Source : sangaku japonaise Solution de Claude Felloneau La somme des rayons de tous les cercles inscrits est constante et égale à 2016 cos³ π à 10−4près

D265. Une propriété biséculaire ****

Soit un polygone régulier de 2016 côtés inscrit dans un cercle de rayon unité. Une triangulation de ce po- lygone consiste à le partager en 2014 triangles qui ne se recouvrent pas et dont les sommets sont choisis exclusivement parmi les sommets du polygone.

Démontrer que la somme des rayons de tous les cercles inscrits à ces triangles ne dépend pas de la tri- angulation choisie et qu’elle est égale à une constante que l’on déterminera avec une précision de quatre décimales après la virgule.

Source : sangaku japonaise

Solution de Claude Felloneau

La somme des rayons de tous les cercles inscrits est constante et égale à 2016 cos³ π

2016

´

−2014≈1, 9976 à 10⁻⁴près.

Preuve :

• Si ABC est un triangle, d’aireS, inscrit dans un cercle de rayon unité et dont le rayon du cercle inscrit estr, on a

r(AB+BC+C A)=2SavecBC=2 sinA,C A=2 sinB,AB=2 sinCet 2S=AB×ACsinA on en déduit assez facilement

r= 2 sinAsinBsinC sinA+sinB+sinC puis

r=cos(A)+cos(B)+cos(C)−1.

• On en déduit que si ABC Dest un quadrilatère inscrit dans un cercle de rayon unité, et sir_A,r_B, rC etrD sont respectivement les rayons des cercles inscrits dans les trianglesBC D,C D A,D AB et

ABC, alors

r_A+r_C=r_B+r_D. En effet,d’après la propriété de l’angle inscrit, on a

C AD =C B D,DB A =DC A, AC B=ADB,B DC =B AC.

O

B

A C

D

α α

β β γ

δ γ δ

Avec les notations de la figure, on a donc

rA+rC=cos(α+δ)+cos(β)+cos(γ)+cos(α)+cos(β+γ)+cos(δ)−2 ABC Détant inscriptible, on aα+δ+β+γ=πdonc cos(α+δ)+cos(β+γ)=0 donc

rA+rC=cos(α)+cos(β)+cos(γ)+cos(δ)−2 On obtient la même expression pourrB+rD, d’où l’égalitérA+rC=rB+rD.

• Par récurrence, on en déduit que siPn=A1A2...Anest un polygone convexe inscrit dans un cercle de rayon unité etTnun triangulation de ce polygone enn−2 triangles, la sommesndes rayons de tous les cercles inscrits dans ces triangles ne dépend pas de la triangulation choisie mais unique- ment du polygonePn.

• Dans le cas oùPnest un polygone régulier, pour calculerSnon utilise la triangulation formée par les trianglesA₁A_kA_k+1où 26^k6ⁿ−1.

Les angles du triangleA1AkAk+1ont pour mesure π

n,(k−1)π

n et (n−k)π

n , donc le rayon du cercle inscrit dans ce triangle est

rn=cos³π n

´ +cos

µ(k−1)π n

¶ +cos

µ(n−k)π n

¶

−1 soit

rn=cos³π n

´ +cos

µ(k−1)π n

¶

−cos µkπ

n

¶

−1 On a ainsi

S_n=(n−2) cos³π n

´ +

n−1X

k=2

cos

µ(k−1)π n

¶

−

n−1X

k=2

cos µkπ

n

¶

−(n−2)

Sn=(n−2) cos³π n

´cos³π n

´

−cos

µn−1π n

¶

−(n−2) D’où

Sn=ncos³π n

´

−n+2

Pourn=2016, on obtient donc le résultat donné au début de la solution.

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