13.13 1) L’angle entre les facesABCetABDest égal à l’angle entre les vecteurs−n→1 et−n→2, où le vecteur −n→1 est un vecteur perpendiculaire au plan ABC et où le vecteur −n→2 est un vecteur perpendiculaire au planABD.
(a) Détermination d’un vecteur −n→1 perpendiculaire au plan ABC :
−−−−→
AB×−AC =−−−→
2
−1
−2
×
−4 11 13
=
9
−18 18
= 9
1
−2 2
Le vecteur −n→1 =
1
−2 2
est perpendiculaire au planABC.
(b) Détermination d’un vecteur −n→2 perpendiculaire au plan ABD :
−−−−→
AB×−AD =−−−→
2
−1
−2
×
5 10
−5
=
25
0 25
= 25
1 0 1
Le vecteur −n→2 =
1 0 1
est perpendiculaire au planABD.
(c) Calcul de l’angle ϕ entre les vecteurs −n→1 et −n→2 : k−n→1k=
1
−2 2
=p
12+ (−2)2+ 22 =√ 9 = 3
k−n→2k=
1 0 1
=√
12+ 02 + 12 =√ 2
k−n→1×−n→2k=
1
−2 2
×
1 0 1
=
−2 1 2
=p
(−2)2+ 12+ 22 =
=√ 9 = 3
La formule k−n→1×−n→2k=k−n→1k k−n→2k sin(ϕ) implique sin(ϕ) = k−n→1×−n→2k
k−n→1k k−n→2k = 3 3√
2 = 1
√2 =
√2 2 On conclut que ϕ= arcsin
√2 2
!
= 45˚.
Géométrie : produit vectoriel Corrigé 13.13
2) Si −n→1 désigne toujours un vecteur perpendiculaire au plan ABC et si l’on appelle ϑ l’angle aigu entre les vecteurs −n→1 et −AD, alors l’angle aigu que−−−→ forme l’arêteAD avec la face ABC vaut90˚−ϑ.
k−AD−−−→k=
5 10
−5
= 5
1 2
−1
=|5|
1 2
−1
=
= 5p
12+ 22+ (−1)2 = 5√ 6 kn~1×−AD−−−→k=
1
−2 2
×
5 10
−5
=
−10 15 20
= 5
−2 3 4
=
=|5|
−2 3 4
= 5p
(−2)2+ 32+ 42 = 5√ 29
L’égalité kn~1×−AD−−−→k=kn~1k k−AD−−−→k sin(ϑ) conduit à sin(ϑ) = kn~1×−AD−−−→k
kn~1k k−AD−−−→k = 5√ 29 3·5√
6 =
√29 3√
6 =
√29√ 6 3·6 =
√174 18 On en déduit que ϑ= arcsin
√174 18
!
≈47,12˚.
Finalement, l’angle aigu que forme l’arête AD avec la face ABC vaut 90˚−ϑ ≈90˚−47,12˚= 42,88˚.
Géométrie : produit vectoriel Corrigé 13.13
