On s'intéresse à la propagation d'une onde électrique de la forme − →

Préparation Effet Faraday & isolateur optique

On s'intéresse à la propagation d'une onde électrique de la forme − →

E (z)e ^iωt = − →

E 0 e ^−ikz e ^iωt dans un milieu diélectrique en présence d'un champ magnétique extérieur statique B _stat − u → _z . On considère que le milieu est dôté de n électrons par unité de volume.

1. On considérera chaque électron comme élastiquement lié à un noyau, avec une pulsation caratéris- tique ω ₀ . Donnez l'équation vériée par l'ampltiude du déplacement des électrons par rapport à leurs positions d'équilibre en régime forcé.

2. En déduire une relation entre l'amplitude du vecteur densité de polarisation − →

P (z) et celles des champ électrique et du champ magnétique statique. Exprimez cette relation sous forme d'une égalité matricielle entre les composantes de − →

P (z) et celle de − → E (z) :



 P x (z) P y (z) P z (z)



 = 0





χ

₀

1−u

²

−i _1−u ^χ

⁰

^u

2

0 i _1−u ^χ

⁰

^u

2

χ

₀

1−u

²

0

0 0 χ 0







 E x (z) E y (z) E z (z)



 .

On posera ω ² _p = _m ^ne

²

0

, χ 0 = ^ω

2 p

ω

₀²

−ω

²

, ω c = ^eB _m

⁰

et u = _ω ^ωω

2 ^c 0

−ω

²

.

3. On admet que le champ dans un tel milieu est transverse et que la relation de propagation du champ est donnée par

∆ − → E (z, t) −





1 + _1−u ^χ

⁰2

−i _1−u ^χ

⁰

^u

2

0 i _1−u ^χ

⁰

^u

2

1 + _1−u ^χ

⁰2

0

0 0 1 + χ ₀



 _c ¹

2

∂

∂t

²

−

→ E (z, t) = 0 .

Déterminez la relation de dispersion reliant k à ω . Suite Isolateur Optique

• La relation précédente montre qu'une onde polarisée circulaire droite (resp circulaire gauche) subit un indice n ₋ = q

1 + _1−u ^χ

⁰2

− _1−u ^χ

⁰

^u

2

(resp n + = q

1 + _1−u ^χ

⁰2

+ _1−u ^χ

⁰

^u

2

). Comment évolue une onde initialement polarisée dans la direction − u → x après avoir parcouru une distance L dans le milieu ?

• Montrez qu'une onde contrapropageante subit le même eet qu'une onde propageante.

• On considère le montage ci contre, avec un milieu tel que ⁿ

⁺

⁻ⁿ ₂

⁻

^ωL _c = ^π ₄ et deux po- lariseurs. Montrez qu'une onde se propageant vers les z croissants peut traverser le diposi- tif alors qu'une onde se propageant vers les z décroissants est arrêtée.

Evaluation

Connaissance du cours (/10)

• Modèle de l'électron élastiquement lié, régime forcé

• Susceptibilité diélectrique

• Relation de dispersion

• Polarisation de la lumière

Calcul (erreurs, rapidité, homogénéïté, vérications) (/4) Sens physique (contextualisation, analyse) (/4)

Comportement (/2)

• Prise en compte des indications

• Adaptation au contexte de l'exercice

• Mojo

1 Daniel Suchet - 2012

Correction

1. Le principe fondamental de la dynamique donne, en supposant le noyau au repos dans un référentiel galiléen (approx de Born Oppenheimer) : −ω ² − → r (z) = −ω ² ₀ − → r (z) − _m ^e − →

E (z) − i ^eω _m − → r (z) ∧ − → B 0

2. − →

P (z)dτ = ndτ (−e) − → r (z) donc ω ² ₀ − ω ² − →

P (z) + i ^eω _m − →

P (z) ∧ − →

B 0 = ^ne _m

²

− → E (z) ie

ω ² ₀ − ω ²

P _x (z) + iω _c ωP _y (z) = ₀ ω ² _p E _x (z) ω ² ₀ − ω ²

P y (z) − iω c ωP x (z) = 0 ω ² _p E y (z) ω ₀ ² − ω ²

P z (z) = 0 ω ² _p E z (z) On inverse les deux premières équations par un système de Cramers :

