sa vitesse en sor- tie, S la section au niv eau de l’h ´elice, S

Concours Comm uns P olytec hniques − option PC Planc he 1 Le conducteur infini cylindrique de conductivit ´e γ , repr ´esen t´e ci-con tre, est parcouru par un couran t " j uniforme et permanen t. 1. Donner l’expression du vecteur de P oyn ting " Π . 2. Calculer la puissance ´electromag ´etique re¸ cue par le conducteur et la comparer `a celle perdue par e ff et Joule.

→ j a

M(r)

.

Planc he 2 Dans le ven tilateur repr ´esent ´e ci-con tre, l’´ecoulemen t de l’air est incompressible et station- naire. On note µ la masse volu- mique de l’air, "v = " 0 sa vitesse `a l’en tr ´ee, "v

sa vitesse en sor- tie, S la section au niv eau de l’h ´elice, S

la section en sortie.

v = 0→→ S

.

P0

1. Si P

est la pression atmosph ´erique, P

la pression juste av an t l’h ´elice et P

la pression juste apr `es, calculer P

− P

en fonction de "v

et µ . 2. Exprimer la puissance m ´ecanique quand un op ´erateur tien t le corps du ven tilateur pour l’emp ˆec her de bouger. 3. Exprimer les forces exerc ´ees par l’air sur les h´elices, en n´egligean t celles exerc ´ees par l’op ´erateur qui tien t le ven tilateur. Planc he 3 I) Dans le disp ositif ci-con tre, dire pour- quoi la barre tourne et dans quel sens. Donner la f.e.m. induite. On supp ose conn u le momen t d’inertie J de la barre. T rouv er ω puis I ,sac han t que ω ( t ) = 0.

B

.

R

barre qui tourne

T rouv er ω

directemen t `a partir de la f.e.m. calcul ´ee. Question de cours pendan t l’exercice : mon trer la loi des vitesses dans un solide. II) Le disp ositif ci-dessous est en r´egime stationnaire. Quel th ´eor `e- me utiliserait-on pour trouv er la temp ´erature `a la s´eparation T

? Donner T

.Donner T et le flux thermique.

l2 λ 2λ1 l1TS

Connaissez-v ous l’analogie av ec l’´electricit ´e? Planc he 4 I) On consid `ere une lance d’incendie, de section d’en tr ´ee S , de section de sortie s< <S ; l’eau est en sortie `a la pression P

et en en tr ´ee `a la pression P

<<P

; on supp ose v

>>v

. L’eau est sup- pos ´ee un fluide parfait en ´ecoulemen t incompressible.

x

y S, P1, vE

s, P0, vS

D´ efinir les notions de fluide parfait, d’ ´ecoulemen t incompressible. D´ eterminer le rapp ort en tre v

et v

. Exprimer le d´ebit en fonction de P

− P

. D´ eterminer la comp osan te selon l’axe Ox de la force exerc ´ee par celui qui tien t la lance pour main tenir celle-ci en place. AN : P

= 10 bars ; P

= 1 bar ; s = 1 cm

;1 bar= 10

P a. II) On mon te en s´erie deux bobines L

et L

,d’inductance m utuelle M . Calculer l’inductance ´equiv alence par deux m ´etho des. Que se passe-t-il si on perm ute les bornes d’une des bobines ? En d´eduire une m ´etho de de mesure de M . L’O ffi ciel de la T aup e num ´er o  −  /  P age  c " MMVI

