Bilans en m´ecanique des fluides

Bilans en m´ecanique des fluides

Les th´eor`emes g´en´eraux de la m´ecanique et de la thermodynamique, qui sont des g´en´eralisations des th´eor`emes de la m´ecanique du point vus en premi`ere ann´ee, sont des th´eor`emes qui s’appliquent

”naturellement” `a des syst`emes ferm´es. C’est donc une description lagrangienne du mouvement qui est privil´egi´ee dans ces th´eor`emes, ce qui va demander une adaptation en vue de leur utilisation en m´ecanique des fluides, abord´ee d’un point de vue eul´erien. On prendra donc bien soin, pour appliquer ces th´eor`emes,

`

a d´efinir un syst`eme ferm´e, c’est `a dire pour lequel il n’y a pas d’´echange de mati`ere avec l’ext´erieur.

On ne s’int´eressera dans la suite qu’`a des ´ecoulements unidimensionnels en r´egime permanent. Les syst`emes seront constitu´es d’un grand nombre de particules fluides.

On commencera par ´etablir un bilan en toute g´en´eralit´e pour une grandeur physique extensive G quelconque, avant de se pencher dans la suite sur des cas particuliers. Il est primordial de noter que la m´ethode est toujours la mˆeme (elle sera r´esum´ee `a la fin de la partie I.).

I Bilan de masse

I.1 Bilan en ´ecoulement stationnaire

On s’int´eresse `a une grandeur extensiveGptq pour laquelleg est la grandeur volumique associ´ee `a G.

Un ´el´ement de fluide de volumeδτ et de masse δm“µδτ contient δG“gδτ

de la grandeurG. On introduit aussi la grandeur massique ¯g, telle que δG“gδm¯ “¯gµδτ

On cherche `a ´evaluer la variation temporelle de la grandeur G contenue `a l’instant t dans un volume appel´evolume de contrˆoleV_c.

B1 B2

A2

A1

B¹₁

A¹₁

B₂¹

A¹₂

s₁ s₂

A l’instant t`dt, le volume de fluide initialement plac´e en A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>B<sub>2</sub>B<sub>1</sub> se trouve en A<sup>1</sup><sub>1</sub>A<sup>1</sup><sub>2</sub>B<sub>2</sub><sup>1</sup>B<sub>1</sub><sup>1</sup>. La contribution `a la variation de la grandeur G correspondant au volume A¹₁A2B2B₁¹ est nulle puisque l’´ecoulement est permanent et que ce volume est occup´e par le fluide entet ent`dt. On peut alors ´ecrire DG“Gpt`dtq ´Gptq “G_A¹

1A¹₂B₂¹B¹₁´G_A1A2B2B1 “G_A¹

1A2B2B₁¹ `G_A2A¹

2B₂¹B2´G_A¹

1A2B2B₁¹ ´G_A1A¹

1B₁¹B1

ce qui donne

DG“G_A2A¹

2B₂¹B2 ´G_A1A¹

1B¹₁B1

On ´ecrit ces grandeurs en utilisant g

DG“v2s2dtg2´v1s1dtg1

soit, en introduisant la grandeur ¯g

DG“µ₂v₂s₂dt¯g₂´µ₁v₁s₁dt¯g₁

donc DG

Dt “µ2v2s2¯g2´µ1v1s1g¯1

Le d´ebit massique est donn´e par

D_m “ ij

Σ

µ~v¨dÝÑS et pour un ´ecoulement unidimensionnel

Dm “µvs ce qui permet de r´e´ecrire DG{Dt

DG

Dt “Dm2¯g2´Dm1¯g1

Enfin, en r´egime permanent, le d´ebit massique est conserv´e, doncD_m1 “D_m2 “D_m, donc DG

Dt “ p¯g2´g¯1qDm

I.2 Bilan de masse

Dans le cas d’un bilan de masse, la grandeur Gest la masse du syst`eme, donc δM “µmδτ¯

Commeµδτ est la masse du volumeδτ, alors ¯m“1. On en d´eduit donc DM

Dt “0

ce qui exprime la conservation de la masse du syst`eme en r´egime permanent.

