Cohomologie d’Andr´e-Quillen associ´ee `a une op´erade Aur´elien DJAMENT Janvier 2007

Cohomologie d’Andr´e-Quillen associ´ee ` a une op´erade

Aur´ elien DJAMENT Janvier 2007

Le but de la cohomologie d’Andr´ e-Quillen est de donner une « bonne » th´ eorie cohomologique sur alg` ebres reli´ ee ` a la notion de lissit´ e. On pr´ esentera d’abord le cas classique des alg` ebres commutatives sur un anneau, avant de d´ ecrire la g´ en´ eralisation aux alg` ebres sur une op´ erade en modules sur un anneau commutatif. Pour l’article de Goerss-Hopkins [3] que ce groupe de travail vise ` a comprendre, c’est le cas des alg` ebres sur une op´ erade en comodules sur une alg´ ebro¨ıde de Hopf qui est utilis´ e ; ce raffinement de la th´ eorie d’Andr´ e-Quillen pr´ esent´ ee ici fera l’objet de l’expos´ e suivant.

Ce survol ne comporte pratiquement pas de d´ emonstrations (on renvoie ` a la bibliographie pour cela) ; cependant, tous les r´ esultats s’´ etablissent par des m´ ethodes standard d’alg` ebre homologique ou homotopique.

Table des mati` eres

I Cohomologie d’Andr´ e-Quillen classique 2

1 D´ erivations, diff´ erentielles et complexe cotangent 2 2 La structure de cat´ egorie de mod` eles sur les alg` ebres simpliciales ; d´ efinition de

la cohomologie d’Andr´ e-Quillen 3

3 Quelques propri´ et´ es de la cohomologie d’Andr´ e-Quillen 4

II Cohomologie d’Andr´ e-Quillen des alg` ebres sur une op´ erade 5

4 Rappels sur le cadre alg´ ebrique 6

5 D´ erivations et diff´ erentielles dans le cadre op´ eradique 7 6 La cat´ egorie de mod` eles simpliciale et la cohomologie d’Andr´ e-Quillen dans le

cadre op´ eradique 7

7 Propri´ et´ es 9

Dans tout cet expos´ e, k d´ esigne un anneau (associatif, unitaire) commutatif et Mod

la cat´ egorie

des k-modules.

Premi` ere partie

Cohomologie d’Andr´ e-Quillen classique

Cette th´ eorie cohomologique a ´ et´ e introduite ind´ ependamment par Andr´ e et Quillen en 1967.

Dans cette partie, toutes les alg` ebres consid´ er´ ees sont unitaires, associatives et commutatives.

On note Alg

la cat´ egorie des k-alg` ebres.

1 D´ erivations, diff´ erentielles et complexe cotangent

Si A est une k-alg` ebre et M un A-module, le k-module des (k-)d´ erivations de A ` a valeurs dans M est d´ efini par

Der

(A, M ) = {f ∈ hom

(A, M ) | ∀(x, y) ∈ A

f (xy) = x.f (y) + y.f (x)}. (1) Une autre description de Der

(A, M ) s’obtient comme suit : notons A n M la k-alg` ebre dont le k-module sous-jacent est A ⊕ M et dont la multiplication est donn´ ee par

(a, m).(a

, m

) = (aa

, am

+ a

m).

La projection A n M A est un morphisme de Alg

, de sorte que A n M est un objet de la cat´ egorie Alg

/A des k-alg` ebres au-dessus de A (ou A-augment´ ees). On a un isomorphisme canonique

Der

(A, M ) ' hom

k/A

(A, A n M ).

Une troisi` eme description des d´ erivations est fournie par les diff´ erentielles de K¨ ahler de A sur k, qui sont par d´ efinition les ´ el´ ements du A-module Ω

(A) engendr´ e par des symboles da pour chaque a ∈ A soumis aux relations suivantes :

1. ∀λ ∈ k d(λ.1) = 0 ;

2. ∀(a, b) ∈ A

d(a + b) = da + db ; 3. ∀(a, b) ∈ A

d(ab) = adb + bda.

On a un isomorphisme canonique

Der

(A, M ) ' hom

(Ω

(A), M).