´ Editions

O ffi ciel de la T aup e Gyroscop e

Planc he 5 I ab ordable en Sup I) On donne deux satellites A et B de tra jectoire circulaire de ra yon r .Calculer la vitesse de chacun d’eux en la supp osan t uniforme. On change la norme de la vitesse de B et sa tra jectoire devien t elliptique : mon trer que ce n’est possible que si le changemen t se fait `a l’ap og ´ee ou au p´erig ´ee de l’ellipse. T rouv er cette nouv elle vitesse pour que B puisse rejoindre A . II) On utilise un in terf ´erom `etre de Mic helson en lame d’air d’ ´epaisseur e av ec une source bic hromatique de longueurs d’onde λ

et λ

.On pose ν

= 1 λ

, ∆ ν = 1 λ

− 1 λ

<< ν

= 1 2 ! 1 λ

+ 1 λ

" · Calculer l’in tensit ´e per¸ cue sur un ´ecran au fo yer image d’une len tille pos ´ee dev an t le Mic helson. T racer l’in tensit ´e en fonction de e . On pose un capteur qui permet de mesurer l’in tensit ´e` a la place de l’´ecran :donner une m ´etho de pour calculer ∆ ν . Planc he 6 I) On a repr ´esen t´e ci-con tre un disp ositif des trous d’Y oung av ec a = 4 mm, D = 3 m, λ = 385 mm. Donner la di ff ´erence de marc he, l’in tensit ´e en M sur l’´ecran et l’in terfrange dans le cas o`u il n’y a pas la lame de verre.

O

a S

M O

z

lame d e verr e D

x On place une lame de verre dev an t O

.Dans quel sens se d´eplacen t les franges ? Quelle est la longueur d du d´eplacemen t? AN : n =1 , 400 ; d = 3 mm ;donner l’´epaisseur e de la lame. On ´eclaire le disp ositif `a la lumi `ere blanc he ; sac han t que, dans la lame de verre, la loi de Cauc hy n = n

+ C λ

, ( C> 0) est v´erifi ´ee, quelle est la figure au voisinage du cen tre de l’´ecran ?

II) La poulie roule sans glisser sur son fil. La masse de la petite poulie est n´egligeable. Le fil est consid ´er ´e inextensible. Calculer l’acc ´el ´era- tion de O

. II I) Soit une portion cylindrique de hauteur h de ra yon a de r´esistivit ´e ρ . Calculer le flux du vecteur de P oyn ting `a tra vers la surface lat ´erale.

.

Planc he 7 I) On ´etudie la densit ´e de neutrons n ( x, t ) dans un tuy au cylin- drique d’axe Ox ,soumis aux deux ph ´enom `enes suiv an t : - une di ff usion don t les caract ´eristiques son t `a pr ´eciser, - des r´eactions pro duisan t des neutrons pendan t d t selon : ∆ N

= Kn ( x, t )d S d t d x . Faire un bilan clair pour ´etablir une ´equation aux d´eriv ´ees partielles de n ( x, t ). Donner l’´equation en r´egime stationnaire. Donner l’unit ´e de δ = # K D · R´ esoudre l’´equation et pr ´eciser les cons ´equences des hyp oth `eses faites. Faire appara ˆıtre une longueur L

caract ´eristique. On cherc he, de mani `ere g´en ´erale, des solution de la forme n ( x, t )= h ( x )e

: en d´eduire n ( x, t ) et 1 τ · Commen ter ph ysiquemen t. II) Un miroir de Lo yd horizon tal est ´eclair ´e par 2 sources sur une mˆ eme verticale. D ´ecrire ce qui se passe. Calculer la plus petite distance h pour que la 10

frange brillan te de l’une corresp onde `a une frange noire de l’autre. Planc he 8 I) Optique g´eom ´etrique :un microscop e est comp os ´e d’un ob jectif de distance fo cale 0 , 5 cm et d’un oculaire de distance fo cale 2 cm. La distance en tre les cen tres optiques de l’o culaire et de l’ob jectif est 16 cm L’O ffi ciel de la T aup e num ´er o  −  /  P age  c " MMVI

