Maˆıtrise de Physique Ann´ee 00–01 Th´eorie des groupes

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Maˆıtrise de Physique Ann´ee 00–01

Th´eorie des groupes

Jean-Marc Richard

Institut des Sciences Nucl´ eaires Universit´ e Joseph Fourier

Grenoble

e-mail : Jean-Marc.Richard@isn.in2p3.fr

28 f´ evrier 2001

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Table des mati` eres

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Chapitre 1

Notes de cours

1.1 Avertissement

I

l ne s’agit pasà proprement parler d’un traité de théorie des groupes à l’usage des physiciens. Il existe d’excellents livres, dont ceux cités oralement comme références bibliographiques.

On trouvera ici quelques notes qui permettent de retrouver le fil de l’expos´e et de pr´eciser les notations.

Je remercie à l’avance les étudiants et collègues qui me signaleront les inévitables erreurs de fond ou de forme de ce document.

1.2 Introduction

L

^{es sym´}êtries jouent un grand rôle en physique, et les phénomènes quantiques n’échappent pas à cette règle, qu’il s’agisse des symétries exactes, comme l’invariance par translation, ou approchées, comme l’isospin.

La nécessité apparaˆıt donc de posséder un formalisme permettant de décrire les symétries et leurs conséquences sur les fonctions d’onde, taux de transition, etc.

Au départ, on ne peut d’empêcher de ressentir une certaine frustration, voire un aga- cement, quand on entend substituer à ¡¡ la flèche, en tournant, conserve sa longueur ¿¿

quelque chose comme ¡¡ la norme du bi-point est l’invariant de Casimir du groupe O(3)

¿¿, ou à ¡¡ la masse est caractéristique de chaque particule ¿¿, l’affirmation que ¡¡ les particules élémentaires sont associées aux représentations linéaires irréductibles du groupe de recouvrement universel du groupe de Poincaré ¿¿.

A l’arriv´` ee, on l’esp`ere, le sentiment sinon de maˆıtriser, du moins d’avoir entrevu un outil puissant.

Le cours comprendra des rappels sur les groupes, d’abord finis, en insistant sur le groupe

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des permutations, puis continus, avec comme exemples SU(2) et SU(3). On insistera sur les représentations par opérateurs agissant dans des espaces linéaires.

Les applications sont très vastes. Nous traiterons des symétries en Mécanique Quantique

´

el´ementaire, de la description des syst`emes de particules identiques, du groupe des rotations, de l’isospin, et du groupe de saveur SU(3) de la physique des particules.

Nous regrettons de ne pas aborder les aspects importants de cristallographie, qui de- mandent des développements spécialisés.

1.3 Rappels generaux sur les groupes

P

^{ar d´}êfinition, un groupe G est un ensemble muni d’une loi de composition interne, c’est-à-dire une application de G×G dans G, soit ∀a ∈ G, ∀b ∈ G, {a, b} → ab ∈ G, si on adopte une notation multiplicative, qui a les propriétés suivantes :

1. Elle est associative, soit (ab)c=a(bc), que l’on peut noter abc, 2. Il existe un ´el´ement neutre e, donc ea=ae=a, ∀a∈G,

3. Chaque élément a possède un inversea⁻¹ tel que aa⁻¹ =a⁻¹a=e.

Des raffinements minimalistes (par existence d’un inverse à gauche et d’un inverse à droite, dont on démontre l’égalité) seront proposés en exercice.

Le groupe est ditab´elien si ab=ba ∀a, b.

(Il existe toujours des sous-ensembles ab´eliens, par exemple aet e commutent, ou a et ab si a etb commutent.

Il faut insister sur le caractère ¡¡ propre ¿¿ de l’opération qui fait que x ne perd pas son identification si on le multiplie par a. Quand x balaie G, ax balaie aussi la totalité de G.

Cette propriété très simple s’avérera très utile.

1.3.1 Exemples de groupe

1. Zest un groupe abélien vis-à-vis de l’addition, 0 est l’élément neutre.

2. R− {0} est un groupe pour la multiplication.

3. {1, −1}

4. {1, j, j²} 5. {1, i, −1, −i}

6. Les 5! permutations de 5 objets.

7. Certains sous ensembles de matrice. Par exemple, e=

1 0 0 1

, a=

0 −1

1 0

, b=

−1 0

0 −1

, c =

0 1

−1 0

v´erifient ea =a, etc., ac=e, doncc⁻¹ =a, b² =e, donc b⁻¹ =b, etc.