Les diff´ erentielles de K¨ ahler permettent de d´ efinir le complexe cotangent d’une k-alg` ebre A. Pour cela, on rappelle que le foncteur d’oubli de Alg

vers la cat´ egorie des ensembles poss` ede un adjoint ` a gauche k[−] ; la k-alg` ebre k[X ] est l’alg` ebre polynomiale construite sur X . Notons ⊥ l’endofoncteur de Alg

compos´ e des deux foncteurs pr´ ec´ edents : il s’ins` ere dans une comonade (ou cotriple), i.e.

on a des transformations naturelles ⊥ → id et ⊥ → ⊥

, d´ eduites formellement de l’adjonction, qui v´ erifient les conditions de co¨ unit´ e et de coassociativit´ e ´ evidentes.

On d´ eduit de cette comonade une k-alg` ebre simpliciale A-augment´ ee ⊥

(A) en posant ⊥

(A) =⊥

(A), en prenant pour faces d

: ⊥

(A) → ⊥

(A) les morphismes d´ eduits de la co¨ unit´ e

⊥ → id et pour d´ eg´ en´ erescences s

: ⊥

(A) → ⊥

(A) les morphismes d´ eduits de la comultiplica- tion ⊥ → ⊥

(cf. [6], § 8.6 pour les d´ etails). L’augmentation ⊥

(A) → A se d´ eduit de la co¨ unit´ e. Le complexe cotangent de A est par d´ efinition le A-module simplicial

L Ω

(A) = A ⊗

⊥∗A

Ω

(⊥

A).

L’homologie du complexe de Moore associ´ e ` a ce A-module simplicial sera l’homologie d’Andr´ e-

Quillen de A ; avant de l’´ etudier, nous allons donner le cadre g´ en´ eral d’alg` ebre homotopique qui

permet de travailler efficacement dans ce contexte.

2 La structure de cat´ egorie de mod` eles sur les alg` ebres sim- pliciales ; d´ efinition de la cohomologie d’Andr´ e-Quillen

Un th´ eor` eme g´ en´ eral de Quillen (cf. [4], § II.4) procure le r´ esultat suivant.

Proposition 2.1. On d´ efinit une structure de cat´ egorie de mod` eles ferm´ ee (mˆ eme simpliciale) sur la cat´ egorie sAlg

des k-alg` ebres simpliciales en prenant pour :

– ´ equivalences faibles les morphismes dont le morphisme d’ensembles simpliciaux sous-jacent est une ´ equivalence faible (i.e. qui induisent un isomorphisme entre π

) ;

– fibrations les morphismes dont le morphisme de modules simpliciaux sous-jacent est une fi- bration, i.e. qui induisent un ´ epimorphisme en degr´ es strictement positifs entre les com- plexes normalis´ es associ´ es (on rappelle que le foncteur de normalisation N est d´ efini par N

(M ) = T

i=0

ker (d

: M

→ M

)) ;

– cofibrations les r´ etractes des morphismes libres, d´ efinis ci-dessous.

D´ efinition 2.2. Un morphisme f : A → B de sAlg

est dit libre s’il existe une suite d’ensembles (X

) telle que f

: A → B

soit isomorphe ` a l’inclusion canonique A

, → A

[X

] et que les d´ eg´ en´ erescences s

: B

→ B

envoient X

(assimil´ e ` a un sous-ensemble de B

' A

[X

]) dans X

.

Remarque 2.3. – Tous les objets de sAlg

sont fibrants.

– On d´ eduit formellement de la proposition une structure de cat´ egorie de mod` eles sur la cat´ egorie sAlg

/A des k-alg` ebres simpliciales au-dessus d’une alg` ebre A, dont les ´ equivalences faibles (resp. fibrations, cofibrations) sont les morphismes qui vus dans sAlg

sont des ´ equivalences faibles (resp. fibrations, cofibrations) — cf. [1], § 1.1.

Foncteurs d´ eriv´ es fondamentaux

On v´ erifie que l’on est dans la situation de foncteurs de Quillen, que l’on peut donc d´ eriver de mani` ere standard.

