Norme d’un vecteur –distance entre deux points

www.etude-generale.com 1ère S Matière : Mathématiques

Professeur : Yahya MATIOUI

Analytique du produit scalaire

Dans toute la suite du chapitre. On considère que le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O;!i ;!j :

Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé

Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé

Propriété 1 Soit !u (x; y) et !v (x⁰; y⁰) deux vecteurs du plan, on a !u :!v =x:x⁰+y:y⁰: Exemple 2 Dans un repère orthonormé O;!i ;!j , !u (6;3); !v (3; 1) et !w ( 2;2):

Calculer !u :!v ; !u :!w et !v :!w :

!u :!v = 6 3 + 3 ( 1) = 15:

!u :!w = 6 ( 2) + 3 2 = 6:

!v :!w = 3 ( 2) + ( 1) 2 = 8:

Propriété 3 Deux vecteurs !u (x; y) et !v (x⁰; y⁰) sont orthogonaux si et seulement si xx⁰+ yy⁰ = 0:

Exemple 4 On considère dans le plan, les points suivants : A(3;2) ; B 1

2 ;0 et E(1; 1) Montrer que le triangle ABE est rectangle enE:

On montre que AE! et BE! sont orthogonaux, c’est-à-dire : AE.!BE!= 0:

On a AE!( 2; 3) et BE! ³₂; 1 : D’où : AE:! !

BE = ( 2) 3

2 + ( 3) ( 1)

= 0

Donc AE! et BE! sont orthogonaux. Ceci signi…e que le triangle ABE est rectangle en E:

Exemple 5 Déterminer la valeur du nombre réel m pour que les vecteurs !u (3; 1 +m) et

!v (2 m;5) soient orthogonaux.

On a

!u :!v = 3 (2 m) + ( 1 +m) 5

= 6 3m 5 + 5m

= 2m+ 1:

D’autre part, !u et !v sont orthogonaux si et seulement si !u :!v = 0, c’est équivaux à 2m+ 1 = 0 () m= 1

2 : D’où !u et !v sont orthogonaux si et seulement si m= ₂¹:

Norme d’un vecteur –distance entre deux points

Norme d’un vecteur

Soit !u (x; y) un vecteur du plan. La norme du vecteur !u est : k!uk=p

x²+y²: Distance entre deux points

SoitA(x_A; y_A)etB(x_B; y_B)deux points du plan. La distanceABest:AB= q

(x_B x_A)² + (y_B y_A)²:

Expression de cos et sin :

Propriété 6 Soit !u (x; y) et !v (x⁰; y⁰) deux vecteurs non nuls du plan et une mesure de l’angle orienté !\u ;!v :

On a

cos = !u :!v

k!uk:k!vk = xx⁰+yy⁰ px²+y²:p

x⁰²+y⁰² et sin = det (!u :!v)

k!uk:k!v k = xy⁰ x⁰y px²+y²:p

x⁰²+y⁰² Exemple 7 Déterminer une mesure de l’angle orienté

!\

AB;AC! ou A(3;3); B(1;1) et C(1;3)

On a AB!= ( 2; 2) et AC!( 2;0) donc : AB=p

4 + 4 = 2p

2 et AC =p

4 + 0 = 2; et AB:! !

AC = 4: Donc

cos AB;! AC! =

AB:!AC! AB :! AC!

= 4 4p

2 = p2

2 (1)

On a det AB;! AC! = 2 2

2 0 = 4: Donc

sin ! AB; !

AC =

det AB:!AC! AB :! AC!

= 4

4p 2 =

p2

2 (2)

D’après (1) et (2), on en déduit que ₄ est une mesure de l’angle orienté AB:\!AC! :

Droite dans le plan Étude analytique

Vecteur normal à une droite

Dé…nition 8 Soit (D) une droite du plan.

Tout vecteur non nul et orthogonal à un vecteur directeur de la droite (D) est appelé vecteur normal à la droite (D):

Propriété 9 .

