D265. Une propriété biséculaire
Soit un polygone régulier de 2016 côtés inscrit dans un cercle de rayon unité. Une triangulation de ce polygone consiste à le partager en 2014 triangles qui ne se recouvrent pas et dont les sommets sont choisis exclusivement parmi les sommets du polygone.
Démontrer que la somme des rayons de tous les cercles inscrits à ces triangles ne dépend pas de la triangulation choisie et qu’elle est égale à une constante que l’on déterminera avec une précision de quatre décimales après la virgule.
Source : sangaku japonais
Solution de Marie-Christine Piquet
En principe , quelle que soit la parité du nombre de côtés , l'affirmation s'avère vraie .
Notons c un côté du polygone régulier ; notons aussi h la distance séparant c du centre O du cercle circonscrit de rayon R de ce polygone.
Le théorème de Carnot concernant un triangle , les 3 distances d1 , d2 , d3 de ses côtés au centre O de son cercle circonscrit , du rayon R de ce cercle
et du rayon r de son cercle inscrit , dit ceci :
a) Le triangle est rectangle : d3 = 0 puisque O est le milieu de l'hypoténuse . ----> R + r = d1 + d2 b) Le triangle est acutangle : O est à l'intérieur du triangle ----> R + r = d1 + d2 + d3
c) Le triangle est obtusangle : O est extérieur au triangle et d3 est la plus petite distance ---> R + r = d1 + d2 - d3
A) P est un triangle équilatéral . le rayon de son cercle inscrit r = R/2 = 0.5 B) P est un carré .
Dans ce cas celui-ci est partagé en 2 triangles rectangles isocèles . Sommons les R + ri de ces 2 triangles
2R + 2r = 4h ---> 2r = 4h - 2R = 4R x cos 45° - 2R , et puisque R = 1 par hypothèse : 2r = 4.cos 45° - 2 = 0.8284..
C) P est un pentagone . Il est construit avec 3 triangles isocèles ( 1 acutangle et 2 obtusangles). En sommant les R + r(i) :
(R + r1) + (R + r2) + (R + r3) = 2h - d3 + h + 2d3 + 2h - d3 = 5h .
On s'aperçoit que les d3 ( 2 fois négatifs et autant de fois positifs) disparaissent dans la somme des R + ri .
Alors r1 + r2 + r3 = 5h - 3R = 5 R . cos 36° - 3R = 5 cos 36° - 3 = 1.045 . D) P est un hexagone :
1) une grande diagonale est utilisée avec 4 triangles ( 2 rectangles et 2 obtusangles ) ; dans ce cas ce sont les 2 triangles rectangles qui annulent
la somme de toutes les distances différentes de h ; alors : r1 + r2 + r3 + r4 = 6h - 4R = 6 x cos 30° - 4 = 1.19615..
2) aucune grande diagonale n'est utilisée et dans ce cas c'est le triangle acutangle central ( équilatéral ici ) qui ferme la marche , mais la somme
des r(i) recherchée reste inchangée.
En règle générale , pour n > 2 et quelque soit n , le centre O est : ou intérieur à un unique triangle acutangle ou le milieu d'une grande diagonale 2R
commune à 2 triangles rectangles .
Si A = Pi/n est le demi angle au centre du polygone régulier Pn , alors la somme des rayons des n-2 cercles inscrits se formule ainsi :
S[r] = R x [ cos(Pi/n) - n + 2 ] (en mode radian) . Avec R = 1 , S ----> 2- lorsque n ---> infini La somme des 2014 rayons du "deuxmilleseizagone" devient : S = 2016 x cos (Pi/2016) - 2014 = 1.997552..