´ Editions

O ffi ciel de la T aup e Gyroscop

Dessiner l’image A

B

d’un ob jet situ ´e` a une distance D sup ´erieure `a la distance fo cale de l’ob jectif, de telle sorte que l’image soit visible par l’observ ateur et soit plus grande que l’ob jet. Commen t faut-il placer l’ob jet pour ne pas av oir besoin d’accommo der ? Dans ces conditions, d´eterminer le grandissemen t de l’ob jectif, la puissance Π = tan θ

AB ( AB en m `etres et θ

l’angle sous lequel on observ e A

B

), la latitude de r´eglage du microscop e si on consid `ere que l’image est nette en tre le momen t o`u on observ e `a l’infini et celui o`u l’image est `a 25 cm de l’o culaire. II) : Une barre AB de longueur l , de masse m , est fix ´ee par 2 fils au plafond. Soien t T

et T

les tensions exerc ´ees par chaque fil.

` A t = 0, on coup e le fil en B. On donne J =

1 3

ml le momen t d’inertie de la barre par rapp ort `a l’axe perp endiculaire au sc h´ema.

d x D´ eterminer et T `a l’instan t initial.

d t Planc he 9 II ab ordable en Sup " I) On donne le champ ´electrique E = − E cos( kx − ω t ) "e .

D´ ecrire la structure d’une onde plane progressiv e ; est-elle po- laris ´ee ? " Calculer B . Un cadre conducteur carr ´e de cˆot ´e a se d´eplace dans ce champ ´electromagn ´etique `a la vitesse constan te "v = v "e ; la normale `a la

surface reste parall `ele `a "e ; justifer l’apparition d’une induction

´electromagn ´etique. Calculer e et en d´eduire le couran t i dans le

cadre. Calculer

" F . II) Un microscop e est l’asso ciation de 2 len tilles minces con ver- gen tes. La premi `ere a une distance fo cale f

= 5 mm et la seconde, f

= 30 mm. On note L = F

F

= 16 cm ;l’o eil est plac ´e en F

.

Donner l’image A

B

de l’ob jet AB par le microscop e pro jet ´e` a l’infini. P ositionner A et B graphiquemen t; calculer O

A . On tourne la vis microm ´etrique, A

B

appara ˆıt `a 14 cm derri `ere l’o eil :o `u se trouv e A ? Planc he 10 I) Cristallographie :le chlorure de So dium Le chlorure de so dium cristallise suiv an t un r´eseau cubique face cen tr ´ee dans lequel les cations, de ra yon r

= 99 pm, occup en t les no euds du r´eseau et les anions, de ra yon r

= 181 pm. Dessiner la maille corresp ondan te. Quelle est la co ordinence de chaque ion ? En in tro duisan t en tre autres la masse volumique, exprimer le param `etre de maille a . Relier a aux ra yons ioniques. Que constatez vous sur les r´esultats ? Commen t l’expliquer ? Quelle valeur conserv er ? On veut mesurer a . On utilise le ph ´enom `ene de di ff raction en consid ´eran t les alignemen ts ver- ticaux et horizon taux comme des fen tes fines. On utilise un fais- ceau parall `ele de longueur d’onde λ . Quelle est la relation en tre le pas du r´eseau e et le param `etre de maille a ?

ir

En utilisan t la loi des r´eseaux, ´etablir la relation en tre D

et a . Sac han t qu’on observ e l’ordre 2 du sp ectre, tel que i = − r = 14 , 1

, mon trer que l’on peut calculer a . L’application num ´erique donne a

= 575 pm. Que constatez-v ous ? Commen t in terpr ´eter le r´esultat ? II) Le TGV : g = 10 m.s

; vitesse TGV : v = 100 m.s

. Le train est alimen t´e par l’in- term ´ediaire d’un cat ´enaire cons- titu ´e d’un fil de cuivre de section s = 1502 mm

.

caténaire

L’O ffi ciel de la T aup e num ´er o  −  /  P age  c " MMVI

´ Editions

O ffi ciel de la T aup e Gyroscop e

La masse du cable, soumis `a une tension de 2800 decaN, est de 1400 g/m. On consid `ere le fil de masse lin ´eique λ , sans raideur, homog `ene, soumis `a la tension T

.