Pr´ ecis´ ement, soit A une k-alg` ebre. On a des isomorphismes canoniques hom

(Ω

(B) ⊗

B

A, M ) ' Der

(B, M ) ' hom

k/A

(B, A n M ) (2)

pour toute k-alg` ebre A-augment´ ee B et tout A-module M (par abus, on note encore M l’image de M par le foncteur de restriction des scalaires Mod

→ Mod

d´ eduit de l’augmentation B → A).

En effet, on a (cf. section pr´ ec´ edente) hom

(Ω

(B)⊗

B

A, M ) ' hom

(Ω

(B), M ) ' Der

(B, M ) ' hom

k/B

(B, B n M ) ' hom

k/A

(B, A n M ).

L’adjonction (2) s’´ etend aux cat´ egories simpliciales : si B est une k-alg` ebre simpliciale au-dessus de A et M un A-module simplicial, on a encore un isomorphisme canonique

hom

(Ω

(B) ⊗

B

A, M ) ' hom

k/A

(B, A n M ).

De plus, il est ´ evident que le foncteur A n − : sMod

→ sAlg

/A pr´ eserve fibrations et

´ equivalences faibles. Par cons´ equent, on est dans la situation d’une adjonction de Quillen ; en parti- culier, le foncteur B 7→ Ω

(B) ⊗

B

A : sAlg

/A → sMod

pr´ eserve les cofibrations et les cofibrations triviales. En d´ erivant ` a gauche ce foncteur, on obtient un foncteur Ho(sAlg

/A) → Ho(sMod

).

D´ efinition de la (co)homologie d’Andr´ e-Quillen

L’homologie d’Andr´ e-Quillende A est par d´ efinition l’image de A (assimil´ e ` a un objet simplicial constant) par le foncteur gradu´ e

Ho(sAlg

/A) → Ho(sMod

) −−−−→

Mod

compos´ e du pr´ ec´ edent et du foncteur canonique (cf. correspondance de Dold-Kan). Cette homologie est not´ ee D

(A/k). Une g´ en´ eralisation ` a coefficients dans un A-module M s’obtient en composant au centre les fl` eches pr´ ec´ edentes par le foncteur d´ eriv´ e de la tensorisation par M . Ainsi, explicitement, D

(A/k, M) ' H

(Ω

(X ) ⊗

X

M ), o` u X → A est une r´ esolution cofibrante de A (i.e. une fibration triviale avec X cofibrant).

La variante duale, que nous consid´ ererons plutˆ ot, s’obtient de fa¸ con analogue en rempla¸ cant le foncteur B 7→ Ω

(B) ⊗

B

M par B 7→ hom

(Ω

(B) ⊗

A

A, M ). On obtient ainsi la cohomologie d’Andr´ e-Quillen de la k-alg` ebre A ` a coefficients dans le A-module M , d´ efinie par

D

(A, M ) ' H

(hom

(Ω

(X ) ⊗

X

A, M )),

o` u X → A est une r´ esolution cofibrante. Lorsque M = A, on omet la mention ` a ce module de coefficients.

Retour sur le complexe cotangent

L’augmentation ⊥

(A) → A du complexe cotangent de A est une r´ esolution cofibrante fonc- torielle de A. Ce fait est formel (cf. [6], § 8.6) — le caract` ere cofibrant de la k-alg` ebre simpliciale

⊥

(A) est d’ailleurs tautologique.

3 Quelques propri´ et´ es de la cohomologie d’Andr´ e-Quillen

Des propri´ et´ es formelles

Suites exactes longues

– Soient A une k-alg` ebre et 0 → M

→ M → M

→ 0 une suite exacte courte de A-modules.

On en d´ eduit une suite exacte longue

0 → Der

(A, M

) → Der

(A, M ) → Der

(A, M

) → D

(A, M

) → · · ·

· · · → D

(A, M

) → D

(A, M ) → D

(A, M

) → D

(A, M

) → · · · – Si A → B est un morphisme de k-alg` ebres, on a une suite exacte longue

0 → Der

(B, M ) → Der

(B, M ) → Der

(A, M ) → D

(A, M ) → · · ·

· · · → D

(B, M ) → D

(B, M ) → D

(A, M ) → D

(B, M ) → · · · o` u M est un B-module.