Une droite de vecteur normal !n (a; b) a une équation de la forme ax+by+c = 0 avec c2R:

Réciproquement, la droite (d) d’équation cartésienne ax+by+c = 0 admet le vecteur

!n (a; b) pour vecteur normal.

Démonstration 10 .

Soit (D) une droite de vecteur normal !n (a; b) et soit A(x₀; y₀)2(d): Soit M(x; y) un point du plan, on a !

AM(x x0; y y0): M(x; y) (d) () AM :!!n = 0

() a(x x₀) +b(y y₀) = 0

() ax+by+c= 0; avec c= ax₀ by₀:

Si ax+by +c = 0 est une équation cartésienne de (d) alors !u ( b; a) est un vecteur directeur de (d): Le vecteur !n (a; b) véri…e :

b a+a b= 0 Donc les vecteurs !u et !n sont orthogonaux.

Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal Exemple 11 Déterminons une équation cartésienne de la droite (d) passant par le point A(1;1) de vecteur normal!n (2;3):

Soit M(x; y) un point du plan.

M(x; y) (d) () AM :!!n = 0

() (x 1) 2 + (y 1) 3 () 2x+ 3y 5 = 0

Donc, une équation cartésienne de (d) est : 2x+ 3y 5 = 0:

Exemple 12 On considère les points A(1;1) , B( 2;0) et C(3;5):Déterminer une équa- tion de la droite (D), médiatrice du segment [AC]:

La médiatrice du segment [AC] est la droite(D) passant par le pointI milieu du segment [AC] et perpendiculaire à (AC) donc AC! est un vecteur normal à (D):

On a I(2;3)et AC!(2;4)est un vecteur normal à (D), donc une équation cartésienne de (D) s’écrit sous la forme :

2x+ 4y+c= 0 où c2R:

Puisque I 2 (D), alors : 4 + 12 +c = 0; d’où c = 16: Donc x+ 2y 8 = 0 est une équation de la médiatrice du segment [AC]:

Orthogonalité de deux droites

Propriété 13 Soit (D) et (D⁰) deux droites d’équations respectives : ax +by +c = 0 et a⁰x+b⁰y+c⁰ = 0: (D) et (D⁰) sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, c’est-à-dire :

aa⁰+bb⁰ = 0

Distance d’un point à une droite

Soit (D) une droite du plan. Soit A un point du plan,H son projeté orthogonal sur(D): Si M est un point quelconque de (D), AM² = AH² +HM²; donc AM² AH² c’est- à-dire AM AH: Ainsi la distance AH est le minimum des distances de A aux points de (D):

On obtient la dé…nition suivante.

Dé…nition 14 Soit (D)une droite du plan. Soit A un point du plan,H son projeté orthog- onal sur (D). Le nombre réel AH est appelé la distance du point A à la droite (D) ; on le notera d(A; (D)):

Propriété 15 Soit (D) une droite d’équation : ax+by+c = 0 et A(x_A; y_A) un point du plan.

La distance du point A à la droite (D) est :

d(A;(D)) = jax_A+by_A+cj pa²+b² : Démonstration 16 .

Soit (D) une droite d’équation : ax+by+c= 0: On a le vecteur !n (a; b) est normal à (D): D’autre part, H appartient à(D); alors

ax_H +by_H +c= 0:

D’où

AH:!!n = AO!+OH :! !n

= !

AO:!n + ! OH:!n

= ax_A by_A+ax_H +by_H

= ( ax_A by_A c) + 0

@ax_H +by_H +c

| {z }

=0

1 A

= ax_A by_A c

Donc !

AH:!n =j ax_A by_A cj=jax_A+by_A+cj comme : !

AH:!n = !

AH :k!nk: cos !