´ Etablir

l’´equation v´erifi ´ee par y ( x, t ), l’amplitude du mouv emen t du fil. Commen t se nomme cette ´equation ? Commen t qualifier l’onde ? D´ efinir la c´el ´erit ´e de l’onde. Quelle est la grandeur ph ysique qui se propage ?

√ ´ Ev aluer la valeur de C pour le cˆable (on prendra 2=1 , 4). Quel probl `eme peut se poser ? Donner deux solutions qui pourraien t rem ´edier au probl `eme. Laquelle serait-il judicieux de conserv er ? Ra yon de courbure : sac han t que l’acc ´el ´eration transv ersale max- g imale que peut subir le passager est de , calculer le ra yon de 4 courbure maximal que peut pr ´esen ter le rail. Usure des rails : exprimer la force de Coriolis. Un TGV circule en tre Ly on et Marseille sur des rails, les trains passen t toujours dans le m ˆeme sens `a la m ˆeme vitesse sur chaque rail. On observ e une usure sur un cˆot ´e des rails, m ˆeme en ligne droite. Expliciter ce ph ´enom `ene. Sur quel cˆot ´e du rail observ e-t-on l’usure ? Planc he 11 ´ Ecoulemen I)

t stationnaire d’un fluide parfait incompressible sou- mis `a la pesan teur, de vecteur tourbillon " Ω = 1 2 " ∇∧ "v = Ω

"e

pour r< R et " 0 pour r> R . Faire une analogie av ec l’´electromagn ´etisme et en d´eduire les gran- deurs analogues (v ecteur tourbillon, flux du tourbillon, incompress- ibilit ´e, constan tes). D´ eterminer la vitesse dans le fluide. On cherc he `ad ´eterminer l’´equation de la surface libre en con tact av ec la pression atmosph ´erique P

:p eut-on appliquer la relation de Bernouilli ? D ´eterminer une grandeur qui se conserv e pour r> R . T rouv er l’´equation de la surface libre et la tracer (on sera amen ´e` a faire un hyp oth `ese que l’on pr ´ecisera). II) Chau ff age de l’eau au micro-ondes

le vecteur polarisation de l’eau, soumise `a un champ " E ,v ´erifie l’´equation : τ d " P d t + " P = αε

" E . D´ eterminer ε

= ε

+ j ε

. On creuse un trou dans un gla¸ con, on le remplit d’eau liquide et on le chau ff e au micro-onde :qu’observ e-t-on ? Planc he 12 I) Une tige conductrice dans un champ magn ´etique " B permanen t, se d´eplace par un mouv emen t de translation circulaire en tre deux rails distan ts de l .On n´eglige l’auto-induction.

" B est suiv an t "e

:d ´eterminer la f.e.m. induite dans le circuit, de r´esistance r , constitu ´e de la tige, des deux rails et ferm ´e` a son extr ´emit ´e. En d´eduire la puissance dissip ´ee par e ff et Joule. " B est suiv an t "e

:d ´eterminer la nouv elle f.e.m. induite. Appliquer le th ´eor `eme du momen t cin ´etique `a la tige dans le r´ef ´eren tiel li´e` a son supp ort (on notera I le momen t d’inertie de la tige par rapp ort `a l’axe Oz ). En d´eduire un ´equation di ff ´eren tielle r´egissan t le mouv emen t. R ´esoudre cette ´equation sous l’h yp oth `ese de petits d´eplacemen ts autour de la position d’ ´equilibre. Calculer la puissance dissip ´ee en fonction des valeurs de θ . II)

` A P = 1 bar, la glace, de chaleur laten te de fusion L , fond `a

T =0 C ;la glace a pour densit ´e d =0 , 931 et l’eau liquide d = 1.