I.3 M´ethode g´en´erale

1. D´efinir pr´ecis´ement le syst`eme ferm´e`a ´etudier.

2. Choisir le r´ef´erentiel, galil´een de pr´ef´erence.

3. Dessiner pr´ecis´ement le syst`eme `a deux instants proches tet t`dt. Par un bilan sur la grandeurG concern´ee, en d´eduire la variationdG“Gpt`dtq ´Gptq.

4. Faire l’inventaire des causes de la variation dG (forces pour la quantit´e de mouvement, travaux pour l’´energie, moment des forces pour le moment cin´etique).

5. Appliquer le th´eor`eme adapt´e (par exemple le PFD dans le cas d’un bilan de quantit´e de mouvement) pour relier la variation deG `a ses causes.

II Bilans de quantit´ e de mouvement

II.1 R´esultante cin´etique

La quantit´e de mouvement d’un point mat´erielM de massem dans un r´ef´erentiel Rdonn´e est d´efinie par~p“m~v. Pour un syst`eme S constitu´e de plusieurs points, la quantit´e de mouvement est alors

~

ppS|Rq “ÿ

i

m_i~vpi|Rq

que l’on g´en´eralise aux milieux continus en transformant la somme en int´egrale sur le volume occup´e par le syst`eme.

La quantit´e de mouvement, ou r´esultante cin´etique d’un syst`eme S est d´efinie par

~ pptq “

¡

V

dm~vpM, tq “

¡

V

µpM, tq~vpM, tqdτ

o`u µest la masse volumique.

II.2 Th´eor`eme de la r´esultante dynamique

Le th´eor`eme de la r´esultante dynamique appliqu´e `a un syst`eme ferm´e en ´ecoulement donne la variation de la quantit´e de mouvement totale du syst`eme ´etudi´e

D~p

Dt “ÿÝÑ Fext

Dans la mesure o`u le syst`eme ´etudi´e comporte un grand nombre de particules fluides, la variation ne peut pas ˆetre calcul´ee en utilisant la d´eriv´ee particulaire puisqu’on s’int´eresse `a un ensemble de particules fluides.

Remarque : Le PFD ne fait intervenir que les forces ext´erieures au syst`eme. Il est donc parfois n´ecessaire de choisir un syst`eme plus grand que celui que l’on souhaite r´eellement ´etudier pour ´eliminer des interac- tions inconnues.

II.3 Propulsion d’une fus´ee II.3.1 Enonc´´ e du probl`eme

On s’int´eresse `a la propulsion d’une fus´ee par ´ejection de gaz, avec les hypoth`eses suivantes : – La fus´ee est en mouvement de translation vertical ascendant par rapport `a la Terre, – Le r´ef´erentiel li´e `a la Terre est suppos´e galil´een (T),

– Le champ de pesanteur est uniforme (phase de d´ecollage).

La fus´ee est propuls´ee par r´eaction en ´ejectant des gaz de combustion : les gaz sont ´eject´es `a la vitesse~u par rapport `a la fus´ee :

– constante,

– verticale vers le bas,

– avec un d´ebit massique constant D_m.

II.3.2 Choix du syst`eme

Le corps de la fus´ee est un syst`eme ouvert, puisqu’il y a ´ejection des gaz en permanence. Pour obtenir un syst`eme ferm´e, on ajoute les gaz ´eject´es entre tett`dt. La masse totale du syst`eme est not´eemptq.