Coefficients universels. Il existe une suite spectrale du premier quadrant E

= Ext

(D

(A/k), M) ⇒ D

(A, M ) naturelle en la k-alg` ebre A et le A-module M .

En particulier, si A est un corps, D

(A, M ) ' hom

(D

(A/k), M).

Changement plat d’anneau. Soient A et B deux k-alg` ebres telles que Tor

(A, B) = 0 pour tout i > 0 (cas typique : A ou B est k-plate). Il existe un isomorphisme naturel D

(B ⊗

k

A, M ) ' D

(B, M ) pour tout B ⊗

k

A-module M .

Ingr´ edient : si X → B est une r´ esolution cofibrante de B comme k-alg` ebre, alors X ⊗

k

A → B ⊗

k

A est une r´ esolution cofibrante de B ⊗

k

A comme A-alg` ebre.

Des exemples « concrets » fondamentaux

Cohomologie d’Andr´ e-Quillen d’une alg` ebre sym´ etrique. Soient N un k-module, S

(N ) son alg` ebre sym´ etrique (sur k) et M un S

(N )-module. Il existe un isomorphisme gradu´ e canonique

D

(S

(N), M ) ' Ext

(N, M).

Ingr´ edients : soit P → N une r´ esolution projective de N , i.e. une r´ esolution cofibrante de N dans sMod

. Alors S

(P) → S

(N) est une r´ esolution cofibrante de la k-alg` ebre S

(N). De plus, Der

(S

(N ), M ) ' hom

(N, M ), ou, de fa¸ con ´ equivalente, Ω

(S

N ) ' N ⊗

k

S

(N ).

Interpr´ etation de D

(A, M ) en termes d’extensions. Comme ensemble, D

(A, M ) est en bijection avec les classes d’´ equivalence d’extensions M − →

E − →

A, o` u :

1. la suite 0 → M − →

E − →

A → 0 de k-modules est exacte ; 2. π est un morphisme d’alg` ebres ;

3. on a ι(M )

= 0 dans E.

L’exemple typique d’une telle extension est M , → A n M → A ; on peut d´ ecrire explicitement la structure de A-module de D

(A, M ) dans cette identification.

Ingr´ edients : en utilisant le complexe cotangent, on voit que D

(A, M ) est l’homologie d’un com- plexe M

→ M

→ M

, grˆ ace ` a l’isomorphisme canonique Der

(k[A], M ) ' M

.

Soit s : A → E une section ensembliste de π. Pour a

, . . . , a

∈ A, on a π(s(a

. . . a

) − s(a

) . . . s(a

)) = 0, donc il existe un unique ´ el´ ement θ(a

, . . . , a

) de M tel que s(a

. . . a

) − s(a

) . . . s(a

) = ι(θ(a

, . . . , a

)). En prolongeant θ par lin´ earit´ e, on obtient une fonction k[A] → M dont on v´ erifie qu’elle est un cycle dans le complexe ci-dessus ; changer de section s modifie ce cycle par un bord. On obtient ainsi une fl` eche des classes d’extensions de A par M vers D

(A, M ), qui est bijective.

Un cas particulier. Supposons que k est un anneau local d’id´ eal maximal m et de corps r´ esiduel K = k/m. Il existe alors un isomorphisme canonique D

(K) ' (m/m

)

, o` u (−)

d´ esigne le dual d’un K-espace vectoriel (on comprend ainsi l’apparition du terme « cotangent » dans la th´ eorie).

Ingr´ edient : soient K − →

E − →

K une extension comme ci-avant et a un ant´ ec´ edent de 1 ∈ K par π : pour t ∈ m, on a ta ∈ ker π, et si t, t

∈ m, alors tt

a = 0. Ainsi, t 7→ ι

(ta) d´ efinit un morphisme m/m

→ K.

Deux remarques culturelles

– Si k est un corps de caract´ eristique nulle, alors D

est facteur direct naturel de la cohomologie de Hochschild (cf. [6]).