D´ eterminer la temp ´erature de fusion de la glace sous P = 100 bars. L’O ffi ciel de la T aup e num ´er o  −  /  P age  c " MMVI

´ Editions

O ffi ciel de la T aup e Gyroscop

Planc he 13 I) Un Mic helson en lame d’air est ´eclair ´e par une lamp e au mer- cure : expliquer sans calcul pourquoi on observ e des in terf ´erences. Commen t son t les franges observ ´ees ? Commen t doit-on placer une len tille con vergen te et un ´ecran sac han t qu’on a une source ´etendue ? Prouv er que la di ff ´erence de marc he est δ =2 e cos i ;commen t son t les anneaux au cen tre ? On ´eclaire main tenan t av ec deux raies ( λ

= 541 nm, λ

= 577 nm) de m ˆeme in tensit ´e. Calculer l’in tensit ´e, donner l’allure de la courb e et commen ter. On chariote les miroirs et on change e pour av oir des co ¨ıncidences ; on compte n = 228 anneaux (`a 5 anneaux pr `es). Calculer e et mon trer que l’incertitude est inf ´erieure `a2 µ m. V oy ez-v ous une autre m ´etho de pour obtenir e ? II) Un r´ecipien t tourne autour de son axe `a vitesse angulaire ω ;`a l’´equilibre, la hauteur du liquide est H . Donner l’´equation de la surface libre z = z ( r ). Qu’obtien t-on ? Donner les cotes maxi- male et minimale.

ω= cte r

z H M x

Planc he 14 I ab ordable en Sup I) On pose un ob jet ponctuel M , sans vitesse initiale, `a l’angle θ

,sur un sup- port circulaire de ra yon R li´e` a un v´ehicule se d´epla¸ can t dans un champ de pesan teur uniforme, av ec une acc ´el ´era- tion constan te "γ

.On supp ose qu’il n’y a pas de frottemen t et que le r´ef ´eren tiel li´e au sol est galil ´een.

θ0

→ →

z

M O

Mon trer qu’il existe un angle θ

= θ

o`u M est en ´equilibre relatif. Retrouv er θ

par un raisonnemen t ´energ ´etique. La position d’ ´equilibre est-elle stable ?

Donner l’angle θ

pour lequel le con tact est rompu. II) P our un fluide en ´ecoulemen t, mon trer, `a partir du premier princip e, que ∆ ( h + e

)= w + q . Application `a un ven tilateur de puissance 100 W, de d´ebit 1 m.s

, supp os ´e adiabatique, pour de l’air sou ffl ´e` a C = 10 m.s

. Planc he 15 ab ordable en Sup Une perle coulisse le long d’un cercle rigide ; `a t = 0, elle part de B , reli ´ee au poin t A diam ´etralemen t opp os ´e par un ressort de raideur k et de longueur `a vide l

, av ec une vitesse v

. Que vaut la r´eaction lorsque la perle passe en C ?

AB C

. . . L’O ffi ciel de la T aup e num ´er o  −  /  P age  c " MMVI

´ Editions

O ffi ciel de la T aup e Gyroscop e

Concours Comm uns P olytec hniques-option-PC he 1 On donne deux milieux ρ

,C

et ρ

,C

d´elimit ´es par x = 0 et onde inciden te ν

= ν

exp ! i ( ω t − k

x ) " . Mon trer l’existence d’une onde r´eflectiv e et donner ν

, ν

, ν

puis

i

,P

,P

. On pose π = P ν ; donner la signification ph ysique en utili- t l’analogie ´electromagn ´etique ;donner son nom ;calculer le flux versan t une surface S . Donner la d´efinition de R, T en fonction de π . On pose = ρ

C

ρ

C

;d ´eterminer R et T en fonction de α , le co e ffi cien t de r´eflexion r , le co e ffi cien t de transmission t . II) Fen tes d’Y oung : dans le disp ositif, o`u est plac ´e l’´ecran ? l’in tensit ´e.