II.3.3 Bilan de quantit´e de mouvement

La quantit´e de mouvement `a l’instant t est simplement~pptq “mptq~vptq.

mptq

~ vptq

m_fpt`dtq

~vpt`dtq

δm

~

w“~vptq `~u

A l’instantt`dt, la vitesse des gaz d’´ejection dans le r´ef´erentiel terrestre est w~ “~vptq `~u. La quantit´e de mouvement du syst`eme est alors

~

ppt`dtq “mfpt`dtq~vpt`dtq `δm ~w

o`u m<sub>f</sub>pt`dtq “mptq ´δm est la masse du corps de la fus´ee et des gaz restants dans le corps de la fus´ee etδm“Dmdt. On peut alors effectuer le bilan

~

ppt`dtq ´~pptq “ rmptq ´δms~vpt`dtq `δmr~vptq `~us ´mptq~vptq

“ mptqr~vpt`dtq ´~vptqs `δmr´~vpt`dtq `~vptqs `δm~u

“ mptqB~v

Btdt`DmdtB~v Btdt looooomooooon

ordre2en dt

`Dmdt~u

On obtient alors

D~p

Dt “mptqB~v

Bt `D<sub>m</sub>~u II.3.4 Application du th´eor`eme de la r´esultante dynamique

La seule force qui s’exerce est le poids, donc mptqB~v

Bt `D_m~u“mptq~g

que l’on peut r´e´ecrire pour obtenir une forme famili`ere mptqB~v

Bt “mptq~g´Dm~u La variation de la vitesse est donc due `a deux termes :

– un terme mptq~g analogue `a celui obtenu en m´ecanique du point, qui repr´esente l’effet du poids, – un nouveau terme qui repr´esente la ”force de pouss´ee” due au gaz ´eject´es. Cette ”force” est dirig´ee

selon´~u, soit une force effectivement vers l’avant si la fus´ee ´ejecte les gaz vers l’arri`ere.

Remarques : La massemptqest bien la masse de la fus´ee contenant le carburant `a l’instant t.

II.3.5 Equation du mouvement´

On projette l’´equation sur l’axe Oz vertical vers le haut mptqBv

Bt “ ´mptqg`Dmu On remarque que

dm

dt “ ´Dm

en faisant attention au signe´puisque la masse du syst`eme diminue quand le d´ebit massique est positif.

On obtient alors

mptqBv

Bt “ ´mptqg´dm dt u et en divisant par mptq

Bv

Bt “ ´g´ u m

dm dt ce qui donne par int´egration

vptq “ ´gt´uln ˆm

m₀

˙

“uln

ˆ m0

m₀´D_mt

˙

´gt en supposant une vitesse nulle `a t“0.

III Bilans de moment cin´ etique

III.1 Moment cin´etique

Le moment cin´etique par rapport au pointO d’un point mat´erielM de masse m dans un r´ef´erentiel R donn´e est d´efinie par ÝÑ

L_O “ ÝÝÑ

OM^m~v. Pour un syst`eme S constitu´e de plusieurs points, le moment cin´etique est alors

Ý

ÑLpS|R{Oq “ÿ

i

ÝÝÑOMi^mi~vpi|Rq

que l’on g´en´eralise aux milieux continus en transformant la somme en int´egrale sur le volume occup´e par le syst`eme.

La quantit´e de mouvement, ou r´esultante cin´etique d’un syst`eme S est d´efinie par Ý

ÑL_Optq “

¡

V

ÝÝÑOM^dm~vpM, tq “

¡

V

ÝÝÑOM ^µpM, tq~vpM, tqdτ

o`u µest la masse volumique.

III.2 Th´eor`eme du moment dynamique

Le th´eor`eme du moment dynamique appliqu´e `a un syst`eme ferm´e en ´ecoulement donne la variation du moment cin´etique total du syst`eme ´etudi´e

DÝÑ LO

Dt “ ÿÝÑ

MO ext

Remarque : Le th´eor`eme du moment dynamique ne fait intervenir que les forces ext´erieures au syst`eme.

Il est donc parfois n´ecessaire de choisir un syst`eme plus grand que celui que l’on souhaite r´eellement ´etudier pour ´eliminer des interactions inconnues.