– Il existe un analogue de la cohomologie d’Andr´ e-Quillen pour les k-alg` ebres (unitaires associa- tives) non n´ ecessairement commutatives (` a coefficients dans un bimodule). Pour une alg` ebre commutative, les deux notions de cohomologie d’Andr´ e-Quillen commutative et associative sont reli´ ees par une suite spectrale, qui est pr´ esent´ ee et utilis´ ee dans un cadre topologique dans [5].

La g´ en´ eralisation op´ eradique expos´ ee dans la deuxi` eme partie de cet expos´ e d’introduction

g´ en´ eralise les cas commutatif et associatif.

Deuxi` eme partie

Cohomologie d’Andr´ e-Quillen des alg` ebres sur une op´ erade

Dans cette partie, on suit essentiellement la deuxi` eme section de [2].

4 Rappels sur le cadre alg´ ebrique

La cat´ egorie mono¨ıdale sym´ etrique ferm´ ee de base sera toujours, dans cet expos´ e, la cat´ egorie C = Mod

des modules sur l’anneau commutatif k, munie de ⊗

k

. La difficult´ e suppl´ ementaire qui apparaˆıt dans le cas des comodules sur une alg´ ebro¨ıde de Hopf r´ eside dans le fait qu’il n’y a plus assez de projectifs dans ce cas, ce qui impose de modifier la structure de cat´ egorie de mod` eles consid´ er´ ee sur les alg` ebres simpliciales, tandis que pour les alg` ebres sur une op´ erade en k-modules, tout fonctionne comme dans le cadre classique.

On rappelle que C

d´ esigne la cat´ egorie des objets sym´ etriques de C, i.e. des suites (M

)

, o` u M

est un k[Σ

]-module ` a gauche ; le foncteur ⊗

: C

× C

→ C est donn´ e par

S ⊗

T = M

n∈N

S

⊗

k[Σn]

T

(on identifie ici implicitement le k[Σ

]-module ` a gauche S

qui apparaˆıt dans le produit tensoriel au k[Σ

]-module ` a droite qui lui correspond canoniquement).

On dispose ´ egalement d’un foncteur ⊗ : C

× C

→ C

qui fait de C

une cat´ egorie mono¨ıdale sym´ etrique ferm´ ee, d´ efini par

(S ⊗ T )

= M

p+q=n

k[Σ

] ⊗

k[Σp×Σq]

(S

⊗ T

).

Le produit de composition ◦ : C

× C

→ C

est d´ efini par (S ◦ T )

= S ⊗

((T

)

)

. Une op´ erade T dans C = Mod

est un mono¨ıde de la cat´ egorie C

pour la structure (non sym´ etrique) d´ efinie par ◦.

Une T-alg` ebre est un k-module A qui est une alg` ebre sur la monade d´ efinie par T — concr` etement, c’est la donn´ ee d’un morphisme T (A) −→

A v´ erifiant les axiomes habituels. On rappelle que T(A) = T ⊗

(A

)

. Les T -alg` ebres forment une cat´ egorie A

.

Exemple 4.1. Si T = (k)

d´ esigne l’op´ erade commutative, une T -alg` ebre est une k-alg` ebre com- mutative et T (M ) = S

(M ) pour tout k-module M . Cette traduction ´ evidente de la suite de cet expos´ e redonne la th´ eorie classique d’Andr´ e-Quillen.

Si A est une telle alg` ebre, on s’int´ eresse aussi ` a la cat´ egorie M

des A-alg` ebres (sur T ), i.e.

des k-modules munis d’un morphisme

: T (A, M ) → M satisfaisant aux conditions usuelles. On rappelle que T (A, M ) = T ⊗

(k[Σ

] ⊗

k[Σn−1]

(A

⊗

k

M ))

.

Le foncteur d’oubli M

→ Mod

poss` ede un adjoint ` a gauche not´ e M 7→ A ⊗

M . Cela se v´ erifie ` a partir du cas libre A = T (N ), dans lequel on a A ⊗

M ' T (N, M). Le cas g´ en´ eral s’en d´ eduit ` a l’aide du diagramme co´ egalisateur r´ eflexif canonique

(T ◦ T )(A) ⇒ T (A) → A (3)

d´ eduit de la structure d’alg` ebre de A (cf. la r´ esolution canonique ⊥

(A) → A donn´ ee par le com- plexe cotangent dans le cas commutatif). Ce principe ´ el´ ementaire est omnipr´ esent pour toutes les constructions de base.