AH;!n ; donc

AH :! k!nk: cos ! AH;!n

| {z }

=1

=jaxA+byA+cj

par suite

AH :! k!nk=jax_A+by_A+cj puisque k!nk=p

a²+b² donc

AH =d(A;(D)) = jax_A+by_A+cj pa²+b² :

Exemple 17 On considère la droite (D) d’équation : x+y+ 2 = 0 et les points A(1; 1) et B(0; 2):

On a

d(A;(D)) = j1 1 + 2j p1 + 1 =p

2 et d(B;(D)) = j0 2 + 2j p1 + 1 = 0

Équation cartésienne d’un cercle

Équation d’un cercle dé…ni par son centre et son rayon

Propriété 18 Une équation cartésienne du cercle(C) de centre (a; b) et de rayonR est : (x a)²+ (y b)² =R²

Démonstration 19 Soit M(x; y) un point du plan.

M(x; y) (C) () M =R () M² =R² ()

q

(x a)²+ (y b)²

2

=R² () (x a)²+ (y b)² =R²:

Exemple 20 Une équation du cercle (C) du centre (1; 1) et de rayon p 2 est : (x 1)² + (y+ 1)² = 2

que l’on peut écrire

x²+y² 2x+ 2y= 0:

Équation d’un cercle dé…nie par son diamètre

Propriété 21 On considère deux points A et B du plan. Le cercle (C) de diamètre [AB]

est l’ensemble des points M du plan tels que M A:!M B!= 0:

Démonstration 22 Soit M(x; y) un point du plan.

M(x; y) (C) () M =A ou M =B ou AM B est un triangle rectangle en M:

() M A:!M B!= 0:

Exemple 23 Déterminons une équation du cercle (C) de diamètre [AB] tel que A(1;3) et B( 1;1):

Soit M(x; y) un point du plan.

M(x; y) (C) () AM :!BM!= 0

() (x 1) (x+ 1) + (y 3) (y 1) = 0 () x² +y² 4y+ 2 = 0:

Représentation paramétrique d’un cercle

Soit I(a; b) un point du plan, (a; b 2 R); et r un réel strictement positif : on note (C) le cercle de centreI et de rayon r: Soit M(x;y) un point du plan.

Dé…nition 24 Le système

x=a+rcos

y=b+rsin =( 2R)

est une représentation paramétrique du cercle (C). est le paramètre.

Exemple 25 Déterminer une représentation paramétrique du cercle(C)de centre ( 3;4) et de rayon p

2:

Soit M(x;y) un point du plan.

Une représentation paramètrique du cercle (C) est : x= 3 +p

2 cos y= 4 +p

2 sin =( 2R)

Exemple 26 Déterminer l’ensemble des points M(x; y) du plan tels que: x= 1 + 2 cos

y= 3 + 2 sin =( 2R)

Soit M(x; y) un point du plan dont les coordonnées véri…ent le système donné.

On a

x= 1 + 2 cos

y= 3 + 2 sin =( 2R)

donc x+ 1 = 2 cos

y 3 = 2 sin =( 2R) D’où

(x+ 1)²+ (y 3)² = 4 cos² + 4 sin² = 4:

Par suite (x+ 1)²+ (y 3)² = 4 est une équation du cercle(C) de centre ( 1;3)et de rayon 2:

Étude de l’ensemble des points M (x; y) du plan tels que : x

+ y

+ ax + by + c = 0

Soit a; bet ctrois nombres réels, on considère l’ensemble (E) dé…ni par : (E) = M(x; y)= x²+y²+ax+by+c= 0 Soit M(x; y) un point du plan.

M(x; y) (E) () x²+y²+ax+by+c= 0 () x²+ax + y²+by +c= 0 () x²+ 2 a

2 x+ a 2

2 a

2

2

+ y² + 2 b

2 y+ b 2

2 b

2

2!