III.3 Tourniquet hydraulique

Le tourniquet est constitu´e d’un tube vertical, d’axeOz, en haut duquel est soud´e un tube horizontal, en son milieu O. Ce tube horizontal est termin´e, `a chacune de ses extr´emit´es A1 et B1, par un tuyau horizontal de sectionsde longueurA1A“B1B n´egligeable devant la longueur des brasOA1 “OB1 “R.

L’axe du tuyau fait avec l’axe du tuyau horizontal un angleα. L’eau (incompressible, de masse volumique µ) p´en`etre dans le tourniquet `a la base C du tube vertical, avec un d´ebit volumiqueDV et une vitesse~v . Elle est ´eject´ee en A etB, sorties des tuyaux. Par conservation du d´ebit, la vitesse d’´ejection enA, dans le r´ef´erentiel du tourniquet, estv¹_A“D_V{2set en B v_B¹ “ ´v¹_A.

•

•B1 O• A1 α

~ e_r

~eθ

~e_z Ä

~ α e_r

~e_θ

~ v_A¹

~v¹_B

III.3.1 Choix du syst`eme ferm´e et calculs pr´eliminaires

On choisi comme syst`eme le syst`eme ferm´e de masse mptq qui correspond `a l’instant t aux parties suivantes :

– bˆati du tourniquet + l’eau qu’il contient (syst`emeS0) de massem0ptq.

– masse δm1 d’eau qui va entrer enC entretet t`dt (syst`emeS1).

et `a l’instant t`dt :

– bˆati du tourniquet + l’eau qu’il contient (syst`emeS0) de massem0pt`dtq.

– masse δm2 d’eau qui est sortie enA etB entret ett`dt (syst`eme S2).

L’eau est incompressible donc m₀ptq “m₀pt`dtq. La conservation de la masse (syst`eme ferm´e) impose mpt`dtq ´mptq “m<sub>0</sub>pt`dtq `δm<sub>2</sub>´ pm<sub>0</sub>ptq `δm₁q “δm₂´δm₁ “0

On note donc δm2 “δm1 “δm. Par hypoth`ese, la masseδm{2 sort `a chacune des extr´emit´es.

Vitesses La vitesse de rotation du tourniquet dans le r´ef´erentiel terrestre est ~ω“ω~ez.Compte tenu de la petitesse des tuyaux aux extr´emit´es, on peut consid´erer queA etA¹,B etB¹ sont confondus, de sorte que, dans le r´ef´erentiel terrestre

~

v_A“ÝÑ

OA^~ω`~v<sub>A</sub><sup>1</sup> “ωR~e<sub>θ</sub>`DV

2spcosα~er´sinα~e_θq et

~

v_B “ÝÝÑ

OB^~ω`~v<sup>1</sup><sub>B</sub>“ωR~e<sub>θ</sub>`DV

2s pcosα~er´sinα~e_θq Attention, les vecteurs~e_r et~e_θ sont des vecteurs locaux !

III.3.2 Bilan de moment cin´etique

On s’int´eresse `a la projection du moment cin´etique en O sur Oz L_Oz “ ÝÑ

L_O¨~e_z. On commence par calculer le moment cin´etique du syst`eme S1. Comme l’eau constituant ce syst`eme se situe sur OC donc sur l’axeOz,L_OzpS1q“0.

Le moment cin´etique du syst`emeS₂ vaut L_OzpS2q“

ˆÝÑ OA^δm

2 ~v_A`ÝÝÑ OB^δm

2 ~v_B

˙

¨~e_z donc

L_OzpS2q “ ˆ

R~e_r^δm 2

ˆ

ωR~e_θ`D_V

2s pcosα~e_r´sinα~e_θq

˙

`R~e_R^δm 2

ˆ

ωR~e_θ`D_V

2s pcosα~e_r´sinα~e_θq

˙˙

¨~e_z Les termes en~er^~ersont nuls et on constate que le calcul est le mˆeme pour les deux parties du tourniquet, donc

