Universit´e Paris-Dauphine DUGEAD 1`ere ann´ee - UV 13
DFR Gestion et ´Economie Appliqu´ee Ann´ee 2005-2006
Corrig´ e du devoir test n
◦2 : 13 janvier 2006
Exercice 1. Questions de cours : Voir le cours
Exercice 2.
f(x, y) =x−y2−1
2xy+ 2−2x2, g(x, y) =x4+x2y+1
4y2−1.
1. Pour la fonction f on art−s2= 314 .
La fonction f est un polynˆome du second degr´e de R2 dans R. Puisquer <0, d’apr`es le th´eor`eme du coursf est concave.
D’apr`es les th´eor`emes g´en´eraux du coursg est une fonction de classeC2 deR2 dansR. On a
∂g
∂x(x, y) = 4x3+ 2xy, ∂2g
∂x2(x, y) = 12x2+ 2y,
∂g
∂y(x, y) =x2+1
2y, ∂2g
∂y2(x, y) = 1 2,
∂2g
∂x∂y(x, y) = 2x.
La fonctiong n’est pas convexe (ni concave) surR2 carrt−s2 =−2 au point (1,−1).
2. On a ∂f∂x(x0, y0) = 1− 12y0 −4x0 = 0 et ∂f∂y(x0, y0) = −2y0− 12x0 = 0 ssi x0 = 318 et y0 =−312. Donc la fonction f r´ealise son maximum global en (x0, y0) et son maximum global est ´egal `a 6631.
Exercice 3. Soit f :R→R d´erivable.
g(x, y) =f(2x−y+ 3), h(x, y) =f(x3−y3).
1. On a pour g :
∂g
∂x(x, y) = 2f0(2x−y+ 3), ∂g
∂y(x, y) =−f0(2x−y+ 3).
2. On a pour h :
∂h
∂x(x, y) = 3x2f0(x3−y3), ∂h
∂y(x, y) =−3y2f0(x3−y3).
Exercice 4.
f(x, y) = ln(xy)−ln(4−(x2+y2)).
1. On a D(f) = BO(0,2)∩ {(x, y) ∈ R2 : xy > 0}, o`u BO(0,2) est la boule ouverte de centre O et de rayon 2. L’ensemble D(f) est la r´eunion de deux r´egions de la boule ouverte de centre O et de rayon 2. La premi`ere est la partie de la boule ouverte dans laquelle x >0,y >0. La deuxi`eme est la partie de la boule ouverte dans laquelle x <0 ety <0.
1
2. Cet ensemble est born´e car il est inclus dans la boule (ferm´ee) de centreOet de rayon 2.
Cet ensemble n’est pas convexe car A = (1,1) et B = (−1,−1) appartiennent `a D(f) tandis que 0∈[AB] et 0∈/ D(f).
3. D’apr`es les th´eor`emes g´en´eraux (voir le cours),f est de classeC2 surR2. 4. On a
∂f
∂x(x, y) =−1
x + 2x
4−(x2+y2), ∂f
∂y(x, y) =−1
y + 2y
4−(x2+y2),
∂2f
∂x2(x, y) = 1
x2 + 8 + 2(x2−y2)
(4−(x2+y2))2, ∂2f
∂y2(x, y) = 1
y2 + 8 + 2(y2−x2) (4−(x2+y2))2,
∂2f
∂y∂x(x, y) = 4xy
(4−(x2+y2))2. Le DL de f `a l’ordre 2 au point (1,1) est
f(1 +h,1 +k) =−ln(2) + 3
2(h2+k2) + 1hk+ (h2+k2)(p
h2+k2).
5. L’´equation du plan tangent au point (1,1) est z=−ln(2).
6. Au point (1,1), on a rt−s2 >0 etr >0. La courbe est au dessus de son plan tangent.
7. D(h) = BO(0,2) est convexe. De plus, (x, y) → 4−(x2+y2) est concave sur R2 et x→ln(x) est concave croissante surR∗+ donc d’apr`es le cours h est concave surD(h).
8. L’ensemble D(f)∩ {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0} est convexe comme intersection de deux convexes.
La fonction (x, y) → −ln(x) est convexe sur R+∗ ×R ainsi que la fonction (x, y) →
−ln(y) sur R×R+∗ grace au lemme d’extension. De plus −h est convexe donc par somme de fonctions convexes,f est convexe sur D(f)∩ {(x, y)∈R2 : x >0, y >0}.
2
