une chronophotographie, être capable de déterminer graphiquement les représentations approchées du vecteur vitesse et du vecteur accélération

Savoir caractériser à l’aide des vecteurs vitesse et accélération les mouvements particuliers que sont les mouvements rectilignes uniformes, uniformément accélérés, circulaires uniformes

(3)

DECRIRE UN MOUVEMENT 3

Résumé de cours

Vecteurs position, vitesse et accélération

Vecteur position

Le mouvement d’un corps supposé ponctuel M est décrit par rapport à un référentiel lié à un solide de référence : référentiel terrestre du laboratoire, référentiel géocentrique centré sur la Terre ou référentiel héliocentrique centré sur le Soleil. Le vecteur position OM

(t) est défini dans un repère muni d’une origine et d’un système d’axes de coordonnées.

Dans le repère orthonormé cartésien (O,i ,j

,k

) : OM

(t)=x(t)⋅i

+y(t)⋅j

+z(t)⋅k .

Les expressions des coordonnées x(t) ;y(t) ;z(t) sont les équations horaires du mouvement.

Lorsque la trajectoire est un cercle de centre O et de rayon R, il est judicieux d’utiliser la base de Frenet qui est la base mobile (M,u_t

,u_n

) constituée de deux vecteurs unitaires. Le vecteur unitaire u^t

est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement tandis que le vecteur unitaire uⁿ

est porté par la normale, c’est-à-dire porté par le rayon, et il est orienté vers le centre du cercle, de sorte que OM

=−R⋅u_n . Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse (instantanée) mesure le taux de variation du vecteur position. C’est un vecteur tangent à la trajectoire dont la norme est égale à la limite de la vitesse moyenne calculée sur un intervalle de temps très court Δt autour de l’instant t considéré.

v

(t)=lim_Δt→0 M(t)M(t+Δt) Δt

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ =lim_Δt→0 OM

(t+Δt)−OM (t) Δt

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ =lim_Δt→0 ΔOM Δt

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟. Elle est ainsi la dérivée première du vecteur position par rapport au temps : v

=dOM dt ^. Dans la base de Frenet, le vecteur vitesse peut s’écrire : v

=v⋅u_t

.

Vecteur accélération

Le vecteur accélération (instantanée) mesure le taux de variation du vecteur vitesse instantanée et se définit comme la dérivée première du vecteur vitesse par rapport au temps : a

(t)=dv(t) dt .

DESCRIPTION DU MOUVEMENT 173nn

(4)

On admet son expression dans la base de Frenet, expression qui découle de a

=dv

dt =d(v⋅u_t ) dt : a

=dv dt⋅u_t

+v² R⋅u_n

.

Méthode 6.1. Comment déterminer les vecteurs vitesse et accélération à partir du vecteur position, et inversement ?

Cas de mouvements particuliers

Mouvement rectiligne

Un mouvement rectiligne admet comme trajectoire une droite. On rencontrera le cas particulier du mouvement rectiligne uniforme pour lequel le vecteur vitesse est constant (en norme et en direction) : v

=v₀

et le vecteur accélération nul, ainsi que le cas particulier du mouvement rectiligne uniformément accéléré pour lequel le vecteur accélération est constant : a

=a₀ . Mouvement circulaire

Un mouvement circulaire uniforme admet comme trajectoire un cercle et la vitesse est constante en norme : v=v₀. Le vecteur accélération est donné par : a

= v² R ⋅u_n

car dv dt =0. Le mouvement circulaire uniforme peut être caractérisé par sa période notée T , qui est la durée d’un tour, c’est-à-dire la durée correspondant au parcours du périmètre du cercle : T =2π ⋅R

v .

Méthode 6.2. Comment déterminer et représenter les vecteurs vitesse et accélération de façon approchée ?

(5)

Mé th o d e s

Méthodes

Méthode 6.1. Comment déterminer les vecteurs vitesse et accélération à partir du vecteur position, et inversement ?

