Activit´e de math´ematiques
Fonctions convexes
D´efinition. On dit qu’une fonction f d´efinie sur un intervalle I ⊂ R est convexe resp. concave sur I si pour tout x, y∈I on a :
f
x+y
2
6 f(x) +f(y)
2 resp. f
x+y
2
> f(x) +f(y) 2
Etude d’exemples ´
1. Prouver que la fonction x7→x2 est convexe sur R. 2. Prouver que la fonction x7→ 1
x est convexe sur R∗+ et concave surR∗−. 3. Prouver que la fonction x7→√
xest concave sur R+.
Propri´ et´ e fondamentale
Le but de cette partie est de prouver la propri´et´e suivante :
Propri´et´e. Soit f une fonction d´efinie et deux fois d´erivable sur R telle que pour tout x ∈ R, f′′(x) >0 alors la fonctionf est convexe sur R.
On consid`ere un r´eel donn´ey et on d´efinit la fonction auxiliaire : g(x) = f(x) +f(y)
2 −f
x+y
2
1. Prouver que la fonction g est d´erivable surR et calculer sa d´eriv´ee.
2. Prouver que f′ est strictement croissante surR, en d´eduire que : six < y alors g′(x)>0 ,
six > y alors g′(x)<0 .
3. En d´eduire les variations de la fonction g surR et prouver queg(x)>0 pour x∈R. 4. Conclure.
Application
On admet que la propri´et´e ci-dessus peut se g´en´eraliser au cas d’un intervalleI quelconque deR. Prouver que pour toutx, y∈[0;π], on a :
sin
x+y
2
> sin(x) + sin(y) 2 On pourra ´etudier la fonctionx7→ −sin(x) sur l’intervalle [0;π].
www.emmanuelmorand.net 1/1 Ts0809Chap01Activite4