ω ₀ ² − ω ²

iω c ω

−iω c ω ω ₀ ² − ω ²

= ω ₀ ² − ω ² 2

− ω ² ω _c ² donc

P x (z) =

0 ω ² _p E x (z) iω c ω ₀ ω ² _p E _y (z) ω ² ₀ − ω ²

(ω ² ₀ − ω ² ) ² − ω ² ω _c ²

= ₀ ω ² _p ω ² ₀ − ω ² (ω ₀ ² − ω ² ) ² − ωω c

E _x (z) − i ₀ ω c ωω ² _p (ω ² ₀ − ω ² ) ² − ω ² ω _c ²

E _y (z) et

P y (z) =

ω ₀ ² − ω ²

0 ω ² _p E x (z)

−iω c ω ₀ ω _p ² E _y (z) (ω ₀ ² − ω ² ) ² − ω ² ω ² _c

= i ₀ ω c ωω _p ² (ω ₀ ² − ω ² ) ² − ω ² ω _c ²

E _x (z) + i ₀ ω ² _p ω ² ₀ − ω ² (ω ₀ ² − ω ² ) ² − ωω c

E _y (z)

Avec ^ω

^2p

( ^ω

0²

−ω

²

) ( ^ω

²0

−ω

²

)

²

^−ω

²

^ω

²c

= χ ₀ ( ^ω

²0

−ω

²

)

²

( ^ω

0²

−ω

²

)

²

^−ω

²

^ω

²c

= _1−u ^χ

⁰₂

et ^ω

^c

^ωω

^p2

( ^ω

²0

−ω

²

)

²

^−ω

²

^ω

c²

= χ ₀ ^ω

^c

^ω ( ^ω

²0

−ω

²

) ( ^ω

²0

−ω

²

)

²

^−ω

²

^ω

²c

= _1−u ^χ

⁰

^u

₂

, on trouve la matrice demandée.

3. La relation de propagation donne





1 + _1−u ^χ

⁰2

ω ² − c ² k ² −i _1−u ^χ

⁰

^u

2

ω ² i _1−u ^χ

⁰

^u

2

ω ²

1 + _1−u ^χ

⁰2

ω ² − c ² k ²



 E _0,x

E _0,y

=

0 . Il ne peut exister une solution non triviale que si

1 + _1−u ^χ

⁰₂

ω ² − c ² k ² −i _1−u ^χ

⁰

^u

2

ω ² i _1−u ^χ

⁰

^u

₂

ω ²

1 + _1−u ^χ

⁰₂

ω ² − c ² k ²

=

0 ie

1 + _1−u ^χ

⁰2

− _ω ^k

2²

c

²

²

= _χ

0

u 1−u

²

²

4. Avec − u → _± = − u → _x ±j − u → _y , on a − →

E (0, t) = ^E ₂

⁰

e ^jωt ( − u → ₊ + − u → ₋ ) donc − →

E (L, t) = ^E ₂

⁰

e ^jωt

e ^−j

^2πλ0

ⁿ

⁺

^L − u → ₊ + e ^−j

^2πλ0

ⁿ

⁻

^L − u → ₋

=

E ₀ e ^−j

^{n+ +2n−ωLc}





cos ⁿ

⁺

⁻ⁿ ₂

⁻

^ωL _c sin ⁿ

⁻

⁻ⁿ ₂

⁺

^ωL _c

0





5. Pour traiter une onde contrapropageante, on change le repère en tournant autour de − u → _x : − → u ⁰ _z = −− → u _z et − →

u ⁰ _y = −− u → y . Dans ce nouveau repère, −−−→

B stat = −B stat

− →

u ⁰ _z donc u ⁰ = _ω ^ωω

2 ^c

0

−ω

²

= −u ce qui revient à échanger les n ₊ et n ₋ . La rotation de θ ⁰ dans le plan − →

u ⁰ _x , − →

u ⁰ _y correspond donc à une rotation de θ dans le plan − u → _x , − u → _y .

6. Une onde vers le z croissants est polarsiée suivant − u → _x . Le passage au travers du milieu la fait tourner de − ^θ ₄ et elle traverse donc le deuxième polariseur sans modication. A l'inverse, elle est d'abord polarisée dans la direction oblique, tourne jusqu'à − u → y et est stoppée par le second polariseur lorsqu'elle parcourt le dispositif dans l'autre sens.

2 Daniel Suchet - 2012