Pour obtenir les coordonnées du vecteur vitesse à partir du vecteur position, il faut procéder à une dérivation première de ses coordonnées par rapport au temps.

v

=v_x⋅i +v_y⋅j

+v_z⋅k

=dx dt⋅i

+dy dt⋅j

+dz dt⋅k

.

Pour obtenir les coordonnées du vecteur accélération à partir du vecteur vitesse ou du vecteur position, il faut procéder à une dérivation première des coordonnées du vecteur vitesse par rapport au temps ou à une dérivée seconde des coordonnées du vecteur position par rapport au temps.

a

=dv_x dt ⋅i

+dv_y dt ⋅j

+dv_z dt ⋅k

=d²x dt² ⋅i

+d²y dt² ⋅j

+d²z dt²⋅k

.

Dériver une fonction est une capacité mathématique à atteindre. Les dérivées des fonctions du temps que l’on rencontrera communément sont :

( )

a ^'⁼⁰^où^a désigne une constante a⋅t

( )

^'⁼^a^;

( )

^a^⋅^t² ^'⁼^2a^⋅^t^;

( )

^a^⋅^tⁿ ^'⁼ⁿ^⋅^a^⋅^tⁿ⁻¹

exp(a⋅t)

( )

^'⁼^a^⋅^exp(a^⋅^t)^;

(

^ln(a^⋅t)

)

^'⁼¹_t

cos(a⋅t)

( )

^'⁼^−a^⋅^sin(a^⋅^t)_;

(

^sin(a^⋅t)

)

^'⁼^a^⋅cos(a^⋅^t)

Ainsi que les formes : (u+v)'=u'+v' ; (u⋅v)'=u'⋅v+u⋅v' ; (u

v)'=u'⋅v−v'⋅u v² . Pour déterminer le vecteur position à partir du vecteur vitesse, il faut procéder à l’opération inverse, c’est-à-dire déterminer une primitive des coordonnées du vecteur vitesse. De même pour déterminer le vecteur vitesse à partir du vecteur accélération, il faut procéder à une primitive des coordonnées du vecteur accélération. Les primitives des fonctions du temps communément rencontrées se déduisent des résultats précédents sur les dérivées, sans oublier la constante d’intégration qui sera déduite de la donnée des conditions initiales à t=0.

Remarque : il est important de différencier la notion d’intégrale et de primitive.

L’intégrale calculée entre les bornes a et b est un nombre tandis qu’une primitive est une fonction : f(t)⋅dt=F(b)−F(a)

a

∫

b ^où^F^(t) est une primitive de f(t).

Exercices 6.1 et 6.2

Mé th o d e s

(6)

Supposons qu’une voiture roule à la vitesse constante v⁰=40 m⋅s⁻¹ soit v₀=3,6×40=144 km⋅h⁻¹, le conducteur voit à t=0 un danger surgir sur la route et à t₁=0,50 s, il freine en produisant une décélération constante égale à 4,0 m⋅s⁻², calculons la distance totale parcourue par le véhicule entre le moment où le conducteur prend conscience du danger et le moment où la voiture s’arrête.

Le mouvement rectiligne peut être décomposé en deux phases : une première phase de mouvement rectiligne uniforme à la vitesse constante v₀ et une seconde phase de mouvement rectiligne uniformément décéléré à la décélération constante a₀.

La trajectoire est munie d’un axe horizontal (x'x) orienté dans le sens du mouvement.