+c= 0

() x+ a 2

2

+ y+ b 2

2

= a 2

2

+ b 2

2

c

() x+ a 2

2

+ y+ b 2

2

= a²+b² 4c 4 On considère le point ₂^a; ₂^b ; on a :

M(x; y) (E) () M² = a² +b² 4c

4 ( )

on distingue trois cas :

Premier cas : Si a² +b² 4c < 0 alors l’égalité ( ) est fausse, donc l’ensemble (E) est l’ensemble vide.

Deuxième cas : Sia²+b² 4c= 0 alors l’égalité( ) devient: M² = 0;ceci signi…e que M = : Donc(E) = f g:

Troisième cas : Si a²+b² 4c 0 alors devient : M = ^pa2+b₂^{2 4c}; ceci signi…e que (E) est le cercle de centre et de rayon ^pa2+b₂^{2 4c}:

Propriété 27 Soita; betctrois nombres réels et (E)l’ensemble des pointsM(x; y)du plan qui véri…ent x²+y²+ax+by+c= 0:

(E)est un cercle de centre ₂^a; ₂^b et de rayon ^pa2+b₂^{2 4c} si et seulement sia²+b² 4c 0:

Si a²+b² 4c <0 alors (E) est l’ensemble vide.

Si a²+b² 4c= 0 alors (E) = ₂^a; ₂^b :

Exemple 28 Quelle est la nature de l’ensemble ( )des points M(x;y)tels que : x²+y² 6x+ 2y+ 5 = 0 ?

M(x; y) ( ) () x²+y² 6x+ 2y+ 5 = 0 () x² 6x+y²+ 2y+ 5 = 0 () (x 3)²+ (y+ 1)² = 5 ( ) est le cercle de centre C(3; 1) et de rayon R=p

5:

Exemple 29 Quelle est la nature de l’ensemble ( )des points M(x;y)tels que : x²+y² 4x+ 5 = 0 ?

M(x; y) ( ) () x²+y² 4x+ 5 = 0 () x² 4x+y²+ 5 = 0 () (x 2)²+y² 4 + 5 = 0 () (x 2)²+y²+ 1 = 0 () x² 2 ²+y² = 1 La dernière égalité est impossible. Donc ( ) est l’ensemble vide.

Exemple 30 Quelle est la nature de l’ensemble ( )des points M(x;y)tels que : x²+y² 6x+ 2y+ 10 = 0 ?

M(x; y) ( ) () x²+y² 6x+ 2y+ 10 = 0 () x² 6x+y²+ 2y+ 10 = 0

() (x 3)²+ (y+ 1)² 9 1 + 10 = 0 () (x 3)²+ (y+ 1)² = 0

() x= 3 y = 1 Donc

( ) = f(3; 1)g

Intérieur et extérieur d’un cercle

Dé…nition 31 Soit (C) un cercle de centre et de rayon R et M un point du plan.

Le point M est sur le cercle (C) si et seulement si : M =R:

Le point M est à l’intérieur du cercle(C) si et seulement si : M < R:

Le point M est l’extérieur du cercle (C) si et seulement si : M R:

Résultats. .

Soit (C)un cercle d’équation : x² +y²+ax+by+c= 0:

Soit M(x₀; y₀) un point du plan.

M est un point du cercle (C) si et seulement si: x²₀+y²₀ +ax₀+by₀+c= 0:

M est à l’intérieur du cercle (C)si et seulement si :x²₀ +y²₀+ax₀+by₀+c <0:

M est à l’extérieur du cercle (C)si et seulement si :x²₀+y²₀+ax0+by0+c 0:

Exemple 32 Résoudre graphiquement l’inéquation suivante : x²+y² 2x+ 4y 4 0:

On a

x²+y² 2x+ 4y 4 = 0 () (x 1)²+ (y+ 2)² = 9:

Donc x²+y² 2x+ 4y 4 = 0est l’équation du cercle(C)de centreO(1; 2)et de rayon R = 3: D’où l’ensemble des solutions de l’inéquation est formé des couples de coordonnées des points se trouvant à l’intérieur du cercle ou sur le cercle(C):Autrement dit sur le disque fermé de centre O et de rayon3:

