Chapitre 12
Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique
Objectifs
Connaître l'expression de la force de Lorentz exercée sur une charge ponctuelle.
Savoir que pour une particule chargée, les effets de la gravitation sont souvent négligeables par rapport aux effets de la force électromagnétique.
Déterminer la puissance de la force de Lorentz.
Étudier le mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme.
Étudier le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme et stationnaire.
Compétences requises
Cocher la case correspondante dans le tableau ci-dessous.
Je sais ...
… exploiter un produit vectoriel
… définir la puissance d'une force
… utiliser les coordonnées polaires
1. Action d'un champ magnétique. Force de Lorentz
1.1. Approche expérimentale de l'interaction magnétique
Champ magnétique
Un aimant est une source de champ magnétique, un conducteur parcouru par un courant électrique est aussi une source de champ magnétique.
On caractérise le champ magnétique par un vecteur appelé vecteur d'induction magnétique ⃗B(M).
Un champ d'induction magnétique s'exprime en tesla T.
ordre de grandeur :
champ magnétique terrestre : 10 – 5 T aimant : 10 – 2 T
électroaimant : 1 à 10 T
Ligne de champ
Une ligne de champ magnétique est une courbe tangent en chacun de leur point à la direction du vecteur d'induction magnétique, orientée dans le sens de ce vecteur.
Une ligne de champ magnétique se referme sur elle-même.
matérialisation des lignes de champ magnétique dans le cas d'un aimant droit
Interaction magnétique Expérience
On considère le dispositif constitué d'une ampoule dont on a fait un vide poussé et dans laquelle est placée une très petite quantité de mercure qui se trouve à la pression de vapeur saturante.
Un dispositif approprié permet d'avoir, en amont, un faisceau d'électrons monocinétique (de même énergie cinétique).
Une fois arrivé dans l'ampoule en verre, des électrons de ce faisceau entrent en collision avec les atomes de mercure dont certains vont être ionisés ; la dé-excitation s'effectue par émission de lumière.
On approche un aimant de l'ampoule de sorte que localement la ligne de champ magnétique soit perpendiculaire au plan quadrillé. On refait l'expérience en retournant l'aimant.
Observations
En présence du champ magnétique (ici dû à l'aimant), le faisceau d'électrons est dévié dans le plan perpendiculaire à la ligne de champ magnétique locale ; la trajectoire est circulaire dans ce plan.
Plus le champ magnétique est intense et plus le rayon du cercle diminue.
Quand la ligne de champ locale est parallèle au vecteur vitesse de l'électron , on ne constate aucune déviation.
Animation
http://www.youtube.com/watch?v=70e5BG0Snc0&feature=related
1.2. Force de Lorentz
On doit au physicien Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), prix Nobel de physique, l'expression de la force électromagnétique qui s'exerce sur une particule chargée. Dans un référentiel galiléen, toute particule chargée de charge q qui entre dans un domaine où règne un champ électrique ⃗E et/ou un champ d’induction magnétique ⃗B est soumise à une force électromagnétique dite force de Lorentz dont l'expression est
⃗F=q(⃗E+ ⃗v∧⃗B).
Remarque :
En l'absence de champ magnétique, on retrouve l'expression de la force de Coulomb.
L'expression de la force de Lorentz permet de définir le vecteur d'induction magnétique.
On considère un électron de charge qe = – 1,6 10 – 19 C et de masse m = 9,110– 31 kg, soumis à l'action d'un champ magnétique créé par un électroaimant (B 1T) .
➢ Déterminer l'ordre de grandeur du rapport poids / force de Lorentz pour cette particule.
En général les effets de la gravitation sont souvent négligeables par rapport aux effets de la force électromagnétique.
Pour être dans le même contexte que celui décrit au § 1.1. on suppose que le champ électrique est nulle et on néglige les effets de l'action gravitationnelle devant ceux de l'action du champ magnétique. On suppose dans un premier temps que la ligne de champ magnétique locale est parallèle au vecteur vitesse de la particule chargée.
➢ Que peut-on dire de la force de Lorentz dans ce cas ?
➢ On suppose maintenant que la ligne de champ magnétique locale est perpendiculaire au vecteur vitesse de la particule chargée. Préciser la direction et le sens de la force de Lorentz.
➢ Compléter les schémas ci-dessous en illustrant l'allure de la trajectoire et le vecteur force en un point donné pour q > 0 et q < 0.
Remarque :
Les travaux effectués par H. Lorentz ont été la base de découvertes majeures d'une part dans la compréhension de la matière (découvertes de particules, aurores polaires) et d'autre part dans l'élaboration de dispositifs techniques comme le spectromètre de masse (pour l'analyse en chimie), le cyclotron (accélérateur de particules)... etc.
