mouvement - Grandeurs cin´etiques JR Seigne MP*, Clemenceau
Nantes
Quantit´e de mouvement
En M´ecanique classique En M´ecanique quantique En M´ecanique relativiste
Moment cin´etique Les grandeurs cin´etiques
Nature Torseurs Forme des lois de la M´ecanique
Quantit´ e de mouvement - Grandeurs cin´ etiques
JR Seigne MP*,Clemenceau Nantes
November 15, 2021
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De l’importance de la quantit´e de mouvement et
des grandeurs cin´etiques
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1 Quantit´e de mouvement En M´ecanique classique En M´ecanique quantique En M´ecanique relativiste
2 Moment cin´etique
3 Les grandeurs cin´etiques Nature
Torseurs
Forme des lois de la M´ecanique
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Quantit´ e de mouvement
Les ´etudes en m´ecanique ont montr´e que la quantit´e pertinente
´etait une quantit´e prenant en compte `a la fois l’inertie du syst`eme et sa vitesse, c’est la quantit´e de mouvement.
Quantit´e de mouvement d’un point : ~pM/R=m~vM/R
Syst`eme discontinu : ~pΣ/R =X
i
mi~vMi/R
Syst`eme continu : ~pΣ/R= Z
Σ
dm~vM/R
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Centre d’inertie
Le barycentre des masses encore appel´e centre d’intertieG d’un syst`eme mat´eriel est tr`es utile pour exprimer la quantit´e de mouvement du syst`eme. Un barycentre est une moyenne pond´er´ee, ici par les masses. On a :
−→OG = P
imi
−−→OMi
mtot
ou encore −→
OG = R
Σdm−−→ OM mtot
Quantit´e de mouvement d’un syst`eme : ~pΣ/R=mtot~vG/R
mtot
d−→
OG dt
R
= d dt
Z
Σ
dm−−→ OM
= Z
Σ
dm d−−→ OM dt
R
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Ondes
En, Louis de Broglie propose la dualit´e onde-particule par la formuleλ= h
p. En utilisant le vecteur d’onde~k= 2π λ~u et la constante r´eduite de Planck~= h
2π, on arrive `a une relation tr`es utile dans l’´etude des ondes, de la M´ecanique ondulatoire et de la M´ecanique quantique :
Quantit´e de mouvement associ´ee `a une onde de vecteur d’onde~k :
~p=~~k
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Relativit´ e restreinte
En dans la th´eorie de la relativit´e restreinte, Einstein impose une nouvelle expression de la quantit´e de mouvement.
La particule poss`ede la massem, la vitessev, la quantit´e de mouvementp. c est la vitesse de la lumi`ere dans le vide.
p=γm v = m v r
1−v2 c2
Siv ≪c, on retrouve la quantit´e de mouvement de la M´ecanique classiquep =mv en consid´erant que
r 1−v2
c2 ≃1.
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D´ efinition
Le moment cin´etique du pointM de massem dans le r´ef´erentielR, calcul´e au point O est d´efini par :
~LO/R=−−→
OM∧~p/R =−−→
OM∧m~vM/R
Pour un syst`eme Σ de points solide ou non, on somme les contributions des moments cin´etiques de tous les points en attribuant la masse ´el´ementairedm`a une portion infinit´esimale du syst`eme que l’on d´ecrit ici comme un continuum :
~LO,Σ/R= Z
Σ
−−→
OM∧dm~vM/R
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Expression
Le moment cin´etique du syst`eme Σ n’est, en g´en´eral, pas simple `a exprimer. Pour les solides, il fait intervenir une matrice appel´eematrice d’inertie et la vitesse de rotation du solide :
~LO,Σ/R =
Matrice d’inertie
~ ωΣ/R
∆ est un axe fixe de rotation tel que~ωΣ/R=ω~e∆. Projet´e sur cet axe, on obtient le moment cin´etique scalaireL∆ :
L∆=~LO,Σ/R·~e∆=J∆ω
J∆ est le moment d’inertie du solide sur l’axe ∆ de rotation.
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Les trois grandeurs cin´ etiques
Les grandeurs cin´etiques sont au nombre de trois que ce soit pour un point ou pour un syst`eme de points. La quantit´e de mouvement est encore appel´ee r´esultante cin´etique.
Quantit´e de mouvement ~pM−Σ/R
Moment cin´etique ~LO,M−Σ/R
Energie cin´´ etique Ec,M−Σ/R
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Un torseur est constitu´e de deux vecteurs : une r´esultante et le moment ´evalu´e en un point pr´ecis´e de cette r´esultante. C’est un outil hors-programme tr`es utile lorsque l’on approfondit les
´etudes en M´ecanique.
Torseur cin´ematique en O dans R
~vO,Σ/R, ~ωΣ/R
Torseur cin´etique en O dans R n
~LO,Σ/R, ~pΣ/R
o
´Energie cin´etique dansR: Ec,Σ/R= 1
2
~
vO,Σ/R·~pΣ/R+~LO,Σ/R·~ωΣ/R
L’´energie cin´etique est ledemi-comoment des torseurs cin´etique et cin´ematique.
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Energie cin´ ´ etique
On peut retrouver l’expression simple de l’´energie cin´etique d’un point mat´eriel ne particularisant l’expression pr´ec´edente.
On a~ω=~0 puisqu’il faut une direction donc au moins deux points pour d´efinir une vitesse de rotation1. On a :
Ec,/R= 1
2~p/R·~v/R= ~p/2R 2m = 1
2m~v/2R
Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe ∆ auquel appartient le point O (~vO,/R=~0), on a :
Ec,Σ/R= 1
2L∆ω= L2∆ 2J∆
= 1 2J∆ω2
1Il ne faut pas confondre vitesse angulaire d’un point sur un cercle et vitesse de rotation.
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´Ecrire les lois de la M´ecanique consiste `a identifier la d´eriv´ee par rapport au temps des grandeurs cin´etiques avec des grandeurs associ´ees aux interactions, aux forces :
d~pΣ/R
dt /R = Somme des forces d~LO,Σ/R
dt /R= Somme des moments des forces enO dEc,Σ/R
dt /R= Somme des puissances des forces
L’´ecriture ci-dessus n’est pas compl`etement satisfaisante2. Elle illustre toutefois une certaine coh´erence des lois dans une majorit´e de situations.
2Pour le moment cin´etique, elle ne s’applique pas telle quelle si le point Oest mobile dansR.
