D265. Une propri´ et´ e bis´ eculaire
Soit un polygone r´egulier de 2016 cˆot´es inscrit dans un cercle de rayon unit´e.Une triangulation de ce polygone consiste `a le partager en 2014 triangles qui ne se recouvrent pas et dont les sommets sont choisis exclusivement parmi les som- mets du polygone.
D´emontrer que la somme des rayons de tous les cercles inscrits `a ces triangles ne d´epend pas de la triangulation choisie et qu’elle est ´egale `a une constante que l’on d´eterminera avec une pr´ecision de quatre d´ecimales apr`es la virgule.
1er cas : sym´etrie
Soit une triangulation dans l’´etat interm´ediaire o`u les sommets de A `a F ont
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et´e utilis´es. A l’´etape suivante, on peut choisir le triangle AFG ou le triangle sym´etrique A’F’O’. La partie restante est la mˆeme dans les 2 cas.
2`eme cas : remplacement progressif
Le th´eor`eme sur les quadrilat`eres inscriptibles montre que la somme des rayons des cercles inscrits dans les triangles AF J et F GJ est la mˆeme que celle des
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triangles A0F0G0 et A0G0J0. On peut donc remplacer progressivementAF J par des triangles tels que A0F0G0.
Donc toutes les triangulations ont la mˆeme somme des rayons des cercles inscrits et on peut faire le calcul en fixant un sommet commun `a tous les triangles.
On utilise la formule r = S
p, o`u S est la surface du triangle et p le demi- p´erim`etre. N est le nombre de cot´es. Tous les triangles ont un mˆeme angle α= π
N et un mˆeme cot´e ext´erieurc= 2rsin(α).
Les autres cot´es sonta = 2rsin(jα)etb= 2rsin((j+ 1)α),jde1`aN−1.
La surface est donn´ee parS = 0.5absin(α).
Le calcul pour N = 2016 fournit la constante 1.997552.
La constante tend vers 2 quand N augmente ind´efiniment : dans chaque trian- gle, le centre du cercle inscrit est de plus en plus pr`es du cot´e ext´erieur est son diam`etre tend vers le produit de la longueur du cot´e par le cosinus de l’angle entre l’axe du triangle et son cot´e ext´erieur. Donc la somme tend vers l’int´egrale du cosinus de−π `aπ.
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