Int´egration et Probabilit´es (M43050) 2010-2011 DST du mardi 1er mars 2011
Les deux exercices sont ind´ependants. On prendra soin de justifier les passages `a la limite. On pourra admettre le r´esultat d’une question et traiter les questions suivantes.
—Exercice I—
Dans cet exercice, on d´esigne par E l’intervalle semi-ouvert ]0,1], parB la tribu bor´elienne de E et parλla mesure de Lebesgue sur (E,B). Pour chaque entierk≥0 on d´esigne par Ik l’intervalle semi-ouvert
Ik= ]2−k−1,2−k] ={x∈R: 2−k−1< x≤2−k}.
On pourra utiliser sans preuve l’information suivante : les intervalles (Ik)k>0forment une partition de E en ensembles de la tribuB.
a. On consid`ere la famille de partiesA ⊂ P(E) form´ee de toutes les r´eunions A(J) = [
k∈J
Ik,
o`u J⊂Nvarie dans la familleP(N) de tous les sous-ensembles deN(y compris J =∅, qui donne A(∅) =∅). V´erifier que Aest une tribu de parties de E, contenue dans B. Montrer que A est la plus petite tribu de parties de E qui contienne tous les intervalles (Ik)k>0.
b. Montrer que pour toute suite (ak)k>0 de r´eels ≥ 0, la fonction f : E → [0,+∞[ d´efinie par f = P
k>0ak1Ik est A-mesurable. R´eciproquement, montrer que si f : E → [0,+∞[ est A-mesurable, alors
f =X
k>0
f(2−k)1Ik
(on notera que si un ensemble A de la tribuAcontient le point 2−k, pour un certain entier k≥0, alors Ik⊂A). V´erifier que f estB-mesurable et montrer que
Z
E
fdλ=X
k>0
f(2−k) 2−k−1.
— Exercice II—
Dans cet exercice, on d´esigne parB la tribu bor´elienne de ]0,1[ et par λla mesure de Lebesgue sur (]0,1[,B) ; on suppose que G : ]0,1[→]0,+∞[ est une fonction croissante continue (donc B-mesurable) telle que
xlim→0G(x) = 0 et Z
]0,1[
G(x) dλ(x)<+∞.
a. Etudier le sens de variation de´ x∈]0,1[→G(xn) et de n∈N∗→G(xn). Montrer que
n→lim+∞
Z
]0,1[
G(xn) dλ(x) = 0.
b.Montrer que
n→lim+∞
Z
]0,1[
u1/nG(u)
u dλ(u) = Z
]0,1[
G(u) u dλ(u) (la valeur de l’int´egrale de droite est finie ou ´egale `a +∞).
c.Montrer que pour tout entiern≥1, et tous a, btels que 0< a < b <1, on a l’´egalit´e suivante entre int´egrales de Riemann :
n Z b
a
G(xn) dx= Z bn
an
u1/nG(u) u du.
d. D´eduire des questions pr´ec´edentes que
n→lim+∞ n Z
]0,1[
G(xn) dλ(x) = Z
]0,1[
G(u)
u dλ(u).
