Enonc´e noD238 (Diophante) A la recherche du polygone r´egulier
Quatre pointsA, B,C etD sont situ´es dans cet ordre sur la circonf´erence d’un cercle. Les cordes AB, BC et CD sont ´egales entre elles et l’on a la relation 1
AB = 1 AC + 1
AD.
Montrer que les quatre points sont des sommets d’un polygone r´egulier dont on d´eterminera le plus petit nombre possible de cˆot´es.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit 2a l’arc du cercle sous-tendu par chacune des cordes AB, BC, CD. Si R est le rayon du cercle,
AB= 2Rsina,AC = 2Rsin(2a),AD= 2Rsin(3a).
La relation de l’´enonc´e donne
0 = 2Rsin(2a) sin(3a)(1/AB−1/AC−1/AD) =
= 2 cosasin(3a)−sin(3a)−sin(2a) = sin(4a)−sin(3a) =
= 2 sin(a/2) cos(7a/2).
L’ordre des points A, B, C, D montre que 0 < 2a < 2π/3, 0 < sin(a/2) <
1/2, il faut donc que cos(7a/2) = 0, 7a/2 = (2k+ 1)π/2.
2a= (4k+ 2)π/7 est commensurable avec 2π, et son premier multiple qui soit multiple de 2π est le septuple : on revient au point de d´epart au bout de 7 cordes successives ´egales `a AB.
En outre 0<2a <2π/3 entraˆıne 2k+ 1<7/3, etk= 0, d’o`ua=π/7.
Les points A, B, C, D sont 4 sommets cons´ecutifs d’un heptagone r´egulier convexe.
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