De fa¸ con analogue, si A → B est un morphisme de T -alg` ebres, le foncteur d’oubli (restriction des scalaires) M

→ M

poss` ede un adjoint ` a gauche not´ e B ⊗

A

− par analogie avec le cas usuel.

5 D´ erivations et diff´ erentielles dans le cadre op´ eradique

Soient T une op´ erade en k-modules et A une T-alg` ebre, on note A

/A la cat´ egorie des T-alg` ebres au-dessus de A. On d´ efinit les d´ erivations de A dans un A-module M en ´ etendant la construction A n M utilis´ ee dans le cas classique.

Pour cela, on commence par remarquer que (A ⊕ M )

contient comme facteur direct naturel A

⊕ L

i=1

A

⊗M ⊗A

, d’o` u un ´ epimorphisme scind´ e naturel T (A⊕M ) T (A)⊕T (A, M ).

D´ efinition 5.1. On note A n M l’objet de A

/A dont le k-module sous-jacent est A ⊕ M , dont la structure de T-alg` ebre est donn´ ee par la multiplication

T (A ⊕ M ) T (A) ⊕ T (A, M ) −

−−−−

→ A ⊕ M et l’augmentation par la projection A ⊕ M A.

On pose alors Der

(A, M ) = hom

(A, A n M ) et plus g´ en´ eralement, si B est un objet de A

/A,

Der

(B, M ) = hom

(B, A n M ).

Remarque 5.2. On peut donner une d´ efinition directe des d´ erivations analogue ` a (1) — cf. [2], § 2 : une d´ erivation de A dans M correspond canoniquement ` a une application k-lin´ eaire d : A → M telle que le diagramme

T (A)

//

A

T (A, A)

// T (A, M )

M

A

// M

commute, o` u ∆ : T (A) → T (A, A) d´ esigne la diagonale (induite par la collection des diagonales A

→ (A

)

).

Proposition 5.3. – Pour toute T-alg` ebre A, il existe Ω

(A) ∈ M

tel que hom

A

(Ω

(A), M ) ' Der

(A, M ) pour tout A-module M .

– Soit A → B un morphisme de A

. La transformation naturelle Der

(B, −) → Der

(A, −) qu’il induit provient via l’isomorphisme pr´ ec´ edent d’un morphisme de B-modules B ⊗

A

Ω

(A) → Ω

(B).

Ingr´ edients (pour le premier point) : on commence par le cas o` u A est une T -alg` ebre libre T(N ) : on a explicitement Ω

(T N ) ' T (N ) ⊗

N ' T (N, N ). Le cas g´ en´ eral s’en d´ eduit par le co´ egalisateur r´ eflexif (3).

Le A-module Ω

(A) est encore appel´ e module des diff´ erentielles k¨ ahl´ eriennes de A (sur T ).

Comme dans le cas classique, le but de la (co)homologie d’Andr´ e-Quillen est de d´ eriver les foncteurs Ω

ou Der

.

6 La cat´ egorie de mod` eles simpliciale et la cohomologie d’Andr´ e- Quillen dans le cadre op´ eradique

Soit T = (T

)

une op´ erade simpliciale (en k-modules) ; si X est un k-module simplicial, on

note T (X) le k-module simplicial (T

(X

)). On a une notion d’alg` ebre simpliciale sur T : c’est un

k-module simplicial X muni d’une fl` eche T (X ) → X v´ erifiant les conditions usuelles. On note sA

la cat´ egorie des alg` ebres simpliciales sur T.

Pour A ∈ sA

, un A-module simplicial est un k-module simplicial M muni d’un morphisme : T (A, M ) = (T

(A

, M

)) → M v´ erifiant les conditions usuelles. Les A-modules simpliciaux forment une cat´ egorie not´ ee sM

.

Variante augment´ ee : on rappelle qu’un objet simplicial augment´ e est un objet simplial Z muni d’une fl` eche d

: Z

→ Z

telle que les compos´ ees d

d

et d

d

: Z

→ Z

co¨ıncident. L’augmen- tation canonique d’un objet simplicial Z est donn´ ee par Z → π

(Z ) = coeg(d

, d

: Z

→ Z

).

