D265. Une propriété biséculaire
Soit un polygone régulier de 2016 côtés inscrit dans un cercle de rayon unité. Une triangulation de ce polygone consiste à le partager en 2014 triangles qui ne se recouvrent pas et dont les sommets sont choisis exclusivement parmi les sommets du polygone.
Démontrer que la somme des rayons de tous les cercles inscrits à ces triangles ne dépend pas de la
triangulation choisie et qu’elle est égale à une constante que l’on déterminera avec une précision de quatre décimales après la virgule.
Source : sangaku japonais Solution de Paul Voyer
Le polygone étant régulier, toute triangulation peut de proche en proche être transformée en une autre par des permutations du type : (on a pris des angles plus grands pour raison de clarté)
Dans le trapèze ABCD, AC et BD sont intervertis, sans effet sur la somme des rayons des deux cercles inscrits ABC+ACD ou ABD + BCD.
La somme des rayons de tous les cercles inscrits est donc indépendante de la triangulation.
On peut donc choisir une triangulation particulière pour le calcul.
On choisit la triangulation dans laquelle tous les triangles ont A comme sommet.
Le théorème de Lazare Carnot nous dit pour chaque triangle : R+r(ABC) = Distance(O, AB)+Distance(O, BC)-Distance(O, AC), R+r(ACD) = Distance(O, AC)+Distance(O, CD)-Distance(O, AD).
etc…
Dans la sommation, la contribution de toutes les diagonales est nulle, chacune étant comptée une fois positivement et une fois négativement, il reste celle des côtés du polygone,
cos 2016 .
2016
pour les 2016 côtés, -2014 pour les 2014 triangles.
2016 2014 cos
2016