Phase 1 de t=0 à t=t₁=0,5 s : v

=dOM dt =v₀

donc l’égalité des coordonnées des vecteurs permet d’écrire : v_x =dx

dt =v₀. Ainsi v⁰ est la dérivée de la fonction x(t) par rapport au temps ou, ce qui revient au même, x(t) est une primitive de la constante v₀. On en déduit :

x(t)=v₀⋅t+C₁ où C₁ désigne une constante d’intégration. Or, à t=0, x=0 avec notre choix de l’origine de l’axe, donc en remplaçant t par 0 dans l’expression, on obtient 0=v₀⋅0+C₁ soit C₁=0. La première phase obéit donc à l’équation horaire : x(t)=v₀⋅t(1). La distance parcourue par la voiture pendant le temps de réaction de 0,5 s est : x₁=v₀⋅t₁=40×0,5=20 m. Phase 2 à partir de t=t₁=0,5 s : a

=dv dt =a₀

donc l’égalité des coordonnées des vecteurs permet d’écrire : a_x =dv_x

dt =a_0,_x=−a₀. Ainsi v_x(t) est la primitive de la constante (−a₀), soit, comme dans l’étude précédente, v^x(t)=(−a₀)⋅t+C₂ où C² désigne une nouvelle constante d’intégration. Or, à t=t₁, v_x(t)=v₀ donc v⁰=(−a₀)⋅t₁+C₂ et C²=v₀+a₀⋅t₁. La vitesse v(t) décroît selon : v(t)=(−a₀)⋅t+v₀+a₀⋅t₁=v₀−a₀⋅(t−t₁). Cherchons maintenant à déterminer

x(t) en recherchant une primitive de v(t) : x(t)=v₀⋅t−1

2⋅a₀⋅(t−t₁)²+C₃. Or, à t=t₁, x=v₀⋅t₁ donc v⁰⋅t₁=v₀⋅t₁+C₃ et C³=0. La deuxième phase du mouvement obéit à

(7)

Mé th o d e s

l’équation horaire : x(t)=v₀⋅t−1

2⋅a₀⋅(t−t₁)²(2). Cherchons l’instant t² où la voiture s’arrête, alors v=0 m⋅s⁻¹. On résout l’équation : v(t)=v₀−a₀⋅(t₂−t₁)=0 soit t₂=t₁+v₀

a₀ et on remplace dans l’expression (2) de x(t) pour trouver la distance parcourue entre t=0 et t=t₂ :

d=v₀⋅t₂−1

2⋅a₀⋅(t₂−t₁)²=v₀⋅(t₁+v₀ a₀)−1

2⋅a₀⋅(v₀

a₀)²=v₀⋅t₁+ v₀²

2a₀ soit d=20+ 40²

2×4=220 m. On voit que la distance à proprement parler de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse initiale ; à décélération égale, rouler deux fois plus vite multiplie donc par quatre la distance de freinage.

Méthode 6.2. Comment déterminer et représenter les vecteurs vitesse et accélération de façon approchée ?

On sait que les définitions rigoureuses des vecteur vitesse et accélération sont : v

=dOM

dt et a

(t)=dv (t)

dt . Toutefois si on dispose d’une vidéo ou d’une chronophotographie, où les images sont prises à intervalle de temps régulier τ , il est possible d’obtenir une représentation approchée de ces vecteurs en calculant :

v

ΔOM

Δt =M(t−τ)M(t+τ) 2τ et a

(t) Δv (t) Δt =v

(t+τ)−v (t−τ)

2τ , à condition que la durée τ soit suffisamment petite pour permettre ces approximations.

Exercice 6.3

Dans le cadre des capacités numériques à atteindre, on se propose de représenter à l’aide du langage de programmation Python les vecteurs vitesse et accélération en utilisant l’approximation explicitée plus haut. Nous allons pour cela créer une interface graphique avec le module tkinter dans laquelle on trouvera un canvas sur lequel sera représentée une balle en mouvement et trois boutons GO, STOP, BACK, pour lancer, arrêter et faire revenir la balle en arrière. Nous allons utiliser la méthode after() qui permet d’appeler la fonction represente() à intervalle de temps régulier ici dt=1000 ms=1s. D’un point de vue physique, l’approximation est mise en œuvre dans la méthode move() où on écrit : self.x+=self.vx*dt***0.001 ; ce qui signifie que la position de l’objet balle augmente de self.vx*dt*0.001 toutes les secondes ce qui revient à utiliser l’approximation : ΔOM

v

⋅ Δt. De la même façon, on écrit self.vx+=self.ax*dt*0.001 ; ce qui signifie que la vitesse de l’objet augmente de self.ax*dt*0.001 toutes les secondes, ce qui revient à utiliser l’approximation Δv

a

⋅ Δt.

