CSC012 Corrig´ e du devoir 3

(1)

2008-2009 http ://www.cnam.fr/depts/maths CNAM - Paris

CSC012 Corrig´ e du devoir 3

Exercice 1

1. On interpole la fonction f : x → 1

1 + x

²

, ` a partir des points A(−1, 0.5), B(0, 1), C (1, 0.5), par les polynˆ omes de Lagrange : P (x) = x(x − 1)

2 × 0.5 + (x + 1)(x − 1)

−1 × 1 + (x + 1)x

2 × 0.5 = − x

²

2 + 1 f(0.5) = 0.8 et P(0.5) = 0.875

2. Intrepolation par les polynˆ omes de Newton :

On pose P (x) = α

0

+ α

1

(x − x

0

) + α

2

(x − x

0

)(x − x

1

) P(x

₀

) = f (x

₀

) = y

₀

= 0.5, P (x

₁

) = f (x

₁

) = y

₁

= 1, P(x

2

) = f (x

2

) = y

2

= 0.5.

donc

α

₀

= 0.5, P (x

₁

) = α

₀

+ α

₁

(x − x

₀

) = 1 ⇔ α

₁

= 0.5 1 = 1

P(x

2

) = 0.5 = α

0

+α

1

(x

2

−x

0

)+α

2

(x

2

−x

0

)(x

2

−x

1

) ⇔ 0.5 = 0.5+0.5×2+α

2

×2×1 donc α

2

= −0.5

P (x) = 0.5 + 0.5(x + 1) − 0.5(x + 1)x = −0.5x

²

+ 1 P(0.5) = 0.875, le polynˆ ome est le mˆ eme que par l’interpolation de Lagrange.

3. Un point M de la courbe a comme coordonn´ ees x(t) et y(t) donn´ es par : x(t) = (1 − t)

²

x

0

+ 2t(1 − t)x

1

+ t

²

x

2

y(t) = (1 − t)

²

y

0

+ 2t(1 − t)y

1

+ t

²

y

2

On veut avoir x(t) = 0.5 soit −(1 − 2t + t

²

) + t

²

= 0.5 ⇔ t = 0.75 ; en reportant dans y(t) :

y(0.75) = 1 32 + 3

8 + 9 32 = 11

16 = 0.6875

Exercice 3

1. On a le tableau de valeurs :

x −3 −2 −1 0 1 2 3

y 0.2 2 9.6 16 9.6 2 0.2

ln(y) −1.6 0.69 2.26 2.79 2.26 0.69 −1.6

1

(2)

y = g(x) = αe

^−βx²

⇔ ln(y) = z = ln(α) − βx

²

On veut d´ eterminer la parabole des mondres carr´ es : z = a

₀

+ a

₁

x + a

₂

x

²

On a le syst` eme :



 



 



a

2

P x

⁴_i

+ a

1

P x

³_i

+ a

0

P x

²_i

= P z

i

x

²_i

a

2

P

x

³_i

+ a

1

P

x

²_i

+ a

0

P

x

i

= P z

i

x

i

a

2

P

x

²_i

+ a

1

P

x

i

+ na

0

= P z

i

⇔



 



 



196a

2

+ 28a

0

= −20.76 28a

1

= 0 28a

2

+ 7a

0

= 5.49 Ce qui donne comme solutions a

2

= −0.4852, a

1

= 0, a

0

= 2.7212 soit : α = e

^a⁰

= 15.199, β = −a

2

= 0.4852

y = 15.2e

^−048x²

2