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8. Les matrices de dimension 2×2 qui conservent la norme d’un vecteur. Voir plus loin le groupe O(2).

9. Le groupe des rotations d’axe Oz et d’angle 0, π/2, π ou 3π/2. Notre l’analogie avec l’exemple 5.

1.3.2 Sous-groupe

Voir chapitre suivant. G⁰ ⊂Gest lui-mˆeme un groupe. Le point essentiel est que si a ∈G⁰ etb ∈G⁰, le produit ab est aussi dansG⁰.

Par exemple, {1, i, −1, −i} possède {1, −1} comme sous-groupe, tandis que {1, j, j²} ne possède pas de sous-groupe propre, c’est-à-dire autre que {1} et lui-même.

Noter la possibilité de sous-groupes abéliens dans des groupes non abéliens. par exemple, les transformations de Lorentz d’axe Oxdans l’ensemble de toutes les transformations de Lorentz.

1.3.3 Ordre d'un groupe

g est le nombre d’éléments. Il peut être fini, par exemple, g = 3 pour {1, j, j²}, infini dénombrable pour

{. . . , 1 π², 1

π, 1, π, π²,· · ·, πⁿ,· · ·},

ou non d´enombrable, par exemple pour les rotations d’axe Oz et d’angle quelconque.

1.3.4 Ordre d'un element

Il arrive pour certains éléments a d’un groupe infini, ou pour tout élément d’un groupe fini, que la suite

a, a², . . . , aⁿ, . . .

retombe sur ses pieds. Si a^r =a^s avec r > s, alors a^r−s =e. L’ordre de a est le plus petit des entiers p tels que a^p =e. Par exemple, pour {1, i, −1, −i}, l’ordre de 1 est 1, celui de−1 est 2, et celui de i ou−i est 4.

1.3.5 Groupe agissant sur un ensemble

Concept important en géométrie (voir, par exemple, le livre de géométrie de Laville) et en physique pour ¡¡ représenter ¿¿ un groupe.

SiG est un groupe de transformations de l’ensemble E, on dit que ¡¡ Gop`ere sur E ¿¿.

Pour tout x∈ E, l’ensemble des images R(x), R ∈G, est dit ¡¡ orbite de x dans E par G

¿¿.

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Par exemple, siC₃ est le groupe des rotations d’axeOz de d’angle 0, 2π/3 et 4π/3, l’orbite d’un point est un triangle ´equilat´eral. Si on avait pris le groupe des rotations d’axe ∆ et d’angle quelconque, l’orbite serait un cercle d’axe ∆.

1.3.6 Homomorphisme, isomorphisme

On a vu l’analogie entre{1, i, −1, −i}et le groupe des rotationsR(Oz, nπ/2),n = 0, 1, 2 et 3 ; entreC₃ et le groupe{1, j, j²}, etc. On va préciser ces similitudes de structures entre groupes définis dans des ensembles différents.

Homomorphisme. Soit G₁ le groupe de d´epart, avec une notation multiplicative implicite, etG2 le groupe d’arriv´ee, avec une notation multiplicative explicite (×).

f(c) f(a) = f(b) c

b a

G₂ G₁

` '

&

$

%

- PP

PP PP

PP PPq-

Fig. 1.1 – Homomorphisme G₁ →G₂

f : a∈G₁ →f(a)∈G₂ est un homomorphisme de G₁ dans G₂ si ∀a, b∈G₁,

f(ab) = f(a)×f(b).

Sif(G₁) = G₂, on a un couverture totale, et on dit que l’homomorphisme est surjectif. On a toujours surjectivit´e si on consid`ere l’application G₁ →f(G₁).

On voit sur le diagramme 1.1 que l’on tolère parfaitement qu’un élément de G₂ ait plusieurs antécédents. En particulier, on appellenoyauH de l’homomorphisme l’ensemble des antécédents de e₂, l’élément neutre deG₂. On vérifie facilement que H est un sous-groupe de G₁. Il sert à identifier l’ensemble des éléments antécédents d’un élément donné de G₂. Supposons en effet que a ∈ G₁ soit antécédent de A ∈ G₂. Alors, si h ∈ H, ah et ha se transforment en A. Réciproquement, si f(a) = f(b),ab⁻¹ etb⁻¹a sont dans H.