Mé th o d e s

(8)

Dans l’exemple représenté ci-dessous, on simule un mouvement rectiligne uniformément accéléré avec une vitesse horizontale de 20 pixel⋅s⁻¹ et une accélération de 5 pixel⋅s⁻².

Voici le programme commenté.

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(9)

Mé th o d e s

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$56

Pour obtenir la représentation d’un mouvement circulaire uniforme à partir de ce même programme, il suffit de « décommenter » les deux premières lignes de la méthode move.

Mé th o d e s

(10)

L’objectif étant d’obtenir un mouvement circulaire uniforme, on utilise la propriété : a

= v² R ⋅u_n avec CM

=−R⋅u_n

donc a

=−v² R²⋅CM

en choisissant ici : R=240 pxet C(270 px, 260 px). D’où l’expression du vecteur accélération : a

=−(v_x²+v_y²)

240² ⋅ (x−270)⋅i

+(y−260)⋅j

( )

^.

L’application calcule toutes les secondes les coordonnées approchées du vecteur accélération, pour en déduire celles du vecteur vitesse puis celles du vecteur position.

On observe qu’avec dt=1000 ms la trajectoire ne demeure pas circulaire de façon stable à cause des approximations trop grandes dans le calcul des vitesses et des accélérations.

Par contre avec dt=100 ms, l’approximation est meilleure et on observe une trajectoire circulaire plus stable, le vecteur vitesse reste tangent à la trajectoire et le vecteur accélération porté par le rayon.

(11)

Vrai/Faux

Vrai Faux 1. Un mouvement dont l’accélération est nulle est nécessairement

rectiligne uniforme

2. Un mouvement rectiligne uniformément accéléré correspond à un

vecteur accélération constant.

3. Le mouvement de la Lune est quasiment circulaire uniforme autour du

centre de la Terre dans le référentiel terrestre.

4. Un mouvement circulaire uniforme se caractérise par un vecteur vitesse constamment perpendiculaire au rayon et de longueur

constante.

5. Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, la période de

rotation est proportionnelle au rayon du cercle.

6. Un mouvement circulaire uniforme a une accélération centripète.

7. Un mouvement circulaire peut être uniformément accéléré.

(12)

Énoncé des exercices

Exercice 6.1. Description d’un mouvement rectiligne

Après s’être suivis avec une vitesse constante v⁰=72 km⋅h⁻¹ sur une route parfaitement rectiligne, le conducteur d’une voiture de longueur d=4,0 m décide d’accélérer avec une accélération constante a=3,0 m⋅s⁻² afin de dépasser un camion de longueur D=10 m. Il entreprend cette accélération à la date t=0 au moment où l’avant de sa voiture se situe à la distance L=35 m de l’arrière du camion.

1. Déterminer les équations horaires x(t) et X(t) respectivement de l’avant de la voiture et de l’avant du camion.

2. On considère que le dépassement est effectué lorsque l’arrière de la voiture est situé à plus de 20 m devant l’avant du camion. Déterminer la durée de dépassement de la voiture et la distance parcourue par le camion pendant cette durée.

Exercice 6.2. Description d’un mouvement circulaire

Un mobile est animé d’un mouvement dans l’espace caractérisé par les équations horaires x(t), y(t)et z(t) écrites dans le repère cartésien Oxyz :

; ; où et désignent des

constantes positives .

