D 265. Une propriété biséculaire. **** Source : sangaku japonais
Soit un polygone régulier de 2016 côtés inscrit dans un cercle de rayon unité. Une triangulation de ce polygone consiste à le partager en 2014 triangles qui ne se recouvrent pas et dont les sommets sont choisis exclusivement parmi les sommets du polygone.
Démontrer que la somme des rayons de tous les cercles inscrits à ces triangles ne dépend pas de la
triangulation choisie et qu’elle est égale à une constante que l’on déterminera avec une précision de quatre décimales après la virgule.
Solution proposée par Michel Lafond:
1) Commençons par énoncer le théorème suivant du à Lazare Carnot (Mathématicien et physicien) :
Si un triangle (ABC) est inscrit dans un cercle de centre O, de rayon R et si r est le rayon du cercle inscrit, alors la somme des distances signées de O aux 3 côtés du triangle est égale à R + r.
[La distance OX est comptée négativement si et seulement si le segment OX est entièrement extérieur au triangle]
Il y a donc deux cas de figure comme on le voit ci-dessous.
2) Ce théorème a une conséquence importante :
Soit un quadrilatère convexe (ABCD) inscrit dans un cercle de centre O et de rayon R.
Les deux diagonales du quadrilatère déterminent 4 triangles dont on considère les 4 cercles inscrits.
On note le rayon du cercle inscrit dans le triangle (XYZ)
Il y a deux cas de figure selon que O est intérieur ou extérieur au quadrilatère.
Dans le cas de la figure 3 ci-dessous, O est intérieur au quadrilatère, il est dans l’un des 4 triangles déterminés par les deux diagonales, et on a d’après le théorème de Carnot,
d’où d’où
On en déduit immédiatement OH + OI + OJ = R + r
O A
B
C
H I
J
Figure 1
O A
B
C H
I J
– OH + OI + OJ = R + r Figure 2
Dans le cas de la figure 4 ci-dessus, O est extérieur au quadrilatère, et on a d’après le théorème de Carnot, d’où d’où
A
B
C
D E
F
G
H I
J O
Figure 3
B
C
D
A E
F
G
I
O
Figure 4 J H
On en déduit encore
Dans tous les cas de figure, il y a deux façons de trianguler un quadrilatère convexe inscriptible, et la somme des rayons des cercles inscrits dans les deux triangles est la même.
3)
Maintenant, si on triangule un polygone convexe inscriptible, de telle sorte queles sommets des triangles soient choisis exclusivement parmi les sommets du polygone, soit S la somme des rayons des cercles inscrits.
Cette somme est indépendante de la triangulation !
En effet, d’après ce qui précède, pour deux triangles ayant un côté commun, formant donc un quadrilatère convexe inscriptible, on peut sans changer S remplacer le côté commun par l’autre diagonale du
quadrilatère (Voir ci-dessous)
En modifiant ainsi les diagonales de proche en proche, on pourra passer d’une triangulation quelconque à une autre sans changer S.
4) On peut enfin aborder le problème, et supposer que la triangulation du polygone régulier à 2016 côtés est celle de la figure 5 ci-dessous, dans laquelle tous les triangles ont un sommet O commun :
O Figure 5
M1
M2
M3
Mk
Mk+1
Notons pour k = 1, 2, ---, 2014, le rayon du cercle inscrit dans le kème triangle (en gras dans la figure 5) et posons
On a (1) Avec la formule de Héron donnant l’aire d’un triangle, on obtient en posant
En utilisant (1) et un peu de trigonométrie, on transforme (2) en
ou encore
La somme cherchée est donc égale à
se calcule avec les nombres complexes et vaut
. Donc (4) devient
qui se simplifie en
