Soit un polygone régulier de 2016 côtés inscrit dans un cercle de rayon unité. Une triangulation de ce polygone consiste à le partager en 2014 triangles qui ne se recouvrent pas et dont les sommets sont choisis exclusivement parmi les sommets du polygone. Démontrer que la somme des rayons de tous les cercles inscrits à ces triangles ne dépend pas de la triangulation choisie et qu’elle est égale à une constante que l’on déterminera avec une précision de quatre décimales après la virgule.
Considérons un polygone régulier à n cotés inscrit dans un cercle de rayon R de centre O.
Suivant le théorème japonais de Carnot (https://fr.wikipedia.org/wiki/
Th%C3%A9or%C3%A8me_japonais_de_Carnot) , pour tout triangle ABC inscrit dans ce cercle, avec A’, B’ et C’ milieux respectifs de BC, CA et AB et r rayon du cercle inscrit, on a R+r=OA’+OB’+OC’, les distances algébriques du second membre étant comptées positivement si O et A (resp B, C) sont du même coté de BC (resp CA, AB) et négativement sinon.
En triangulant le polygone régulier, on le découpe en n-2 triangles de même cercle circonscrit, de rayon R, dont les cotés sont les n cotés du polygone, chacun
apparaissant une fois, et n-3 diagonales (parmi les n(n-3)/2), chacune apparaissant deux fois, O étant situé une fois vers l’intérieur et l’autre vers l’extérieur des triangles contenant cette diagonale.
En faisant la somme des relations obtenues par le théorème ci-dessus, on obtient d’une part la somme des distances de O aux cotés du polygone, soit na, si a est l’apothème du polygone, et celle, qui s’annule, des distances de O aux diagonales, d’autre part la somme ∑r des rayons des cercles inscrit, et de (n-2)R.
On en déduit que la somme ∑r=na-(n-2)R ne dépend pas du découpage choisi.
Si R=1, n=2016, a=cos(π/2016)=0,999998786 soit ∑r=1,9976