1. Établir que le mouvement s’inscrit dans un plan dont on précisera l’équation.

On rappelle que l’équation du plan passant par le point A(x_A,y_A,z_A) et admettant le vecteur n

(a,b,c) comme vecteur normal est donnée mathématiquement par la condition AM

⋅n

=0, ce x(t)=a⋅sin

( )

w⋅t ^y(t)⁼â^⋅sin^⎛_⎝⎜^w^⋅^t⁺^π₃^⎞_⎠⎟ ^z^(t)⁼â^⋅^sin^⎛_⎝⎜^w⋅^t⁺²₃^π^⎞_⎠⎟ â ^w

(13)

qui se traduit par et ce qui conduit à une équation du

type : avec .

2. Montrer que la trajectoire est un cercle de centre O dont on déterminera le rayon. On pourra

admettre que .

3. Déterminer les coordonnées puis la norme du vecteur vitesse. Comment qualifier le mouvement du mobile ?

4. Déterminer la période T du mouvement du mobile.

Exercice 6.3. Exploitation d’un enregistrement

Un mobile autoporteur de masse m=640 g est placé sur une table horizontale à coussin d’air.

Le mobile est relié à un point fixe O par l’intermédiaire d’un ressort de coefficient de raideur k=5,33 N.m^-1. Quand le ressort, d’axe parallèle à la table, est au repos, le centre d’inertie G du mobile est en G⁰ tel que OG⁰=13,5 cm.

On lance le mobile, le ressort restant tendu pendant toute l’expérience, et on enregistre les positions successives de G à intervalles de temps égaux à τ =40 ms. On obtient le document ci- dessus. On admettra que la force de rappel exercée par le ressort sur le solide est donnée en norme par : F=k⋅OG−OG₀ .

1. Représenter en Gⁱ ^: Δv

i =v

i+1−v

i−1 où v

i =v(G_i)

, puis donner une représentation approchée du vecteur accélération a

i. Faire apparaître les échelles de représentation choisies pour la vitesse et l’accélération.

2. Que peut-on dire de la direction du vecteur a

i ?

3. À l’aide d’un logiciel de pointage, on a obtenu les positions des points en pixel puis en mètre en utilisant la référence des distances.

x(m) y(m)

Gi-2 0,06 0,04

Gi-1 0,07 0,03

Gi 0,09 0,02

Gi+1 0,11 0,02

Gi+2 0,13 0,01

Proposer une méthode de détermination plus précise de aⁱ à l’aide d’un tableur.

4. Vérifier la relation suivante en Gⁱ^: F=m⋅a_i sachant que OG_i=40,9 cm. a⋅(x−x_A)+b⋅(y−y_A)+c⋅(z−z_A)=0

a⋅x+b⋅y+c⋅z=d d=a⋅x_A+b⋅y_A+c⋅z_A

sin²(w⋅t)+sin²(w⋅t+π

3)+sin²(w⋅t+2π 3 )= 3

2

(14)

(15)

Pour vous aider à démarrer

Exercice 6.1. Procéder en deux intégrations successives : déduire le vecteur vitesse à partir du vecteur accélération puis déduire le vecteur position à partir du vecteur vitesse.

Exercice 6.2.

Question 1 : utiliser la relation : sin(a+b)=sin(a)⋅cos(b)+sin(b)⋅cos(a).

Question 2 : la propriété des points situés sur un cercle de centre O et de rayons R est de vérifier : OM²=x²+y²+z²=R².

Question 3 : on montre facilement à partir de la relation : cos²(w⋅t)+cos²(w⋅t+π

3)+cos²(w⋅t+2π 3 )= 3

2 que sin²(w⋅t)+sin²(w⋅t+π

3)+sin²(w⋅t+2π 3 )= 3

2 ; il suffit de décaler l’origine des dates et d’utiliser cos(θ − π

2)=sin(θ).