On d´ efinit comme pr´ ec´ edemment les alg` ebres X → X

sur une op´ erade augment´ ee T → T

. Si A est une alg` ebre sur une op´ erade simpliciale T , alors A → π

(A) est canoniquement une alg` ebre sur l’op´ erade simpliciale augment´ ee T → π

(T ).

La proposition 2.1 se g´ en´ eralise sans changement ` a notre contexte op´ eradique :

Proposition 6.1. On d´ efinit une structure de cat´ egorie de mod` eles ferm´ ee (mˆ eme simpliciale) sur la cat´ egorie sA

en prenant pour :

– ´ equivalences faibles les morphismes dont le morphisme d’ensembles simpliciaux sous-jacent est une ´ equivalence faible ;

– fibrations les morphismes dont le morphisme de k-modules simpliciaux sous-jacent est une fibration, i.e. qui induisent un ´ epimorphisme en degr´ es strictement positifs entre les complexes normalis´ es associ´ es ;

– cofibrations les r´ etractes des morphismes libres, d´ efinis ci-dessous.

D´ efinition 6.2. – Un objet X de sA

est dit libre s’il est de la forme T (M ) avec M

' M

[n][m]

Z

o` u les Z

sont des k-modules projectifs pr´ eserv´ es par les d´ eg´ en´ erescences.

– Un morphisme f : A → B de sA

est dit libre s’il est isomorphe ` a un morphisme du type A → A `

X, o` u X est un objet libre de sA

.

Remarque 6.3. – Comme dans le cas classique, tous les objets de sA

sont fibrants, et on d´ eduit de la proposition une structure de cat´ egorie de mod` eles sur sA

/A pour toute T -alg` ebre A.

– La cat´ egorie sM

des modules sur une T-alg` ebre A est une cat´ egorie de mod` ele pour une structure analogue ` a celle des modules simpliciaux usuels.

Le complexe cotangent de A ∈ sA

est d´ efini par L Ω

(A) ' A ⊗

X

Ω

(X),

o` u X → A est une r´ esolution cofibrante. On peut donner une description explicite d’une telle r´ esolution, analogue au cas classique, qui permet de retrouver le complexe cotangent d´ ej` a introduit lorsque T est l’op´ erade commutative.

L’homologie d’Andr´ e-Quillen de A est d´ efinie par

D

(A) = H

( L Ω

A)(' π

( L Ω

A)).

Cohomologie. Supposons que T → T

est une op´ erade simpliciale augment´ ee, que A → A

est une T -alg` ebre et que M est un A

-module sur T

. M devient un A

-module sur T

, pour tout n, puis un X

-module (o` u X → A est toujours une r´ esolution cofibrante). La cohomologie d’Andr´ e-Quillen de A sur T ` a coefficients dans M est d´ efinie par

D

(A, M ) = H

Der

(X, M ) = H

hom

A

( L Ω

A, M ).

Comme dans le cas classique, ces d´ efinitions ne d´ ependent pas du choix de la r´ esolution cofibrante

`

a cause de l’adjonction de Quillen mettant en jeu Ω

et n .

En pratique, on consid` ere toujours le cas canonique T

= π

(T ) et A

= π

(A).

Cas relatif. Soit A → X un morphisme de sA

et M un π

(X)-module sur π

(T ). On d´ efinit Der

(X, M) = ker (Der

(X, M) → Der

(A, M ))

et

Ω

(X/A) = coker (X ⊗

A

Ω

(A) → Ω

(X)), de sorte que Der

(X, M ) ' hom

A

(Ω

(X/A), M).

Le complexe cotangent relatif est L Ω

(X/A) = X ⊗

X0

Ω

(X

/A

), o` u l’on s’est donn´ e une r´ esolution cofibrante A

→ A et une factorisation de A

→ A → X en une cofibration A

→ X

suivie d’une fibration triviale X

→ X . On pose enfin

D

(X/A) = H

( L Ω

(X/A)) et

D

(X/A, M ) = H

hom

X

( L Ω

(X/A), M ).

