D265. Une propriété biséculaire
Soit un polygone régulier de 2016 côtés inscrit dans un cercle de rayon unité. Une triangulation de ce polygone consiste à le partager en 2014 triangles qui ne se recouvrent pas et dont les sommets sont choisis exclusivement parmi les sommets du polygone.
Démontrer que la somme des rayons de tous les cercles inscrits à ces triangles ne dépend pas de la
triangulation choisie et qu’elle est égale à une constante que l’on déterminera avec une précision de quatre décimales après la virgule.
Source : sangaku japonais
Solution proposée par Daniel Collignon
Il s'agit d'un résultat généralisant un théorème de Carnot sur le triangle et ses cercles circonscrits et inscrits : r+R=OH1+OH2+OH3 (somme signée de O aux projetés orthogonaux de O sur les côtés du triangle).
Alors r_1 + ... + r_2014 = 2016h-2014R où h désigne l'apothème h=cos(pi/2016) et R=1.
r_1 + ... + r_2014 = 1,9976 en valeur approchée