Exercice 6.3. Utiliser la référence de distance donnée sur le document pour trouver le facteur permettant de convertir les distances mesurées en distances réelles.

Choisir une échelle de représentation simple pour la vitesse et tracer le vecteur vitesse en Gⁱ en utilisant la direction de (G^i-1G_i+1) qui est pratiquement celle de la tangente en Gⁱ. Pour déterminer _Δv_i ₌v

i+1−v

i−1, il faut mettre le vecteur −v

i−1

au bout du vecteur v

i+1, il ne faut surtout pas faire : _Δv_i ₌ _v

i+1 − v

i−1 .

(16)

Corrigé des vrai/faux

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Vrai Vrai Faux Vrai Vrai Vrai Faux

1. Si l’accélération du mouvement est nulle, on a : a

=dv dt =0

donc le vecteur vitesse est constant : v

=v₀ . 2. Vrai par définition.

3. L’affirmation est vraie dans le référentiel géocentrique centré sur la Terre.

4. Le vecteur vitesse a une norme constante puisque le mouvement est uniforme, de plus le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire, donc perpendiculaire au rayon dans le cas d’une trajectoire circulaire.

5. Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme : T= 2π ⋅R

v donc la période est proportionnelle au rayon de la trajectoire.

6. Un mouvement circulaire uniforme est caractérisé par : a

=v² R⋅u_n

. Le vecteur accélération est donc porté par le rayon et orienté vers le centre ; il est donc centripète.

7. Un mouvement uniformément accéléré signifie que le vecteur accélération est constant, ce qui n’est pas possible dans le cas d’une trajectoire circulaire où le vecteur accélération change de direction en permanence.

(17)

Co rrigé

Corrigé des exercices

_________ Exercice 6.1 _______________________________

1. Le mouvement uniformément accéléré de la voiture se traduit par : . Une intégration par rapport au temps permet d’écrire : .

À la date , donc et .

Par ailleurs, donc et une nouvelle intégration par rapport au temps

donne : .

Avec les choix de l’origine de l’axe et de l’origine des temps imposés par l’énoncé :

à , , on obtient et l’équation horaire du mouvement de l’avant de la voiture

s’écrit : .

Méthode 6.1 Le mouvement rectiligne uniforme du camion, quant à lui, s’écrit : soit

en tenant compte des conditions initiales sur la position de l’avant du camion.

Procéder toujours avec rigueur lors des intégrations par rapport au temps en identifiant les valeurs des constantes grâce aux conditions initiales.

2. La condition de dépassement se traduit par :

soit soit, après simplification : .

A.N : t> 2×(10+35+20+4)

3 =6,8 s. La durée de dépassement est donc : Δt=6,8 s.

a_x =dv_x dt =a v_x =a⋅t+C₁

t=0 v_x =v₀ C₁=v₀ v_x =a⋅t+v₀ v_x=dx

dt

dx

dt =a⋅t+v₀ x=1

2⋅a⋅t²+v₀⋅t+C₂

t=0 x=0 C₂=0

x(t)=1

2⋅a⋅t²+v₀⋅t

dX dt =v₀ X(t)=v₀⋅t+D+L

x−d> X+20 1

2⋅a⋅t²+v₀⋅t−d>v₀⋅t+D+L+20

t> 2(D+L+20+d) a

Cor rig é

(18)

Au cours de cette durée, le camion qui se déplace à la vitesse constante v⁰ a parcouru la distance .

_________ Exercice 6.2 _______________________________

1. Afin de prouver que la trajectoire du mobile s’inscrit dans un plan, on cherche à établir que les trois coordonnées x(t), y(t),z(t) répondent à une équation de la forme . Pour cela on développe les expressions afin d’éliminer le paramètre t.

. .

x(t)=a⋅sin(w⋅t).

On peut combiner les équations et observer que : ou ; il s’agit bien de l’équation d’un plan passant par le point O et dont un vecteur normal est .

