Propri´ et´ es des vecteurs

PRIMITIVES USUELLES

Fonction Primitive 1

x lnx

1 ax+b

1

aln(ax+b)

xⁿ xⁿ⁺¹

n+ 1

sin(ax) −1

acos(ax)

cos(ax) 1

asin(ax)

e^ax e^ax

a

Fonction Primitive lnx xlnx−x

1

cos²x tanx 1

sin²x − 1

tanx tanx −ln(cosx)

1 x²+a²

1

aarctanx a

D´ eveloppements limit´ es usuels au voisinage de x=0

e^ax

∞

X

0

xⁿ

n! = 1 +x+x² 2 +...

ln(1−x) −

∞

X

0

xⁿ

n =−(x+ x² 2 +...)

(1 + x)^α 1 +

∞

X

0

α(α−1)...(α−n+ 1)xⁿ

n! = 1 +αx+α(α−1)x² 2 +...

cosx

∞

X

0

(−1)ⁿx²ⁿ

(2n)! = 1− x² 2 +...

sinx

∞

X

0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! =x− x³ 6 +...

tanx x+ x³ 3 +...

Propri´ et´ es des vecteurs

Dans un plan, pour le vecteur V~ =a~u_x+b~u_y, On note le module : ||V~||=V =^qV_x²+V_y² on a : a=V cosθ, b=V sinθ et tanθ = b

a ^x

y

V

a b

θ

Soit U~ =U_x~u_x+U_y~u_y+U_z~u_z etV~ =V_x~u_x+V_y~u_y +V_z~u_z, Produit scalaire :

U .~~ V =U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z =U.V.cosθ Produit vectoriel :

U~ ∧V~ = (U_yV_z−U_zV_y)~u_x+ (U_zV_x−U_xV_z)~u_y+ (U_xV_y−U_yV_x)~u_z U~ ∧V~ =U.V.sinθ ~u⊥

V

θ U

u^T

Formules trigonom´ etriques circulaires

sin²x+ cos²x= 1

sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa ; sin(a−b) = sinacosb−sinbcosa cos(a+b) = cosacosb−sinasinb ; cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb cosacosb= 1

2(cos(a+b) + cos(a−b)) sin(2a) = 2 sinacosa

cos(2a) = cos²a−sin²a = 2 cos²a−1 = 1−2 sin²a cosa+ cosb = 2 cos(a+b

2 ) cos(a−b

2 ) ; cosa−cosb=−2 sin(a+b

2 ) sin(a−b 2 ) sina+ sinb = 2 sin(a+b

2 ) cos(a−b

2 ) ; sina−sinb= 2 sin(a−b

2 ) cos(a+b 2 )

Propri´ et´ es des nombres complexes

On note z un nombre complexe : z =a+jb=|z|e^jϕ. Module : |z|=√

a²+b² , Argument : tanϕ= b

a , cosϕ= a

√a²+b² , sinϕ= b

√a²+b²

z₁ z₂

= |z₁|

|z₂| ; arg(z₁

z₂) = arg(z₁)−arg(z₂) ; arg(z^α) =α arg(z) ; |z|^α =|z^α| Cons´equence : si H = 1

a+jb =|H| e^jϕ alors |H|= 1

√a²+b² et ϕ= arg(H) v´erifie : tanϕ=−b

a , cosϕ= a

√a² +b² , sinϕ= −b

√a²+b²

Equations diff´ erentielles lin´ eaires ` a coefficients constants

• Equations du premier ordre.

Ecriture canonique pour une fonction x(t) de la variable t : dx dt + x

τ =f(t) τ est une constante homog`ene `a un temps.

Solution de l’´equation homog`ene : x<sub>h</sub>(t) = A e<sup>−t/τ</sup>, o`u A est une constante

Solution g´en´erale : x(t) = x_h(t) +x_p(t) o`u x<sub>p</sub>(t) est une solution particuli`ere avec second membre.

- Si f(t) = F_o est constante alors x_p =τ F_o est constante.

- Si f(t) = B e^kt o`u k est constante alors x_p = Be^kt. On trouve B en r´esolvant l’´equation avec x_p(t)

- Si f(t) =X_ocos(ωt+ϕ) o`u ω et ϕ sont constantes alors x_p = X_ocos(ωt+ϕ+ψ) et on passe en complexes pour chercher X_o etψ.

• Equations du second ordre.

Ecriture canonique : d²x dt² +ωo

Q dx

dt +ω_o²x=f(t), ω_o pulsation propre, Q facteur de qualit´e.

Solution de l’´equation homog`ene : on cherche x(t) = e^rt et r v´erifie alors une ´equation du second degr´e :r²+ω_o

Q +ω_o²r= 0. On calcule le discriminant ∆.

- Si ∆>0 on a deux racines r´eelles n´egativesr₁ et r₂ etx(t) = A e^r1t+B e^r2t - Si ∆ = 0 on a une racine double r´eelle n´egative −ω_o

2Q et x(t) = (A+Bt) e^−ωot/2Q - Si ∆<0 on a deux racines complexes `a partie r´eelle n´egativer1 et r2 et

x(t) = (Acos(ωt) +Bsin(ωt))e^−ωot/2Q, avec ω =

√−∆

2 .

Solution g´en´erale : x(t) = x_h(t) +x_p(t) o`u x<sub>p</sub>(t) est une solution particuli`ere avec second membre de la mˆeme forme que f(t) (cf 1er ordre).

• Dans TOUS LES CAS, la (ou les) constante(s) d’int´egration se calcule en utilisant les conditions initiales sur la SOLUTION G´EN´ERALE.

Alphabet grec

A, α alpha I, ι iota P, ρ rho

B, β bˆeta K, κ kappa Σ, σ sigma

Γ, γ gamma Λ, λ lambda T, τ tau

∆, δ delta M, µ mu Y, υ upsilon

E, epsilon N, ν nu Φ, ϕ phi

Z, ζ dzˆeta Ξ, ξ ksi X, χ khi

H, η ˆeta O, o omicron Ψ,ψ psi

Θ, θ thˆeta Π, π pi Ω, ω om´ega