L_OzpS2q “2 ˆ

R~e_r^ δm 2

ˆ

ωR~e_θ`D_V

2sp´sinα~e_θq

˙˙

¨~e_z ce qui donne

L_OzpS2q“Rδm ˆ

ωR~e_z`D_V

2s p´sinα~e_zq

˙

¨~e_z “Rδm ˆ

ωR´D_V 2s sinα

˙

Pour finir, le syst`emeS0 poss`ede le moment cin´etiqueL_OzpS0qptq. On peut alors ´ecrire le bilan DL_OzpSqptq “L_OzpS0qpt`dtq `L_OzpS2q´ pL_OzpS0qptq `L_OzpS1qq

soit, en ´ecrivant δm“D_mdt

DL_OzpSqptq “ dL_OzpS0q

dt dt`RD_mdt ˆ

ωR´D_V 2s sinα

˙

et donc

DL_OzpSqptq

Dt “ dL_OzpS0q

dt `RDm

ˆ

ωR´DV

2s sinα

˙

III.3.3 Th´eor`eme du moment dynamique

On fait l’inventaire des moments des forces qui s’appliquent au syst`eme : – le poids a un moment nul car~g“ ´g~e_z, doncÝÑ

M_poids{O“ÝÝÑ

OG^m~g“ÝÑ0 , – la r´eaction du sol est aussi selon Oz, donc de moment nul,

– la pression limitant le syst`eme est ´egale `a P0 sur chacune des sections des tuyaux enA etB, ce qui donne un moment nul par sym´etrie. En effet

ÝÑ

M_pression{O “

ij ÝÝÑ

OM^P0dÝÑ S

La r´esultante est nulle puisque les surfaces ont des directions oppos´ees. Une ´eventuelle force de pression s’appliquant enC donne aussi un moment nulle puisqu’elle est alors dirig´ee selonOz.

Finalement, on applique le th´eor`eme du moment dynamique DL_OzpSqptq

Dt “ dL_OzpS0q

dt `RD_m ˆ

ωR´D_V 2s sinα

˙

“ÝÑ0 III.3.4 Equation du mouvement´

On doit int´egrer

dL_OzpS0q

dt `RD_m ˆ

ωR´D_V 2s sinα

˙

“0

On suppose que l’ensemble bati+eau poss`ede un moment d’inertie J par rapport `a Oz, ce qui permet d’´ecrireL_OzpS0q“J ω et donc

Jdω

dt `R²µD_Vω“ RD_V²µ 2s sinα que l’on r´e´ecrit

1 J R²µDV

dω

dt `ω“ RD_V²µ

2s sinα 1 R²µDV

“ D_V 2Rssinα La solution en r´egime permanent est

ω₈“ D_V 2Rssinα et le temps caract´eristique

τ “ 1 J R²µDV

permettent d’´ecrire l’´equation diff´erentielle τdω

dt `ω “ω₈ et la solution (avec une vitesse initiale nulle) sous la forme

ωptq “ω₈ ˆ

1´exp ˆt

τ

˙˙

IV Bilans thermodynamiques

IV.1 Bilans d’´energie cin´etique

Le th´eor`eme de l’´energie cin´etique appliqu´e `a un syst`eme ferm´e en ´ecoulement donne la variation de l’´energie cin´etique totale du syst`eme ´etudi´e

∆E_c“ÿ

W_int`ÿ W<sub>ext</sub> o`u ř

Wint est le travail des forces int´erieures au syst`eme et ř

Wext est le travail des forces ext´erieures au syst`eme.

Le th´eor`eme de la puissance cin´etique appliqu´e `a un syst`eme ferm´e en ´ecoulement donne la variation de l’´energie cin´etique totale du syst`eme ´etudi´e par unit´e de temps

DEc

Dt “

ÿPint`

ÿPext

o`uř

P_intest la puissance des forces int´erieures au syst`eme etř

W_extest la puissance des forces ext´erieures au syst`eme.