2. Pour montrer que la trajectoire est un cercle de rayon R, on cherche à établir que l’ensemble des points M vérifie la condition soit .

En remplaçant par leurs expressions en fonction de t, on obtient, après avoir développé et

prouvé que , que ; ainsi la

trajectoire est bien un cercle de centre O et de rayon . Remarque : Une méthode élégante permettant de montrer que :

consiste à utiliser les égalités :

sin(w⋅t)=e^jw⋅t−e⁻^jw⋅t

2j , sin(w⋅t+π

3)= e^j(w⋅t+^π³⁾−e⁻^j(^w⋅t+^π³⁾

2j , sin(w⋅t+2π

3 )= e^j(w⋅t+^2π³⁾−e⁻^j(w⋅t+^2π³⁾ 2j

puis à développer et à simplifier en utilisant le fait que la somme S=e^jw⋅t+e^jw⋅t+^2π³ +e^jw⋅t+^4π³ est nulle car on observe que : S=S⋅e^j^2π³ .

v₀⋅ Δt= 72

3,6×6,8∼140 m

a⋅x+b⋅y+c⋅z=d

y(t)=a⋅sin w⋅t+π 3

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜ =a⋅sin

( )

w⋅t ^⋅^cos^⎛_⎝⎜^π₃^⎞_⎠⎟⁺^a^⋅^cos

( )

^w⋅^t ^⋅^sin^⎛_⎝⎜^π₃^⎞_⎠⎟

y(t)=a⋅ 1

2⋅sin

( )

w⋅t ⁺ ₂³^⋅^cos

( )

^w^⋅^t

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ z(t)=a⋅sin w⋅t+2π

3

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜ =a⋅sin

( )

w⋅t ^⋅cos^⎛_⎝⎜^2π₃ ^⎞_⎠⎟⁺^a^⋅^cos

( )

^w^⋅t ^⋅^sin^⎛_⎝⎜^2π₃ ^⎞_⎠⎟

z(t)=a⋅ −1

2⋅sin

( )

w⋅t ⁺ ₂³^⋅cos

( )

^w⋅t

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

y−z=x ^x⁻^y⁺^z⁼⁰ n

(1,−1,1)

OM=R x²+y²+z²=R² x,y,z

sin²(w⋅t)+sin²(w⋅t+π

3)+sin²(w⋅t+2π 3 )=3

2 x²+y²+z²=3 2a² a 3

2

sin²(w⋅t)+sin²(w⋅t+π

3)+sin²(w⋅t+2π 3 )=3

2

(19)

Co rrigé

3. On commence par exprimer les coordonnées du vecteur vitesse : en utilisant les équations horaires du mouvement.

Méthode 6.1

, , . Pour éviter les calculs, on observe, en posant et sachant que , que

.

Ainsi soit .

La vitesse est constante et la trajectoire est circulaire donc le mouvement peut être qualifié de mouvement circulaire uniforme.

4. Pour déterminer la période du mouvement, on recherche la durée T telle que .

On observe que les trois coordonnées sont des fonctions périodiques du temps de période car la fonction sinusoïdale est périodique de période , donc la période du mouvement circulaire du mobile est : .

_________ Exercice 6.3 _______________________________

1. En utilisant la référence de distance donnée sur le document : (5,0 cm)_réel=(3,7 cm)_document, les distances mesurées sur le document seront multipliées par le facteur 1,3 pour obtenir les distances réelles.

v_i+1=G_iG_i+2

2τ = 3,6⋅10⁻²

2×4,0⋅10⁻² =0,45 m⋅s⁻¹.v_i+1=G_iG_i+2

2τ = 3,7⋅10⁻²

2×4,0⋅10⁻² =0,47 m⋅s⁻¹. On peut utiliser par exemple l’échelle de représentation pour la vitesse : 1cm↔0,1 m⋅s⁻¹0 Il faut maintenant faire la construction vectorielle en mettant les vecteurs bout à bout pour obtenir _Δv

i =v

i+1−v

i−1. On mesure la longueur de ce vecteur sur le document et on utilise l’échelle de représentation pour trouver : _Δv_i ₌_{0,19 m}_⋅_s⁻¹.

