Si dans un repère O, − →

Points et vecteurs dans un repère : Résumé de cours et méthodes

1 L’essentiel du cours

Si dans un repère O, − →

i , − → j

, on a A x

y

!

et B x

y

! alors :

• le vecteur − →

AB est tel que : − →

AB x

− x

y

− y

! .

• le milieu I de [AB] est tel que : I





x

= x

+ x

2 y

= y

+ y

2



.

• la distance AB est telle que AB = p

(x

−x

)

+ (y

− y

)

. (si le repère est orthonormé)

Si dans une base − → i , − →

j

, on a − → u x y

!

et − → v x

y

! alors :

• pour tout réel k, k − → u kx ky

!

et − → u + − → v x + x

y+ y

! .

• le déterminant de − → u et − → v est le réel noté det( − → u , − → v ) tel que : det( − → u , − → v ) =

x x

y y

= xy

−yx

.

• les vecteurs − → u et − → v sont colinéaires si et seulement si det( − → u , − → v ) = 0.

• la norme du vecteur − → u (c’est à dire sa longueur) est le réel noté k− → u k tel que : k− → u k = p

x

+ y

. (si la base est orthonormée)

2 Comment déterminer les coordonnées d’un point M défini par une relation vectorielle ?

Méthode générale :

• On pose M x y

! .

• On exprime la relation vectorielle avec les coordonnées.

• En utilisant que deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes abscisses et les mêmes ordonnées, on en déduit les valeurs de x et y.

Exemple : On considère les points A 2

−1

!

et B 3 4

!

Déterminons les coordonnées du point M tel que −→

AM = 3 − → AB.

On pose M x y

!

. On a − → AB 1

5

!

et, donc, 3 − →

AB 3

15

!

Comme −→

AM x − 2 y + 1

!

, on en déduit que

( x − 2 = 13 y+ 1 = 15 . On a donc x = 5 et y = 14. D’où, M 5

14

! .

Points et vecteurs dans un repère 1

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3 Comment montrer que trois points A, B et C sont alignés connaissant leurs coordonnées ?

Méthode générale :

• On détermine les coordonnées des vecteurs − → AB et − →

AC.

• On vérifie que le déterminant de − → AB et − →

AC est nul.

(ce qui prouve leur colinéarité et l’alignement des points)

Exemple : Montrons que les points A −3 4

!

, B 3

13

!

et C 1 10

!

sont alignés.

On a − → AB 6

9

! et − →

AC 4 6

! .

Donc, det − → AB, − →

AC

=

6 4 9 6

= 6 × 6 − 9 × 4 = 36 − 36 = 0.

Les points A, B et C sont bien alignés.

2 Points et vecteurs dans un repère

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