Remarque : Pour un ´ecoulement incompressible et parfait,ř

Pint“0 IV.2 Premier principe de la thermodynamique

A tout syst`eme, on peut associer une grandeur not´eeU, appel´ee ´energie interne, qui poss`ede les propri´et´es suivantes :U est une fonction d’´etat et est extensive. Pour un syst`eme ferm´e, la variation de U au cours d’une ´evolution infinit´esimale se met sous a forme

dU`dEc“δW `δQ

o`u δW est la quantit´e de travail re¸cue par le syst`eme etδQ la quantit´e de chaleur re¸cue par le syst`eme au cours de l’´evolution.dEcest la varition ´el´ementaire d’´energie cin´etique du syst`eme.

IV.3 Bilan d’´energie pour un ´ecoulement permanent IV.3.1 Choix du syst`eme

B₁ B₂

A2

A1

B¹₁

A¹₁

B₂¹

A¹₂ s₁ S₁ S₀ S₂ s₂

Le syst`eme ferm´e choisi est A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>B<sub>2</sub>B<sub>1</sub> entet se trouve enA<sup>1</sup><sub>1</sub>A<sup>1</sup><sub>2</sub>B<sub>2</sub><sup>1</sup>B<sub>1</sub><sup>1</sup> ent`dt. On le d´ecompose en trois sous syst`emesS₀,S₁ etS₂. Notons que les altitudes d’entr´ee et de sortie peuvent ˆetre diff´erentes.

IV.3.2 Premier principe

Le syst`eme peut recevoir de la machine les formes d’´energies suivantes : – de la chaleur, δQ“P_Qdt,

– du travail m´ecanique, parfois appel´e travail utileδW “P_Wdt, – du travail des forces de pesanteur δWg,

– du travail des forces de pression en A₁B₁,δW₁ et en A₂B₂,δW₂, qui permet au fluide de s’´ecouler ces grandeurs ´etant alg´ebriques. Le premier principe appliqu´e entretett`dt donne

dU`dEc“δW1`δW2`δWg`P_Wdt`P_Qdt

Conservation de la masse La conservation de la masse impose que la masse contenue dans le volume

`

a tet `a t`dt est identique mpt`dtq ´mptq “m_A¹

1A¹₂B¹₂B₁¹ ´m_A1A2B2B1 “m_A¹

1A2B2B¹₁`m_A2A¹

2B₂¹B2´m_A¹

1A2B2B₁¹ ´m_A1A¹

1B₁¹B1 “0 donc

m_A2A¹

2B₂¹B2´m_A1A¹

1B₁¹B1 “0ñm_A2A¹

2B¹₂B2 “m_A1A¹

1B¹₁B1 “δm

Travail des forces de pression Dans le cas o`u le fluide rentre en S₁ et sort de l’autre cot´e, le travail δW1 en S₁ est moteur

δW1 “ÝÑ

F1¨d~l1“P1s1v1dt De mani`ere sym´etrique, le travail enS₂ est r´esistant

δW2“ÝÑ

F2¨d~l2 “ ´P2s2v2dt Notons que ce travail est calcul´e le long d’une ligne de courant.

Travail du poids Le poids est une force conservative et d´erive d’une ´energie potentielle, qui est une grandeur extensive, donc

δWg “ ´dEp “ ´rEppt`dtq ´Epptqs “ ´rE<sub>ppS0`S2q</sub>´E_ppS0`S1qs

On peut exprimer cette ´energie potentielle en fonction de l’´energie potentielle des trois sous syst`emesS₀, S₁ et S₂

δWg “ ´rEpS0`EpS2´EpS0 ´EpS1s “EpS1´EpS2 “δmgpz1´z2q

Variation d’´energie L’´energie interne est une grandeur extensive, on peut donc la d´ecomposer comme l’´energie potentielle de pesanteur

