Propri´ et´ es :

(1)

Valeurs absolues - Encadrements

I. d´ efinition et propri´ et´ es

D´ efinition :

Soit x un réel, on appelle valeur absoluede x notée^|x^|le nombre positif défini par :

|x^|= x si x^¥0

|x^|= -x si x^¤0

Propri´ et´ es :

.

|-x^|=^|x^|

?

x²=^|x^|

|xy^| =^|x^|^|y^|

|x/y^|=^|x^|/^|y^| si y0

In´ egalit´ e du Triangle :

|x + y^|^¤^|x^| +^|y^|

Propri´ et´ es :

Soit a^¡0 et x r´eel, alors :

|x^|= a^ð^ñx = a ou x = -a

|x^|^¤a ^ð^ñS = [-a ; a]

|x^|^¡a ^ð^ñS =^s⁸,a^rYsa; ^8r

II. Encadrements

D´ efinition :

R´ealiser l’encadrement d’un nombre x quelconque, c’est trouver deux nombres a et b tels que a^¤x^¤ b.

L’amplitude de l’encadrement est c = b - a

Valeur Approch´ ee :

Soient a et x deux nombres et e ^¡0. Alors a est une valeur approchée de x (ou approximation) à e près (ou à la précision e près) quand^|x - a^|^¤e

D´ efinition :

Soient a et x deux r´eels et e ^¡0,

a est une valeur approchée de x à e prèspar défautsi a ^¤x^¤a + e

a est une valeur approchée de x à e prèspar excèssi a - e^¤x^¤a

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(2)

Propri´ et´ es :

.

Soit x tel que a^¤x^¤b, une valeur approchée de x est c = (a + b)/2. La précision est e = (b - a)/2 et c est une valeur approchée de x à e près soit :^|x - c^|^¤e.

Si x tel que a^¤x^¤b et que c^¤a^¤b^¤d alors on a : c ^¤a ^¤x^¤b^¤d

Si x tel que a^¤x^¤b, un majorant de^|x^|est le plus grand nombre en valeur absolue^|a^|ou^|b^|.

III. Rappels sur les distances

D´ efinition :

La distance entre deux points A(x_A) et B (x_B) se calcule par : d(A,B) = ^|x_B - x_A^|(ou^|x_A- x_B^|).

Propri´ et´ es :

On a les ´equivalences suivantes :

d(x, a)^¤r

|x - a^|^¤r

a - r^¤x^¤a + r

x^P[a - r ; a + r]

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