he 2 Une onde transv erse ´electrique pour & E = E

sin π x a e

&e

cir- dans un guide d’onde. Calculer & B .Est-il transv erse ? Quelle v´erifie & E ? En d´eduire la rela- de disp ersion. x

y z a b

la puissance mo yenne `a tra vers le guide en fonction de

m

,µ

,k , ω ,a, b . On ferme le guide par un plan z = L parfaitemen t conducteur. & E `a l’in t´erieur. Commen ter. II) Cycle de Stirling : compression isotherme `a T

de V

`a V

; chau ff age iso chore `a V

de T

`a T

; ´eten te isotherme `a T

de V

`a V

; - refroidissemen t iso chore `a V

de T

`a T

. On donne C

du gaz. 1. Dans le diagramme ( T, S ), donner l’´equation des iso chores. P ar quelle transformation se d´eduisen t-elles les unes des autres ? 2. T racer le cycle de Stirling. Que repr ´esen te l’aire du cycle ? 3. T racer sur le m ˆeme diagramme le cycle de Carnot (deux isother- mes, deux isen tropiques). 4. Mon trer que le cycle de Stirling est moteur et mon trer que les rendemen ts des deux cycles son t ´egaux.

Planc he 3 I) Le sc h´ema ci-con tre repr ´esen te deux surfaces conductrices s´epa- r´ees par du vide. Une in tensit ´e I = I

cos( ω t − kz ) parcourt les surfaces dans le sens in verse l’une de l’autre. P ar des argumen ts de sym ´etrie et d’in va- riance : & B = B ( r, z ,t ) &e

et & E = E ( r, z ,t ) &e

. 1. En utilisan t Maxw ell-Amp `ere in t´egral, trouv er l’exprssion de & B dans les trois r´egions de l’espace en fonction de I et r . y

x M r

R

R

+

. .

2. En utilisan t Maxw ell-Amp `ere lo cal, trouv er une relation en tre ∂ B ∂ z et ∂ E ∂ t · En d´eduire & E .

3. Mon trer que se propage `a l’in t´erieur des surfaces conductrices, une onde ´electromagn ´etique que l’on pr ´ecisera.

ffi ciel de la T aup e num ´er o  −  /  P age  c " MMV ´Editions O ffi ciel de la T aup e Gyroscop e

II) T rouv er les plans fo caux du syst `eme S en fonction de f ,distance fo cale de L

et L

, et e .

L

S e

L

Planc he 4 I) Un r´eseau de pas a est ´eclair ´e par un angle d’incidence i

. Soit p l’ordre maximal ( p ! 2). Donner la relation lian t a , p et i

. D´ emon trer la form ule lian t sin i

, a , p et sin i (o `u i est l’angle de sortie du r´eseau). II) Exercice classique traitan t de l’´etude d’un filtre av ec fonction de transfert, pulsation de coupure `a − 3 dB et diagramme de Bo de.

Planc he 5 I) La corde, de tension T et masse lin ´eique µ est fixe en O et L . Donner l’´equation aux d´eriv ´ees par- tielles d´ecriv an t le mouv emen t. Si y

( x, t )= A

sin( k

x )sin( ω

t + φ ) est une solution particuli `ere, don- ner k

et ω

en fonction de n, L, C . m x y

O L

3. Donner l’´energie cin ´etique d’un morceau de corde MN situ ´e en tre x et x +d x . Mon trer que l’´energie cin ´etique de la corde se met sous la forme E

= A

C

cos

( ω

t + φ ) et exprimer C

en fonction de L, n, C . 4. Exprimer la longueur dS de la corde MN en fonction d’une d´eriv ´ee partielle de y . En d´eduire l’´elargation totale de la corde. 5. Mon trer que l’´energie poten tielle de la corde se met sous la forme E