Upt`dtq “US<sub>0</sub>`US₂ etUptq “US₀ `US₁

donc

dU “US2 ´US1

et en introduisant l’´energie interne massique

dU “δmpuS2´uS1q “δmpu₂´u₁q

Le mˆeme raisonnement peut ˆetre fait pour l’´energie cin´etique, en notant l’´energie cin´etique sous la forme Ec“1{2δmv² et donne

dE_c“δm ˆ1

2v²₂´1 2v₁²

˙

S S

Bilan On r´e´ecrit le premier principe δmpu₂´u₁q `δm

ˆ1 2v²₂´1

2v₁²

˙

“P₁s₁v₁dt´P₂s₂v₂dt`δmgpz<sub>1</sub>´z<sub>2</sub>q `P_Wdt`P_Qdt

En remarquant que s₁v₁dt ets₂v₂dt sont les volumes de fluide des syst`emes S₁ et S₂, et en introduisant le volume massique (inverse de la masse volumique)V, on ´ecrit

s₁v₁dt“δmV₁ ets₂v₂dt“δmV₂ et le premier principe devient

δmpu₂`P<sub>2</sub>V<sub>2</sub>´ pu<sub>1</sub>`P₁V₁qq `δm ˆ1

2v²₂´1 2v₁²

˙

“δmgpz₁´z₂q `P<sub>W</sub>dt`P_Qdt On introduit l’enthalpie massique h“u`PV

δmph₂´h₁q `δm ˆ1

2v²₂´1 2v₁²

˙

“δmgpz₁´z₂q `P<sub>W</sub>dt`P_Qdt puis, en divisant pardt

D_mrph₂´h₁q ` pe<sub>c2</sub>´e<sub>c1</sub>q ` pe_pp2´e_pp1qs “P_W `P_Q

o`u ec “ 1{2v<sup>2</sup> et epp “ gz sont les ´energies massiques cin´etiques et potentielles de pesanteur. En re- marquant que les ´energies potentielles autres que l’´energie potentielle de pesanteur peuvent se traiter de la mˆeme mani`ere, on ´enonce le premier principe pour un ´ecoulement permanent, appel´e aussi premier principe industriel

Soit un ´ecoulement permanent de d´ebit massiqueD_m entre deux points 1 et 2. On noteh l’en- thalpie massique du fluide, ecl’´energie cin´etique massique etep l’´energie potentielle massique.

Alors, les variations ´energ´etiques ob´eissent `a

Dmrph2´h1q ` pec2´ec1q ` pep2´ep1qs “P_W `P_Q

o`uP_Qest la puissance fournie sous forme de chaleur au fluide entre 1 et 2 etP_W est la puissance fournie sous forme de travail m´ecanique au fluide entre 1 et 2, en en excluant le travail des forces de pression en 1 et 2

IV.4 Th´eor`eme de Bernoulli Dans un ´ecoulement parfait :

– il n’y a pas d’´echanges de chaleur, l’´evolution est adiabatique (pas d’effets de viscosit´e), doncP_Q“0, – l’´energie potentielle se r´eduit `a l’´energie potentielle de pesanteur,

– les seules actions m´ecaniques sont exerc´ees par les parois. Comme il n’y a pas de viscosit´e, les forces sont perpendiculaires aux parois, et les vitesses sont parall`eles `a ces parois. La puissance fournie est donc nulle carP “ÝÑ

F ¨~v.

Le premier principe s’´ecrit alors

Dmrph2´h1q ` pec2´ec1q ` pepp2´epp1qs “0ñ ph2´h1q ` pec2´ec1q ` pepp2´epp1q “0 Pour un ´ecoulement incompressible, la masse volumique est constante et donc µ“1{V₁ “1{V₂ donc pu2`P2V<sub>2</sub>´pu1`P1V₁qq`pec2´ec1q`pepp2´epp1q “0ñµu2`P2`µ1

2v₂²`µgz2“µu1`P1`µ1

2v²₁`µgz1

Dans la mesure o`u un ´ecoulement n’est le si`ege d’aucun ph´enom`ene dissipatif, l’´energie interne est constante, et on retrouve le th´eor`eme de Bernoulli, le long d’une ligne de courant (cf travail des forces de pression en entr´ee et en sortie) :

P₂`1

2µv₂²`µgz<sub>2</sub>“P<sub>1</sub>`1

2µv²₁`µgz₁