1.3. Puissance de la force de Lorentz
Un champ magnétique indépendant du temps ne peut pas faire varier l'énergie cinétique d'une particule chargée.En particulier ce type de champ ne peut pas mettre en mouvement une particule immobile.
C'est l'action du champ électrique qui permet de faire varier l'énergie cinétique d'une particule chargée.
⃗v ⃗B ⃗v ⃗B
➢ Définir la puissance d'une force.
➢ On suppose d'une part qu'il n'y a pas de champ électrique et d'autre part que le champ magnétique est indépendant du temps. Montrer que dans ce cas la puissance de la force de Lorentz est nulle.
➢ En déduire par application du théorème de l'énergie cinétique qu'un champ magnétique indépendant du temps ne peut pas faire varier l'énergie cinétique d'une particule chargée.
➢ On suppose maintenant qu'il y a présence d'un champ électrique. Montrer que la variation d'énergie cinétique est due à la présence du champ électrique.
Remarques :
On pourrait penser qu'il suffit d'augmenter le champ électrique pour faire atteindre à une particule chargée une vitesse aussi importante que désirée. En fait la particule ne pourra pas dépasser une vitesse correspondant à la célérité c de la lumière dans le vide.
La théorie qui résulte de la mécanique newtonienne n'expliquer pas ce fait, il faut utiliser la relativité restreinte pour expliquer (et prévoir) ce qui se passe. On doit d'ailleurs à H.Lorentz des travaux concernant les changements de référentiels dans le cas de la relativité restreinte (transformations de Lorentz).
2. Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme
Nous avons vu précédemment que seul le champ électrique permet d'augmenter l'énergie cinétique d'une particule chargée. Dans de nombreux dispositifs (spectromètre de masse, cyclotron...etc) on a besoin d'accélérer une particule chargée (cf. § 4).
Champ électrique uniforme
Un champ électrique est uniforme quand il ne dépend pas des coordonnées d'espace ; le vecteur champ électrique a, à un instant donné, les mêmes caractéristiques en tout point de la région où il est établi. :⃗E(M ,t)= ⃗E(t).
Dispositif pour créer un champ électrique uniforme
Le dispositif le plus simple à mettre en œuvre est un condensateur dont les armatures sont planes et portées à une différence de potentiel électrique U.
Il se créé, entre les deux armatures planes, un champ électrique dont le vecteur ⃗E a pour caractéristiques:
• direction : perpendiculaire aux plaques,
• sens : du potentiel le plus élevé vers le potentiel le moins élevé,
• norme : E=U
d où U est la différence de potentiel électrique entre les armatures et d la distance qui les sépare.
Équation de la trajectoire
On considère une particule chargée dans un espace où règne uniquement un champ électrostatique.
Le référentiel d'étude est celui rattaché au laboratoire et il est considéré comme galiléen.
On néglige les effets de l'interaction gravitationnelle devant ceux du champ électrique.
• Dans le cas général, le mouvement s'effectue dans le plan formé par le champ électrique et le vecteur vitesse initial de la particule : la trajectoire est parabolique.
• Dans le cas particulier où le vecteur vitesse initial et le champ électrostatique sont de même direction et de même sens, la particule aura une trajectoire rectiligne et accélérée.
➢ Quel dispositif simple permet de créer un champ électrostatique dont on maîtrise les caractéristiques ?
On pose ⃗E=E ⃗ez . On note a l'angle que fait le vecteur vitesse initial ⃗v0 de la particule avec la direction du champ électrique. On suppose qu'initialement la particule est en O centre du repère.
➢ En utilisant la loi de la quantité de mouvement, déterminer les équations horaires du mouvement. En déduire l'équation de la trajectoire et montrer qu'il s'agit, dans le cas général, de l'équation d'une parabole.
➢ On suppose que le vecteur vitesse initial et le champ électrostatique sont de même direction et de même sens. Retrouver que dans ce cas le mouvement est rectiligne et uniformément accéléré.
Étude énergétique
➢ Montrer que la variation d'énergie cinétique vaut DEc = qU où U est la tension électrique aux bornes du condensateur.
➢ En supposant la vitesse initiale nulle, déterminer l'expression de la vitesse à la sortie du domaine où règne le champ électrique.
Remarques :
Une variation d'énergie de 1eV correspond à l'accroissement d'énergie cinétique d'un électron soumis à une tension électrique de un volt.
L'accroissement de l'énergie d'une particule ne peut pas être aussi grande que l'on veut ; il y a une limitation relativiste (cf. expérience de Bertozzi).
d U
3. Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme et stationnaire
Nous avons vu précédemment qu'un champ magnétique indépendant du temps ne permet pas de faire varier l'énergie cinétique d'une particule chargée par contre il permet de changer sa direction. On utilise ce fait dans de nombreux dispositifs comme le spectromètre de masse (analyse chimique) où dans les chambres de détections des particules chargées (chambre à bulles). Le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique permet d'expliquer l'apparition d'aurore polaire.