(7)

H

e₂

G₂ G₁

XXXX

XXXXz 6

- '

&

$

%

&%

'$

Fig. 1.2 – Noyau de l’homomorphismeG₁ →G₂

Isomorphisme. C’est un homomorphisme bijectif : un seul antécédent par point d’arrivée et couverture totale. Les groupes G1 et G2 ont alors exactement la même structure, les sous-groupes se correspondent, ainsi que que l’ordre de chaque élément, etc.

Automorphisme. C’est un isomorphisme d’un groupe sur lui-même, et pas forcément l’application triviale a → a ∀a. On peut penser par exemples aux matrices et à la relation A→B =P⁻¹AP correspondant à un changement de base.

On pourra démontrer à titre d’exercice que les isomorphismes d’un groupe sur lui-même constitue un groupe dans l’ensemble des applications du groupe sur lui-même.

1.4 Sous-groupes

1.4.1 Definition

U

n sous-groupe,H ⊂Gest un sous-ensemble qui est lui-même un groupe pour la même loi de composition interne. Comme l’associativité est ipso facto garantie, il faut surtout vérifier la fermeture quand on multiplie, et que les inverses restent dans H. On verra en exercice le théorème important :

Pour que H soit un sous-groupe, il faut et il suffit que

∀x, y ∈H, xy⁻¹ ∈H.

Les sous-groupes triviaux sont {e} etG.

Les sous-groupes propres ne sont ni{e} ni G.

1.4.2 Co-ensemble a gauche

On parle aussi de ¡¡ classe ¿¿ ou de ¡¡ complexe ¿¿ `a gauche, selon les auteurs.

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Les éléments ax, où xbalaie H, forment un autre balayage de H si a∈H.

Si H est propre, on peut trouver a 6∈ H, et alors on montre facilement que ax 6∈ H si x ∈ H. L’ensemble, noté a(H) ou plus simplement aH, fait des éléments ax, où x balaie H, est appelé le co-ensemblede H par a.

On réalise tout de suite que H et aH ont même structure. En particulier, si x, y ∈ H et x 6= y, alors ax 6= ay ( et vice versa). En particulier, si l’ordre de H est h, aH contient aussi h éléments distincts.

1.4.3 Partition par co-ensembles

Soit H un sous-groupe de H qui ne co¨ıncide pas avec H. Soit a 6∈ H. Ou bien H et aH

´

epuisent G, ou bien ∃b tel que b 6∈H et b6∈aH.

On démontre alors comme précédemment que bH est formé d’éléments distincts, qui ne sont ni dans H ni dans aH.

On continue ainsi de suite, et on arrive `a la partition (d´ecomposition d’un ensemble avec couverture totale mais sans chevauchement entre les parties)

G=H+aH +bH +· · ·

POur les groupes finis, la somme est nécessairement finie, et comme les co-ensembles ont le même structure et en particulier le même nombre d’éléments, on arrive authéorème de Lagrange

L’ordre d’un sous-groupe est un diviseur de l’ordre du groupe.

Comme l’ensemble {x, x², . . . , xⁿ = e} pour un élément x d’ordre n, constitue un sous- groupe particulier de G, l’ordre d’un élément est, lui-aussi, un diviseur de l’ordre g du groupe.

Exemple . Soit G={1, i, −1, −i} le groupe des racines quatri`emes de l’unit´e. Soit H le sous-groupe propre H ={1, −1}. On voit que G=H+iH ou G=H+ (−i)H.

1.4.4 Conjugaison

Premiere definition. Soient x ety deux éléments de G. L’élément z =xyx⁻¹

est dit conjugu´e de y par x.

Si H est un sous-ensemble, et en particulier un sous-groupe de G, on notera x(H)x⁻¹ ou xHx⁻¹ l’ensemble des xyx⁻¹ quand y parcourt H.

On vérifiera (cf. exercices) que le conjugué xHx⁻¹ d’un sous-groupe H est lui-même un sous-groupe, pas forcément confondu avecH, mais partageant avec lui au moins l’élément neutre.

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Deuxieme definition. Deux éléments y etz deG sont dits conjugués, s’il existe au moins un élément x tel que z apparaisse comme le conjugué de y par x, soit

∃x z =xyx⁻¹.

Cette relation est sym´etrique (z = xyx⁻¹ ⇒ y = (x⁻¹)z(x⁻¹)⁻¹), r´eflexive (y = yyy⁻¹, par exemple), et transitive (z =xyx⁻¹, t=uyu⁻¹ ⇒ t = (ux)y(ux)⁻¹).

