PCSI2 Compléments mathématiques
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COMPLEMENTS MATHEMATIQUES
I Repérage d’un point
A une dimension, il s’agit de repérer par son abscisse
€
x=OM (mesure algébrique) un point M sur un axe Ox muni d’un vecteur de base
€
e ! x. Cette quantité est algébrique : elle est positive si M est à droite de O, négative si M est à gauche de O, pour un axe orienté positivement vers la droite.
€
e ! x est un vecteur unitaire (de norme 1) :
€
e ! x.! e x= !
e x 2=1.
On introduit le vecteur position
€
OM qui se décompose sur le vecteur de base
€
e ! x :
€
OM =x! e x. La distance séparant M de O s’écrit :
€
OM = OM =OM = x. Elle est positive. On a donc encore
€
x= ±OM. On peut aussi écrire :
€
x=OM.!
e x (produit scalaire).
A deux dimensions pour repérer un point M dans un plan,
€
OM admet la décomposition suivante sur la base orthonormée
€
e ! x,! e y
( )
:
€
OM =x! e x+y!
e y, où
€
x=OM.! e x et
€
y=OM.!
e y positifs ou négatifs sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point M.
On a évidemment
€
e ! y.! e y= !
e y 2=1. De plus, les vecteurs de base étant orthogonaux :
€
e ! x.! e y=0. La distance séparant M de O vaut :
€
OM = OM = x2+y2.
II Vecteurs
Comme le vecteur position
€
OM, tout vecteur
€
F ! , comme une force par exemple, admet une décomposition sur la base orthonormée
€
e ! x,! e y
( )
de la forme :€
OM =Fx! e x+Fy!
e y.
€
Fx= ! F .!
e x= ! F .!
e x cosθ=Fcosθ est un scalaire (quantité non vectorielle) algébrique, en notant θ l’angle que fait
€
F ! avec
€
! e x. C’est la composante, ou projection, de
€
F ! sur
€
e ! x.
€
Fx>0 pour un angle θ compris dans l’intervalle
€
−π 2,+π
2
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ , sinon on a
€
Fx<0. Même principe pour
€
Fy. M (x)
x ex
0
M (x, y)
x ex
0 y
ey
x y
OM
PCSI2 Compléments mathématiques
2/2 Cas particuliers :
*
€
Fx= +F>0 pour θ = 0 quand
€
F ! est de même direction et de même sens que
€
e ! x.
*
€
Fx=−F<0 pour θ = π quand
€
F ! est de même direction que
€
e ! x mais de sens contraire.
*
€
Fx=0 pour
€
θ= ±π/ 2 quand
€
F ! est orthogonale à
€
e ! x.
On peut calculer la norme de
€
F ! par :
€
F= !
F = Fx2+Fy2. Autrement dit, un vecteur se définit par trois éléments :
* sa direction ;
* son sens (il y a deux sens sur une direction) ;
* sa norme F.
Cas particulier de la tension de ressort :
Son expression est donnée par la loi de Hooke :
€
T ! =−kOM =−kx!
e x avec k > 0, où x est l’élongation du ressort, différence entre sa longueur et sa longueur à vide (longueur au repos, c’est-à-dire lorsqu’il est ni étiré ni comprimé).
€
T ! est une force de rappel qui tend à ramener M vers sa position d’équilibre O. On a donc
€
T ! vers la gauche comme sur le schéma ci-dessus si x > 0, et
€
T ! vers la droite si x < 0.
La projection de
€
T ! sur l’axe Ox s’écrit :
€
Tx= ! T .!
e x=−kx! e x.!
e x=−kx avec
€
e ! x.! e x=1.
On a donc Tx < 0 si x > 0, et Tx > 0 si x < 0.
La norme de la tension s’écrit :
€
T = !
T =Tx =k x >0. θ
x ex
0 y
ey
Fx
Fy
F
F x
F x
F x
O M
T
x