= C

A

sin

( ω

t + φ ) et exprimer C

. 6. Donner l’expression de l’´energie totale E = K

A

et exprimer K

. II) P our le circuit ci-con tre exprimer T ( j ω )= V

V

· Donner la condition sur C et C

pour que | T ( j ω ) | = 1 # 1+ ω

ω

· + - V

C V

C'

A B

Planc he 6 I) P our le circuit ci-con tre, donner H = V

V

· On pose H = G e

: calculer G ( x ) av ec x = RC

ω et φ ( x ); tracer les deux graphes. V

R

C

D´ eterminer la bande passan te `a − 3 dB. Donner la nature du filtre. Que se passe-t-il pour les basses fr ´equences ?

II) Calculer la fonction de trans- fert de ce nouv eau circuit. V'

R

C

+ - R

R

II) Deux sph `eres concen triques de ra yons R

<R

son t s´epar ´ees par un milieu homog `ene et istrop e de conductivit ´e thermique k . La sph `ere 1 est `a temp ´erature T

, la sph `ere 2 `a temp ´erature T

et le transfert est permanen t. Calculer la r´esistance thermique en fonction de k, R

,R

dans l’espace en tre les deux sph `eres.

L’O ffi ciel de la T aup e num ´er o  −  /  P age  c " MMV ´Editions O ffi ciel de la T aup e Gyroscop e

he 7 La spire repr ´esen t´ee ci-con tre est de yon a et a une vitesse de rotation ω

;le champ & B = B &e

ext ´erieur permanen t; on note &n le vecteur `a la spire et θ l’angle ( &e

, &n ).

z

B x

→

n

Justifier qualitativ emen t le mouv emen t ult ´erieur de la spire pour 0. D´ eterminer la force ´electromotrice induite. On pose ω = d θ d t et on note I = 1 2 ma

le momen t d’inertie ; en t un asp ect ´energ ´etique, d´eterminer l’´equation di ff ´eren tielle mouv emen t. II) D´ eterminer la longueur minimale a

d’une aiguille plan t´ee cen tre d’un bouc hon de li`ege cylindrique de longueur 2 R , ´epaisseur n´egligeable, flottan t sur l’eau, pour qu’un observ ateur ´e dans l’air puisse voir la tˆete de l’´epingle.

he 8 Une onde ´electromagn ´etique de longueur d’onde λ =6 . 10

nm d´eplace dans le vide. Le champ magn ´etique & E a pour com- posan tes E

= E

e

av ec φ = k 3 (2 x +2 y + z ) − ω t , E

, E

= 0. la fr ´equence de l’onde. `A quel domaine appartien t-elle ? l’´equation du plan d’onde. E

en fonction de E

.Les deux ondes son t-elles en phase ? & B en fonction de E

. la densit ´e d’ ´energie ´electromagn ´etique en fonction de φ . le vecteur de P oyn ting. II) Un r´ecipien t de parois diathermanes, ferm ´e par un piston lui- eme diathermane, con tien t une mole d’eau don t la fraction vap eur assimil ´ee `a un gaz parfait. `A l’´etat initial, le piston est blo qu ´e V

=0 , 1m

, T

, P

, la temp ´erature ext ´erieure vaut T

= 373 K, la pression ext ´erieure P

= 1 bar. On blo que ensuite le piston `a V

=0 , 01 m

. Quel est l’´etat de l’eau au d´epart ? Mon trer que l’eau est sous deux phases `a l’´etat final et calculer la fraction molaire en vap eur d’eau. Donner les variations en thalpique et en tropique. En d´eduire l’en tropie cr ´e´ee. Quel est le tra vail maxim um r´ecup ´erable par le piston ?