7 Propri´ et´ es

T d´ esigne toujours une op´ erade simpliciale en k-modules.

Repr´ esentabilit´ e

Proposition 7.1. Soient A une T -alg` ebre et M un π

(A)-module sur π

(T ). Pour tout n ∈ N , il existe K

(M, n) ∈ sA

/A tel que

[−, K

(M, n)]

' D

(−, M).

D´ emonstration. Soit K(M, n) un Eilenberg-Mac Lane (simplicial et op´ eradique) « ordinaire », i.e. un objet de sM

qui repr´ esente (dans la cat´ egorie homotopique) H

(−, M ). Explicitement, K(M, n) est un A-module dont le complexe normalis´ e associ´ e est concentr´ e en degr´ e n, o` u il est isomorphe ` a M .

On pose alors K

(M, n) = A n K(M, n) : on a par adjonction de Quillen [Y, K

(M, n)]

' [ L Ω

(Y ), K (M, n)]

A

' H

( L Ω

(Y ), M) ' D

(Y, M).

Suites exactes longues

Proposition 7.2. Soient A ∈ sA

et 0 → M

→ M → M

→ 0 une suite exacte courte de π

(A)-modules sur π

(T ). Il existe une suite exacte longue

0 → Der

(A, M

) → Der

(A, M ) → Der

(A, M

) → D

(A, M

) → · · ·

· · · → D

(A, M

) → D

(A, M ) → D

(A, M

) → D

(A, M

) → · · · Proposition 7.3. Soit A → B → C une suite de morphismes de sA

. La suite

C ⊗

B

L Ω

(B/A) → L Ω

(C/A) → L Ω

(C/B)

de sM

qui lui est associ´ ee est une suite cofibre.

Corollaire 7.4. Sous les mˆ emes hypoth` eses, si M est un π

(C)-module sur π

(T ), on a une suite exacte longue

0 → Der

(C/B, M ) → Der

(C/A, M ) → Der

(B/A, M ) → D

(C/B, M ) → · · ·

· · · → D

(C/B, M) → D

(C/A, M ) → D

(B/A, M) → D

(C/B, M ) → · · · Proposition 7.5. Soient A une T -alg` ebre et

B

//

j

X

C // Y

un diagramme commutatif cocart´ esien de sA

/A. On suppose que A est cofibrant (dans sA

), que B et X sont cofibrants dans sA

/A et que j est une cofibration. On a alors une suite cofibre

Y ⊗

B

L Ω

(B/A) → Y ⊗

C

L Ω

(C/A) ⊕ Y ⊗

X

L Ω

(X/A) → L Ω

(Y /A) dans sM

.

Corollaire 7.6 (Suite exacte de Mayer-Vietoris). Sous les mˆ emes hypoth` eses, si M est un π

(Y )- module sur π

(T ), on a une suite exacte longue

0 → Der

(Y /A, M ) → Der

(X/A, M ) ⊕ Der

(C/A, M ) → Der

(B/A, M ) → D

(Y /A, M) → · · ·

· · · → D

(Y /A, M ) → D

(X/A, M ) ⊕ D

(C/A, M ) → D

(B/A, M ) → D

(Y /A, M ) → · · ·

R´ ef´ erences

[1] M. Hovey, Model categories, Mathematical surveys and monographs 63, Providence, RI, 2003.

[2] P. Goerss et M. Hopkins, Andr´ e-Quillen (co)homology for simplicial algebras over simplicial operads. In Une d´ egustation topologique [Topological morsels] : homotopy theory in the Swiss Alps (Arolla, 1999), 41–85, Contemp. Math., 265, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.

[3] P. Goerss et M. Hopkins, Moduli spaces of commutative ring spectra. In Structured ring spectra, 151–200, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 315, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004.

[4] D. Quillen, Homotopical algebra, Lecture Notes in Math. 43, Springer Verlag, Berlin, 1967.

[5] C. Rezk, Notes on the Hopkins-Miller theorem. In Homotopy theory via algebraic geometry and group representations (Evanston, IL, 1997), 313–366, Contemp. Math., 220, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998. 55N22 (55S99).

[6] C. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge studies in advanced mathematics

38, Cambridge University Press, 1994.