C’est donc une relation d’´equivalence qui induit une partition de G, comme par exemple

“avoir une mˆeme couleur” est une relation d’´equivalence qui induit une partition d’un ensemble d’objets unicolores.

Cette partition est dite ¡¡ en classes d’éléments conjugués ¿¿.

Exemples.

- Soit SO(3) le groupe des rotations de R³ du type C(u, ϕ), si l’axe de rotation est d´efini par le vecteur unitaireu et l’ange de la rotation ϕ. La transformation

C(u, ϕ) → C(w, α)C(u, ϕ)C(w,−α)

amène à une rotation de même angle ϕ, mais d’axe correspondant au vecteur unitaire u⁰ =C(w, α)u. Des exemples similaires sont proposés en exercice.

- Soit S_n le groupe des permutations de n objets. Si a=

1 2 . . . n a₁ a₂ . . . a_n

et b=

1 2 . . . n b₁ b₂ . . . b_n

sont deux ´el´ements, on peut calculer successivement b⁻¹ =

b₁ b₂ . . . b_n 1 2 . . . n

ab⁻¹ =

b₁ b₂ . . . b_n a₁ a₂ . . . a_n

bab⁻¹ =

b₁ b₂ . . . b_n b_a₁ b_a₂ . . . b_a_n

1.4.5 Produit de classes

Soient C_ρ et C_σ deux classes, d’ordre respectif r_ρ et r_σ. Si on consid`ere le ¡¡ produit ¿¿

CρCσ, non au sens des ensembles, mais au sens plus simple de l’ensemble des éléments du type a_ρa_σ où a_ρ ∈ C_ρ et a_σ ∈ C_σ, en gardant mémoire de la multiplicité possible des apparitions si a_ρa_σ = b_ρb_σ = · · ·, on voit que C_ρC_σ se décompose sur les classes C_τ qui partitionnent G, avec toutefois :

- si une classe ¡¡ pointe son nez ¿¿ dans le produit, elle y est toute entière (à démontrer

`

a titre d’exercice),

- une mˆeme classe peut apparaˆıtre plusieurs fois, par le jeu des multiplicit´es.

(10)

On notera donc symboliquement

C_ρC_σ =X

τ

γ_ρστC_τ,

o`u l’entierγρστ est positif ou nul et sym´etrique par rapport aux deux premiers indices.

1.4.6 Sous-groupes invariants

SoitH un sous-groupe, etxHx⁻¹ son conjugué parx, qui est, on l’a vu, un sous-groupe.H est ditinvariant(¡¡ normal ¿¿ ou ¡¡ distingué ¿¿ dans certains livres), s’il est confondu avec tous ses conjugués. Cela n’exige pas forcément quexyx⁻¹ =y∀y ∈H, mais seulement que xyx⁻¹ ∈H.

On peut encore ´ecrire que

xH =Hx,

ce qui signifie que le co-ensemble `a droite co¨ıncide globalement avec le co-ensemble `a droite.

1.4.7 Groupe quotient

Soit H un sous-groupe invariant, aH et bH deux co-ensembles, et aH bH l’ensemble des

´

eléments de G qui résultent du produit d’un élément de aH et d’un élément de bH, sans s’attacher à dénombrer la multiplicité des apparitions.

Cette loi de multiplication dans l’ensemble des co-ensembles est une loi interne. En effet aH bH = [aHb]H (associativit´e dans G)

= [abH]H (car Hb =bH)

= (ab)H (car HH =H pour un sous-groupe).

Cette loi est visiblement homomorphe de la loi interne deG. Elle est - associative (du fait de l’associativit´e dans G)

- munie d’un ´el´ement neutre,eH,

- capable d’associer un inverse,a⁻¹H à tout élément aH.

On a donc une structure de groupe, homomorphe de G. Ce groupe est dit groupe quotient G/H.

1.5 Premieres considerations sur les symetries en Mecanique Quantique

1.5.1 Introduction

N

ous proposons dans ce chapitre une pause dans l’exposé mathématique. Pour préparer le terrain aux groupes plus compliqués comme celui des rotations, nous

(11)

passons en revue les conséquences des symétries plus rudimentaires que sont les dilatations ou les réflexions.

Pour la commodité, nous nous concentrons sur les états liés, aux bonnes fonctions d’onde stationnaires et normalisables, mais les considérations de symétrie s’appliquent aussi, mu- tatis mutandis, aux états de diffusion, à l’évolution en temps des paquets d’onde, etc.