On peut maintenant calculer l’accélération : a_i= Δv

i

2τ ⁼ 0,19

0,08=2,4 m⋅s⁻² puis représenter le vecteur.

Méthode 6.2 On peut utiliser par exemple l’échelle de représentation pour l’accélération : 1cm↔1 m⋅s⁻²0

v

(v_x =dx

dt,v_y=dy

dt,v_z=dz dt)

v_x=dx

dt =a⋅w⋅cos

(

wt

)

^v^y ⁼^dy_dt ⁼^a^⋅^w^⋅cos^⎛_⎝⎜^wt⁺^π₃^⎞_⎠⎟ ^v^z ⁼^dz_dt ⁼^a^⋅^w^⋅cos^⎛_⎝⎜^wt⁺²₃^π^⎞_⎠⎟

t=t'− π

2w cos(θ−π

2)=sinθ cos²(w⋅t)+cos²(w⋅t+π

3)+cos²(w⋅t+2π

3 )=sin²(w⋅t')+sin²(w⋅t'+π

3)+sin²(w⋅t'+2π 3 )=3

2 v²=v_x²+v_y²+v_z²= 3

2a²⋅w² v=a 3 2⋅w

OM

(t+T)=OM (t)

T =2π

w 2π

T =2π w

Cor rig é

(20)

2. On observe que le vecteur accélération est porté par la direction de la force de rappel exercée par le ressort.

3. À l’aide d’un logiciel de pointage tel que SalsaJ, on peut repérer les positions des points G_i−2 à G_i+2 en pixel sur le document, puis en utilisant l’échelle de référence des distances, on peut obtenir le facteur de conversion pour passer des distances en pixel aux distances en mètre, afin d’obtenir les coordonnées réelles des points en mètre, puis calculer les coordonnées des vecteurs vitesse, pour enfin en déduire les coordonnées du vecteur accélération au point G_i0 Les coordonnées du vecteur vitesse en Gⁱs’obtiennent en utilisant l’approximation :

v_x(G_i) x(G_i+1)−x(G_i−1)

2τ .v_y(G_i) y(G_i+1)−y(G_i−1)

2τ 0

Les coordonnées du vecteur accélération en Gⁱs’obtiennent en utilisant l’approximation : a_x(G_i)v_x(G_i+1)−v_x(G_i−1)

2τ .a_y(G_i)v_y(G_i+1)−v_y(G_i−1)

2τ 0

x(pixel) y(pixel) x(reel) y(reel) vx vy ax ay a

Gi-2 318,00 220,00 0,06 0,04

Gi-1 406,00 146,00 0,07 0,03 0,42 -0,27

Gi 501,00 105,00 0,09 0,02 0,43 -0,14 0,52 2,54 2,59

Gi+1 594,00 85,00 0,11 0,02 0,46 -0,06

Gi+2 702,00 78,00 0,13 0,01

4. L’utilisation de la relation F=k⋅OG−OG₀ permet de calculer l’intensité de la force exercée par le ressort : F =k⋅OG−OG₀ =5,33×(0,409−0,135)=1,46 N. L’utilisation de la relation F=m⋅a_idonne : F=0,64⋅2,6=1,7 N. Les résultats sont cohérents si on tient compte des approximations faites pour les calculs des vitesses et des accélérations. Par ailleurs l’égalité F=m⋅a_i qui découle de l’application de la deuxième loi de Newton comme nous le verrons au chapitre 7 suppose qu’il n’y ait absolument pas de frottement.

(21)

Co rrigé

V i+1 V i-1

- V i-1 6V

Cor rig é

(22)