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TS Thème : Comprendre
Physique Fiche méthode sur le mouvement d’un satellite terrestre Chap.7
Sommaire
1. Connaissances préalables... 1
2. Application de la 2ème loi de Newton ... 1
3. Composantes du vecteur accélération ... 1
4. Mouvement uniforme ... 1
5. Expression de la vitesse ... 1
6. Période de révolution T ... 2
7. Cas particulier du satellite géostationnaire ... 2
Hypothèse : Satellite en orbite circulaire autour de la Terre
1. Connaissances préalables
Système : le satellite de masse m et de centre d’inertie S
Référentiel : géocentrique supposé galiléen
Repère : repère de Frenet (S ; ut ; un ) lié au satellite
Force appliquée au système : force d’interaction gravitationnelle attractive exercée par la Terre T (de masse M) sur le satellite S (de masse). Les frottements sont négligés. L’influence des autres astres aussi.
F T/S = - G M m r²
uOS = G M m r²
u n avec u n vecteur unitaire 2. Application de la 2ème loi de Newton
Dans un référentiel galiléen, si la masse est constante, la somme des forces
extérieures au système est égale au produit de la masse du système par le vecteur accélération soit :
F ext = F T/S = dp
dt = m a . 3. Composantes du vecteur accélération
F O/S = G M m r²
un = m a soit a = G M r²
un
Le vecteur accélération est centripète (dirigé vers le centre de la trajectoire)
Le vecteur accélération a une composante tangentielle nulle mais a une composante normale différente de 0.
Le vecteur accélération n’est constant car il change de direction à chaque instant.
4. Mouvement uniforme
Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération a pour expression :
a = aN
un + aT
ut avec aN = v²
r (accélération normale) et aT = dv
dt (accélération tangentielle)
La composante tangentielle est nulle car a est centripète soit dv
dt = 0 d’où v = constante
Le mouvement d’un satellite sur une trajectoire circulaire est uniforme car sa vitesse est constante.
Attention, le vecteur vitesse n’est pas constant car il change de direction à chaque instant.
Autre solution (plus simple ?) : application de la 2ème loi de Kepler
La deuxième loi de Kepler ou loi des aires énonce que « les aires balayées par le vecteur Terre-Satellite pendant des durées égales sont égales ». Puisque sa trajectoire est circulaire, pour balayer toujours la même aire en un temps donné, le satellite doit avoir une vitesse constante. Son mouvement est circulaire et uniforme.
5. Expression de la vitesse
A partir de la composante normale de l’accélération aN = v² r = G M
r² d’où v = G M r
Unités : v en m.s-1 si M en kg ; G en unités S.I. et r en m.
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6. Période de révolution T
Définition : La période T de révolution d’un satellite est la durée mise par un satellite pour faire un tour autour de la Terre.
T = circonférence de l’orbite
vitesse du satellite = 2 r G M
r
= 2 r r
G M soit
T (s) = 2 r3
G M avec G en unités S.I, r en m ; M en kg
Ceci peut s’écrire : T² = 4² r3
G M soit T² = 4 ²
G M r3 ;
le carré de la période de révolution est proportionnelle au cube du rayon r de l’orbite du satellite (3ème loi de Kepler dans la cas d’un mouvement circulaire).
7. Cas particulier du satellite géostationnaire
Définition : Un satellite géostationnaire est un satellite qui a la même période de révolution que la Terre sur elle- même soit environ 24h = 24 60 60 = 86 400 s
Ce satellite doit tourner dans le même sens que la Terre.
Ce satellite doit être placé dans le plan équatorial
A partir de l’expression de la période, on peut trouver à quelle distance du centre de la Terre il se situe.
T (s) = 2 r3
G M soit T² = 4 ²
G M r3 d’où r3 = G M T²
4² soit r =
G M T²
4²
1/3
(racine cubique)
Application numérique : r =
6,67 10-11 5,98 1024 (24 60 60)²
4²
1/3
r = 4,2 107 m = 42 000 km ;
Conseil : lors du calcul, placer des parenthèses pour diviser par 4²
Le rayon de la Terre est de 6 400 km ; l’altitude du satellite est donc h = 36 000 km.