Planc he 9 I) Un plateau et deux rouleaux son t pos ´es sur un plan inclin ´e sur lequel il y a roulemen t sans glissemen t, ainsi que par rapp ort au plateau. L’ensem ble est sans vitesse initiale.

g

Faire un sc h´ema le plus complet possible (vitesse, forces, momen ts, etc.) `a la date t . ´Ecrire les relations cin ´ematiques dues au roulemen t sans glissemen t. Exprimer l’´energie cin ´etique du syst `eme en fonction de la vitesse de translation du plateau. En d´eduire l’acc ´el ´eration et les mouv emen ts horaires du plateau. II) La di ff ´eren tielle de l’´energie libre d’un fluide homog `ene est donn ´ee par la relation d F = − S d T − p d V . Expliquer `a quoi corresp ond chaque lettre et commen t on arriv e `a cette expression.

F ( T, V )= kT ! 1 − ln T T

" − a V − RT ln V − bV

− b repr ´esen te l’´energie libre de ce fluide. Donner les expressions de S ( T, V ) et U ( T, V ). Lors d’une d´eten te de Joule-Ga y-Lussac, on passe d’un syst `eme `a la temp ´erature T

et au volume V

`a un syst `eme `a temp ´erature T

et volume V

= α V

av ec α > 1. Exprimer T

. T rouv er l’´equation d’ ´etat de ce fluide.

ffi ciel de la T aup e num ´er o  −  /  P age  c " MMV ´Editions O ffi ciel de la T aup e Gyroscop e

Planc he 10 I) Un hangar demi-cylindrique de ra yon R petit dev an t sa longueur L ,est soumis au ven t (tr `es ´eloign ´e) de vitesse & V = V

&u

. Il y a une ouv erture en A et il con tien t un fluide au rep os `a la pression P

. x z

O A

On supp ose le fluide parfait, incompressible, irrotationnel. On ne n´eglige pas les e ff ets de la pesan teur. Commen ter bri `ev emen t les hyp oth `eses.

V´ erifier que la vitesse s’ ´ecrit & V = −− → grad φ av ec φ =( α r + β r )cos θ et exprimer α et β en fonction de R et V

. Donner l’expression de & V `a la surface. Calculer la force par unit ´e de longueur, exerc ´ee par le ven t sur le hangar. II) Un miroir de largeur AB = a et de longueur b> >a re¸ coit une onde mono chromatique de fais- ceau parall `ele faisan t un angle α av ec la normale. On limitera l’´etude au plan y Az et on orien- tera les angles. y z

A B M

Rapp eler le princip e de Huygens-F resnel. On ´etudie les in terf ´erences `a l’infini dans la direction α

.Exprimer en fonction de sin α , sin α

,y ,la di ff ´erence de marc he en tre un ra yon passan t par A (qui servira de r´ef ´erence) et un ra yon passan t par M (0 ,y , 0). Donner l’expression de l’in tensit ´e di ff ract ´ee. T racer I en fonction de sin α

; on donnera l’abscisse du maxim um et celle du premier minim um. `A quoi corresp ond le maxim um ? Planc he 11 L’amplificateur op ´eration- nel du circuit ci-con tre est supp os ´e id ´eal et lin ´eaire. D´ eterminer l’´equation di ff ´e- ren tielle v´erifi ´ee par V ( t ) puis donner la condition pour av oir des oscillations et l’expression de ω

. + - R

R

R

R

U (t) I(t)

V(t)

Planc he 12 Un r´ecipien t rempli d’eau est surmon t´e d’une colonne permettan t la di ff usion de l’eau par le haut av ec un vecteur de densit ´e J .On note h la hauteur d’eau dans la colonne et D le co e ffi cien t de di ff usion. Donner l’´equation de la di ff usion en r´egime non stationnaire. Soit n

le nom bre de mol ´ecules d’eau par unit ´e de volume `a l’altitude 0. Calculer n ( h ) en r´egime stationnaire en fonction de h, J

,n

,D . Un couran t d’air ´elimine par le haut 5 mg d’eau par heure :calculer n

.

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