1.5.2 Principe general

Si H, l’hamiltonien commute avec un opérateur P, qui peut représenter l’action d’une symétrie, soit [H, P] = 0, ils peuvent être diagonalisés simultanément.

En pratique, deux cas se pr´esentent.

- Si Ψ est un état propre non dégénéré de H, il est aussi état propre de P. Par exemple, en mécanique quantique à une dimension, H = p² +x², l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique, commute avec P la parité. Les fonctions d’onde sont effectivement alternativement paires ou impaires.

- Si le niveau est dégénéré, on peut réorganiser l’espace propre en une base{Ψ₁,Ψ₂, . . . qui diagonalise simultanément H et P. Ces différents états auront souvent des valeurs propres différentes vis-à-vis de P.

Par exemple, si on consid`ere l’hamiltonien de l’atome d’hydrog`ene H = p²

2m − e² r ,

on observe que [H, R] pour toute rotationR. Le niveaun = 2, de multiplicitéd= 4 s’orga- nise en un état 2S scalaire, invariant par rotation, et un triplet d’états 2P, qui réagissent

`

a rotation d’axe Oz avec un facteur exp(imϕ), o`um = +1, 0 ou −1.

1.5.3 Changement d'echelle

Consid´erons de nouveau l’oscillateur harmonique `a une dimension, soit H = p²

2m + K

2x², ou encore Hˆ =−~² 2m

d² dx² +K

2x²

en représentation de configuration. Un examen superficiel indiquerait que le spectre dépend de trois paramètres, ~, m et K. On peut certes remarquer que les deux premiers n’inter- viennent que dans le groupement ~²/m, mais on peut aller plus loin : tous ces hamiltoniens se déduisent les uns des autres par simple dilatation. Donc obtenir le spectre pour

~=m =K = 1 donne la solution pour tous les cas de figure.

La proc´edure est la suivante. La transformationx→ax⁰, membre du groupe des dilatations, donne

Hˆ → − ~² 2ma²

d²

dx⁰² + Ka² 2 x⁰².

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On peut jouer sur le choix de a et s’arranger pour que les deux coefficients soient ´egaux, soit

~²

ma² =Ka² ⇒ a = ~²

Km 1/4

,

qui est la distance caractéristique, le ¡¡ rayon de Bohr ¿¿ du problème. En supprimant les accents, on peut écrire

Hˆ = ~ 2

rK m

− d² dx² +x²

, faisant apparaˆıtre l’échelle d’énergie caractéristique ~ω = ~p

(K/m), et un hamiltonien standardisé (le contenu du crochet), de valeurs propres 2n+ 1 = 1, 3, 5, etc. (voir chapitre ultérieur), avec des fonctions d’onde normalisées et sans dimension ϕ_n(x), par exemple ϕ₀(x) = π^−1/4exp(−x²/2) pour le fondamental. Les éléments propres de l’hamiltonien initial seront donc

E_n= ~ 2

rK

m(2n+ 1), Φ_n(x) = a^−1/2ϕ_nx a

.

D’une fa¸con un peu plus générale, si on remplace le potentiel Kx²/2 parg|x|^q, où le signe deg doit correspondre à une attraction, et oùqne doit pas devenir trop négatif pour éviter un effondrement, on aurait

a= ~²

2mg

1/(q+2)

, Hˆ = ~²

2m

q/(q+2)

g^2/(q+2)

− d²

dx² +|x|^q

.

Par exemple, pour q=−1, on retrouve le facteur caract´eristique de la formule de Bohr.

Ces méthodes s’appliquent aux potentiels autres que des puissances. Supposons par exemple que l’on ait à faire le tableau des énergies propres dans un potentiel de Yukawa V =

−gexp(µr)/r. (Contrairement aux pr´ec´edents, il faut une valeur minimale de g pour ache- ver la liaison, mais nous supposerons que la condition est satisfaite.)

A toute premi`` ere vue, il y a 4 paramètres,~,m,getµ. Un petit progrès consiste à remarquer que ~ ne varie pas beaucoup, et que de toutes fa¸cons, seul ~²/m compte vraiment. À peu de frais, on peut mettre cette quantité en facteur, et on se retrouve avec

~² 2m

−∆− 2mg

~²

exp(−µr) r

,

c’est-`a-dire seulement deux param`etres. Mais on peut encore simplifier la carte des niveaux, en effectuant la dilatation r=r⁰µ⁻¹, qui donne (en supprimant l’accent dans la variable)

Hˆ = ~²µ² 2m

−∆− 2mg

~²µ

exp(−r) r

.