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5 -6

0 1

1

x y

O

Position relatives d’une droite et d’un cercle

Pour étudier la position relative d’un cercle (C) de centre O et de rayon R avec une droite ( ); on peut calculer la distance d du centre O à la droite ( ) et la comparer au rayon R:

Propriété 33 Soit une droite ( ) et (C) un cercle de centre O et de rayonR:

Si d(O;( )) R, alors la doite ( ) ne coupe pas le cercle (C):

Si d(O;( ))< R, alors la doite ( ) coupe le cercle (C) en deux points distincts.

Si d(O;( )) = R, alors la doite ( ) et le cercle (C) ont un seul point commun. On dit que la droite ( ) est tangente au cercle (C):

Démonstration 34 Soient (C) le cercle de centre O et de rayon R et ( ) une droite.

Notons H le projeté orthogonal de O sur ( ): On sait que d=OH:

Si (C)\( ) 6= ;, il existe un point M dans l’intersection (C)\( ), et le théorème de Pythagore donne

OM² =OH²+M H²

donc OH < OM; ou encore d R: On peut donc a¢ rmer que si R < d alors (C)\( ) =;

On suppose que d = R. Dans ce cas OH = R et H 2 (C)\( ): Réciproquement, si M 2(C)\( ), alors

OM² =OH²+M H²

ceci signi…e que : M H = 0; donc M =H: Donc (C)\( ) =fHg: On suppose que d < R, d’après le théorème de Pythagore on a

M (C)\( ) () OM =R

OM² =OH²+M H² () OM =R

M H² =p

R² d² () M 2 fM₁; M₂g

oùM₁ etM₂ représentent les deux points de la droite( ) situé à la distancep

R² d² de H: Ceci signi…e que la doite ( ) coupe le cercle (C) en deux points distincts.

Exemple 35 Étudier la position relative du cercle (C) de centre (1;2) et de rayon R = 2 et de la droite (D) dans chacun des cas suivants :

1. (D) : x+y+ 2 = 0:

2. (D) : x y+ 2 = 0:

Méthode de travail : .

Pour déterminer la position relative d’une droite(D) d’équation: ax+by+c= 0 et d’un cercle(C) de centre et de rayonR, on peut suivre les étapes suivantes : On calcule la distance d du point à la droite (D) en appliquant la formule

suivante :

d=d( ;(D)) = jax +by +cj pa²+b² : On compare les deux nombres réels d et R:

On a d= d( ;(D)) = ^jp^1+2+2j

1²+1² = ^5p₂²: Puisque 2< ^5p₂² alors R < d: Donc la droite (D) ne coupe pas le cercle (C):

On ad=d( ;(D)) = p^{j1 2+2j}

1²+( 1)² = ^p₂²: Puisque ^p₂² <2 alorsd < R: Donc la droite (D) coupe le cercle (C) en deux points distincts.

Equation cartésienne d’une droite tangente à un cercle en un point donné de ce cercle

Rappel 36 .

A est un point du cercle (C) de centre O:

La tangente en A au cercle (C) est la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (OA):

Propriété 37 Soit (C) un cercle d’équation: x²+y²+ax+by+c= 0 etA(x₀; y₀)un point de (C): Une équation de la tangnete au cercle (C) au point A est :

(x x₀) x₀+ a

2 + (y y₀) y₀+a 2 = 0:

Démonstration 38 On a obtenu l’équation de la tangente grâce à l’équivalence : M 2(D) () !

M A: ! A= 0:

Exemple 39 On considère le cercle(C)d’équation:x²+y² 2x 4y= 0et le point A(2;4) de (C):

Une équation de la tangente au cercle (C) en A est :

(x 2) ( 1 + 2) + (y 4) ( 2 + 4) = 0 c’est-à-dire

x+ 2y 10 = 0:

FIN

Pr : Yahya MATIOUI

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