La cat´ egorie des espaces projectifs
D´edou
D´ecembre 2010
Les morphismes
Soitf :E →F une application lin´eaire. Alors f envoie les droites deE sur des droites deF ssi f est injective. Dans ce cas, on note f l’application induite deP(E) dansP(F), et on dit quef est un morphisme deP(E) dansP(F).
Exercice
a) Donnez cette d´efinition plus correctement.
b) Montrer que deux applications lin´eaires injectives induisent le mˆeme morphisme ssi elles sont proportionnelles.
La cat´ egorie
Exercice
a) Montrez que l’identit´e de P(E) est un morphisme.
b) Montrer que le compos´e de deux morphismes est un morphisme.
c) Que reste-t-il `a faire pour montrer qu’on a d´efini une cat´egorie ? d) Montrez que tout morphisme entre deux espaces projectifs de mˆeme dimension finie est un isomorphisme.
Les homographies
Homographies
Les automorphismes de la cat´egorie des espaces projectifs s’appellent les homographies.
Le groupe projectif
SoitE un espace vectoriel de dimension finie Notations
On poseGL(E) le groupe “lin´eaire” des automorphismes deE. On pose PGL(E) le groupe “projectif” des automorphismes de P(E).
On note (encore)π :GL(E)→PGL(E) la projectionπ qui `a un automorphisme g (forc´ement injectif) deE associe ˆg, qui est bien un automorphisme de P(E).
Proposition
PourE de dimension non nulle, la projectionπ fait dePGL(E) “le”
quotient deGL(E) par le sous-groupe distingu´e des homoth´eties.
Exercice Montrez ¸ca.
Rep` eres et homographies
Proposition
SiP et Q sont deux espaces projectifs de mˆeme dimension finie munis chacun d’un rep`ere projectif, il existe une unique
homographie compatible `a ces rep`eres.
Exercice Montrez ¸ca.
Le cas d’un corps fini
Exercice
Calculer le cardinal dePGL(E).
Points fixes
Exercice
SoitP un espace projectif de dimension finie.
a) Est-ce que toute homographie deP admet un point fixe ? b) SoitL une sous-vari´et´e lin´eaire deP. Existe-t-il une homographie deP dont l’ensemble des points fixes estL? c) Soith une homographie de L. Peut-on prolongerh en une homographie deP?
d) SoitL0 une seconde sous-vari´et´e lin´eaire de P, disjointe deLet h0 une homographie de L0. Peut-on prolonger simultan´ementh et h0 en une homographie deP?
e) Mˆeme question avec trois sous-vari´et´es lin´eaires disjointes.
f) Etant donn´ees quatre droites disjointes de P peut-on trouver une homographie envoyant les deux premi`eres sur les deux derni`eres ? g) Mˆemes questions avec six droites.
