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MVA210 - Devoir n
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a rendre pour le jeudi 14 decembre 2006
Important : Remplissez l’en-tˆete de tous vos devoirs selon le mod`ele suivant et mettez la photocopie de votre carte CNAM dans le premier devoir
MVA210 Devoir n◦ . . .
Votre nom et pr´enom : . . . Votre n◦ de carte CNAM : . . . (6 chiffres) Votre groupe d’ED : . . . (jour, heure, salle) Nom de l’enseignant : . . .
Exercice 1
On consid`ere dans tout ce paragraphe l’espace vectoriel E = R2n muni de la forme bilin´eaire b= Ωn d´efinie par:
Ωn(x, y) =Pn
i=1(xn+iyi−xiyn+i) x= (x1, ..., x2n), y = (y1, ..., y2n)
on notera (e1, ..., e2n) la base canonique deR2n
On rappelle que dans un espace vectoriel (E, b) muni d’une forme bilin´eairebl’orthogonal d’un sous espace vectorielF relativement `a b est donn´e par:
orth(F) = {x ∈ E/∀y ∈ F, b(x, y) = 0}, on dit que b est non d´eg´en´er´ee si et seule- ment siorth(E) ={0}.
1◦) Donner une expression de Ωn pour n= 1,2.
2◦) Montrer que Ω1, Ω2, et plus g´en´eralement Ωn sont antisym´etrique.
3◦) Montrer que Ωnest non d´eg´en´er´ee.
4◦) Exhiber la matrice Jn telle que Ωn(x,y)=txJny pour tousx, y∈R2n.
Exercice 2
Cet exercice est une g´en´eralisation du pr´ec´edent.
Soit W un espace vectoriel r´eel de dimension n et W∗ le dual de W. Sur le pro- duit cartesien E = W ×W∗, on consid`ere l’application: Ω d´efinie par ∀(x, y) ∈ W,
∀α, β)∈W∗,Ω((y, β),(x, α)) =β(x)−α(y).
1◦) Montrer que Ω est une forme bilin´eaire antisym´etrique.
Exercice 3
Une particule de charge q soumise a un champ ´el´ectrique −→
E et un champ magn´etique
−
→B subit la force de Lorentz:
−
→f =q(−→
E +−→v ∧−→ B)
Dans cette expression, −→v est le vecteur vitesse de la particule. Nous supposons que les ph´enom`enes ´electomagn´etiques dans un certain r´ef´erentiel sont d´etermin´es par la con- naissance d’un quadripotentiel dont la representation math´ematique est une un forme diff´erentielle:
A(x, y, z, t) = Vc(x, y, z, t)dt+Ax(x, y, z, t)dx+Ay(x, y, z, t)dy+Az(x, y, z, t)dz
Les composantes Vc Ax, Ay, Az, sont des fonctions au moins d´erivables au premier or- dre. −→
A (Ax,Ay,Az) est le potentiel vecteur,V le potentiel scalaire.
1◦) Donner la d´eriv´ee exterieure de cette forme diff´erentielle de degr´e 1. Les composantes de la deux forme trouv´ee sont les composantes du champ ´el´ectromagn´etique. En de- duire:
−
→E =grad(Vc)−∂∂t−→A
−
→B =rot−→ A
Si (Ex, Ey, Ez) et (Bx, By, Bz) d´esignent respectivement les composantes des champ
´el´ectrique et magn´etique on pose:
F =Exdx∧dt+Eydy∧dt+Ezdz∧dt+Bzdy∧dx+Bxdz∧dy+Bydz∧dx 2◦) CalculerdF et expliquer pourquoiF est une forme ferm´ee.
3◦) En d´eduire que les ´equations de Maxwell dans le vide sont: rot−→
E =−∂∂t−→B div−→
B = 0
O O O O O O