Champ uniforme et champ stationnaire
Un champ magnétique est stationnaire quand le vecteur induction magnétique ne dépend pas du temps : ⃗B(M , t)=⃗B(M). Un champ magnétique est uniforme quand le vecteur induction magnétique ne dépend pas des coordonnées d'espace :
⃗B(M ,t)=⃗B(t). Ainsi, pour un champ magnétique uniforme et stationnaire le vecteur induction magnétique est un vecteur constant.
Nature de la trajectoire
On s’intéresse à la trajectoire d'une particule chargée dans un espace où règne uniquement un champ magnétique uniforme et indépendant du temps.
Le référentiel d'étude est celui rattaché au laboratoire et il est considéré comme galiléen. On néglige les effets de l'interaction gravitationnelle devant ceux du champ magnétique.
• Le mouvement général de la particule chargée qui évolue dans un champ magnétique est hélicoïdal.
• Dans le cas où le vecteur vitesse initial est perpendiculaire aux lignes de champ magnétique, la particule à un mouvement circulaire dont le rayon dépend du rapport masse sur charge m
∣q∣.
On considère une particule chargée qui est dans une région où règne un champ magnétique uniforme et stationnaire. On pose ⃗B=B ⃗ez . On suppose qu'initialement la particule est en O centre du repère et que le vecteur vitesse initial ⃗v0 est dirigé selon l'axe Ox.
➢ En utilisant la loi de la quantité de mouvement, montrer que
0 ) (
) ( )
(
) ( ) (
t z
t x mB t q y
t y mB t q x
.
➢ Que peut-on dire du mouvement de la particule selon l'axe Oz du vecteur d'induction magnétique ?
➢ On note u = x + j y où j est l'imaginaire pur et on pose ω=∣q∣
mB (appelée pulsation cyclotron). Montrer que u+¨ jω ˙u=0 .
➢ En intégrant et en tenant compte des conditions initiales, retrouver le résultat u(t)=v˙ 0 e−jωt.
➢ En déduire que u(t)=jv0
ω
(
e−jωt−1)
puis que t
t y
t t
x
ω ω ω ω
cos v 1 ) (
v sin ) (
0 0
.
➢ Montrer que dans le plan xOy la trajectoire est un cercle de rayon R=mv0
∣q∣B . Vérifier l'homogénéité de cette expression.
Détermination rapide du rayon de la trajectoire
On se place toujours dans le contexte où la particule chargée à vecteur vitesse initiale
⃗v0 soit perpendiculaire au vecteur induction magnétique ⃗B. On admet la nature circulaire de la trajectoire (hypothèse de départ).
➢ Rappeler l'expression du vecteur accélération dans le cas d'un mouvement circulaire.
➢ Exprimer la force de Lorentz en coordonnées polaires.
➢ En utilisant la loi de la quantité de mouvement, retrouver l’expression du rayon de la trajectoire : R=mv0
∣q∣B .
4. Applications
Accélérateur de particules
Les accélérateurs de particules sont utilisés aussi bien dans la recherche fondamentale (cf. Annexe « les enjeux scientifiques du LHC ») qu'appliquée par exemple la protonthérapie pour le traitement de cancers oculaire et intracrâniens.
Animations
Principe d'un cyclotron (pour communiquer une énergie de l'ordre de quelques centaines de MeV):
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Charges/
cyclotron.html
Synchrotron (pour communiquer des énergies plus importantes) : http://www.youtube.com/watch?v=qQNpucos9wc&feature=related
Spectromètre de masse
Le spectromètre de masse est un dispositif utilisé pour l'analyse et l'identification de molécules.
Il est composé d’un canon à électrons qui permet d'avoir, sous l'action d'un champ électrique, un faisceau d'électrons de grande vitesse (cf. § 2), d’une chambre d'ionisation où le faisceau d'électrons entre en collisions avec l'échantillon à analyser et donne des ions, d’une chambre de déviation où les ions, sous l'action d'un champ magnétique, auront une trajectoire circulaire dont le rayon dépend du rapport masse / charge (cf. § 3) et enfin d’un détecteur d'impacts et un système de traitement de signaux.
Sonde à effet Hall
On considère semi-conducteur parallélépipédique dans lequel circule un courant électrique constant dans le sens de sa longueur. On place ce matériau est dans une région où règne un champ magnétique perpendiculaire aux faces.
Il apparaît une différence de potentiel électrique qui dépend des caractéristiques du matériau et qui est proportionnelle à l'intensité du champ magnétique appliqué. Une des utilisations d'une sonde à effet Hall concerne la mesure de l'intensité d'un champ magnétique.
Animation
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Charges/hall.html
