TOUT CE QUI DOIT ˆ ETRE SU AVANT LA RENTR´ EE
EL´ ´ EMENTS DE G´ EOM´ ETRIE
BARYCENTRE G des points Ai de masses mi : # » OG=
X
i
mi# » OAi
X
i
mi
CERCLE DE RAYON R :
Longueur de l’arc AB =Rθ , P´erim`etre = 2πR, DISQUE DE RAYON R : Surface S =πR2 SPH`ERE DE RAYON R : Surface S = 4πR2, BOULE DE RAYON R : Volume V = 4
3πR3
θ
O B
A
TRIANGLES :
Barycentre G : aux 2/3 des m´edianes `a partir des sommets AG= 2
3AA0, BG= 2
3BB0, CG= 2 3CC0 Surface S = BC.AH
2 = 1
2BC.ABsinθ
Formule de Al-Kashi :AC2 =BA2+BC2−2BC BAcosθ
B
θ
A
A' C H
C' G B'
Propri´ et´ es des vecteurs
Dans un plan, pour le vecteur #»
V =a#»ux+b#»uy, On note le module :||#»
V||=V =qVx2+Vy2 on a : a=V cosθ,b =V sinθ et tanθ= b
a x
y
V
θ a b
Soit #»
U =Ux#»ux+Uy#»uy +Uz#»uz et #»
V =Vx#»ux+Vy#»uy+Vz#»uz, Produit scalaire :
U .#» #»
V =UxVx+UyVy +UzVz =U.V.cosθ Produit vectoriel :
U#»∧#»
V = (UyVz−UzVy)#»ux+(UzVx−UxVz)#»uy+(UxVy−UyVx)#»uz U~ ∧V~ =U.V.sinθ #»u⊥
V
θ U
u T
Double produit vectoriel :
~a∧(#»
b ∧ #»c) = (#»a .#»c) #»
b −(#»a .#»
b) #»c et (~a∧ #»
b)∧ #»c = (#»a .#»c) #»
b −(#»
b .#»c) #»a
PRIMITIVES USUELLES
Fonction Primitive 1
x ln(|x|)
1 ax+b
1
aln(|ax+b|)
xn xn+1
n+ 1
sin(ax) −1
acos(ax)
cos(ax) 1
asin(ax)
eax eax
a lnx xlnx−x
Fonction Primitive 1
cos2x tanx 1
sin2x − 1
tanx tanx −ln(|cosx|)
1 x2+a2
1
aarctanx a
√ 1
1−x2 arcsin(x)
− 1
√1−x2 arccos(x)
D´ eveloppements limit´ es usuels au voisinage de x=0
eax
∞
X
n=0
xn
n! = 1 +x+x2 2 +...
ln(1 +x)
∞
X
n=0
(−1)n−1xn
n =x− x2 2 +...
ln(1−x) -
∞
X
n=0
xn
n =−x− x2 2 +...
(1 + x)α 1 +
∞
X
n=1
α(α−1)· · ·(α−n+ 1)xn
n! = 1 +αx+α(α−1)x2 2 +...
cosx
∞
X
n=0
(−1)nx2n
(2n)! = 1− x2 2 +...
sinx
∞
X
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)! =x−x3 6 +...
tanx x+x3
3 +...
Formules trigonom´ etriques circulaires
sin2x+ cos2x= 1
sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa ; sin(a−b) = sinacosb−sinbcosa cos(a+b) = cosacosb−sinasinb ; cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb cosacosb= 1
2(cos(a+b) + cos(a−b)) sin(2a) = 2 sinacosa
cos(2a) = cos2a−sin2a= 2 cos2a−1 = 1−2 sin2a cosa+ cosb= 2 cos(a+b
2 ) cos(a−b
2 ) ; cosa−cosb =−2 sin(a+b
2 ) sin(a−b 2 ) sina+ sinb= 2 sin(a+b
2 ) cos(a−b
2 ) ; sina−sinb = 2 sin(a−b
2 ) cos(a+b 2 )
Propri´ et´ es des nombres complexes
On note z un nombre complexe : z=a+jb=|z|ejϕ. Module : |z|=√
a2+b2 , Argument : tanϕ= b
a , cosϕ= a
√a2+b2 , sinϕ= b
√a2+b2
z1 z2
= |z1|
|z2| ; arg(z1
z2) = arg(z1)−arg(z2) ; arg(zα) = α arg(z) ; |z|α =|zα| Cons´equence : si H = 1
a+jb =|H| ejϕ alors |H|= 1
√a2+b2 etϕ= arg(H) v´erifie : tanϕ=−b
a , cosϕ= a
√a2+b2 , sinϕ= −b
√a2+b2
Equations diff´ erentielles lin´ eaires ` a coefficients constants
• Equations du premier ordre.
Ecriture canonique pour une fonction x(t) de la variable t : dx dt + x
τ =f(t) τ est une constante homog`ene `a un temps.
Solution de l’´equation homog`ene : xh(t) =A e−t/τ, o`uA est une constante
Solution g´en´erale :x(t) =xh(t) +xp(t) o`uxp(t) est une solution particuli`ere avec second membre.
- Si f(t) =Fo est constante alors xp =τ Fo est constante.
- Si f(t) = Fo ekt o`u k est constante alors xp = Bekt. On trouve B en r´esolvant l’´equation avec xp(t)
- Si f(t) = Xocos(ωt+ϕ) o`u ω et ϕ sont constantes alors xp = Xocos(ωt+ϕ+ψ) et on passe en complexes pour chercher Xo et ψ.
• Equations du second ordre.
Ecriture canonique : d2x dt2 +ωo
Q dx
dt +ω2ox=f(t),ωo pulsation propre, Q facteur de qualit´e.
Solution de l’´equation homog`ene : on cherche x(t) =ert etr v´erifie alors une ´equation du second degr´e :r2 +ωo
Q r+ωo2 = 0. On calcule le discriminant ∆.
- Si ∆>0 on a deux racines r´eelles n´egativesr1 etr2 et x(t) =A er1t+B er2t - Si ∆ = 0 on a une racine double r´eelle n´egative −ωo
2Q etx(t) = (A+Bt) e−ωot/2Q - Si ∆<0 on a deux racines complexes `a partie r´eelle n´egative r1 etr2 et
x(t) = (Acos(ωt) +Bsin(ωt))e−ωot/2Q, avec ω=
√−∆
2 .
Solution g´en´erale :x(t) =xh(t) +xp(t) o`uxp(t) est une solution particuli`ere avec second membre de la mˆeme forme que f(t) (cf 1er ordre).
• Dans TOUS LES CAS, la (ou les) constante(s) d’int´egration se calcule(nt) en utilisant les conditions initiales sur la SOLUTION G ´EN´ERALE.
Alphabet grec
A, α alpha I, ι iota P, ρ rho
B, β bˆeta K, κ kappa Σ, σ sigma
Γ, γ gamma Λ, λ lambda T, τ tau
∆, δ delta M,µ mu Y, υ upsilon
E, epsilon N, ν nu Φ, ϕ phi
Z, ζ dzˆeta Ξ, ξ ksi X, χ khi
H, η ˆeta O, o omicron Ψ, ψ psi
Θ, θ thˆeta Π, π pi Ω, ω om´ega