Il n’y a donc qu’un param`etre dans ce probl`eme.

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En mécanique classique, on pourrait de même se convaincre que, par un choix judicieux des unités de temps et de longueur, toutes les diffusions Rutherford correspondent à une particule de massem = 1, lancée avec une vitessev₀ = 1, et un paramètre d’impact b= 1, dans un potentiel ±λ/r d’intensité λ =K/(mv²₀b) en fonction des données initiales (dont K l’intensité du potentiel).

1.5.4 Theoreme du viriel

En mécanique classique, on peut démontrer que si une particule de masses m effectue un mouvement périodique sous l’influence d’une force f, les valeurs moyennes de l’énergie cinétique et de f.r vérifient

T

Z

0

mv²dt =−

T

Z

0

f.rdt.

En particulier, si f ∝ r⁻², on trouve que les énergies cinétiques E_c et potentielles E_p vérifient la relation bien connue

hEci=−1 2hEpi.

En mécanique quantique, soit H =T +V, Ψ un état lié d’énergie E. H est stationnaire au voisinage de Ψ, dans le sens que si φ = Ψ +δΨ est un état voisin, avec la convention quehΨ|δΨi= 0, comme dans la théorie des perturbations, ce qui laisse l’état normalisé au deuxième ordre près, on a

hφ|H|φi=hΨ|H|Ψi+O(δΨ)² =E+O(δΨ)².

En particulier, si on regarde l’action du groupe des dilatations sur Ψ au voisinage de l’identit´e, soit

Ψ(x)→Ψ_λ =λ^1/2Ψ(λx),

(on aurait λ^D/2 en dimension D), la valeur moyenne Eλ =hΨλ|H|Ψλi est stationnaire en λ = 1. Or, par changement de variable dans les intégrales qui traduisent les éléments de matrice, on trouve que

Eλ =hΨλ|T +V|Ψλi=λ²hΨ|T|Ψi+hΨ|V(xλ)|Ψi, ce qui fait que dE_λ/dλ= 0 pour λ= 1 se traduit par

hTi= 1 2hrV⁰i

`

a une dimension, qui se g´en´eralise en

hTi= 1

2hr.∇Vi

(14)

`

a trois dimensions. Pour un potentiel en r^q, on trouve un rapport q/2 entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle moyennes, avec les résultats bien connus pour l’oscillateur harmonique (q= 2) et le cas coulombien (q=−1).

Noter que les lois d’échelle (simplification de la dépendance vis-à-vis des paramètres du problème) et le théorème du viriel ne sont pas seulement valables pour la valeur exacte des

´

energies. Comme l’ont montré Hylleraas et indépendamment Fock, tous deux vers 1930, ces résultats s’appliquent à l’approximation variationnelle, à condition que l’espace des fonctions d’onde d’essai soit globalement invariant par changement d’échelle. Par exemple, si {φ_α = exp(−αr)} est l’ensemble des fonctions d’onde d’essai, le calcul variationnel revient à chercher la meilleure valeur de α, celle qui minimisera hφ_α|T +V|φ_αi/hφ_α|φ_αi.

Une dilatation revient à changer la valeur de α. Donc les lois d’échelle et le théorème du viriel s’appliquent.

1.5.5 Violation de la parite : exemple Soit l’hamiltonien perturb´e

H =H₀+λH₁, avec H₀ =p²+x² et H₁ =x.

En appliquant simplement la th´eorie des perturbations, on part du fondamental de H₀, avec E₀ = 1 etϕ₀ =π^−1/4exp(−x²/2), et on trouve

E =E₀+λE₁+λ²E₂+· · · ϕ =ϕ₀+λϕ₁+λ²ϕ₂+· · ·

avec E₁ = 0 etE₂ =−1/4.

Ce r´esultat est confirm´e par l’observation que

H =p²+ (x+λ/2)²−λ²/4,

si bien que chaque niveau est exactement décalé de−λ²/4 en énergie et les fonctions d’onde translatées deλ/2.

On peut se poser les questions suivantes : pour toute perturbation impaire d’un hamiltonien pair, aurons-nous toujours une correction au premier ordre nulle ? le terme du second ordre est-il toujours négatif ? les termes suivants, quand ils existent, peuvent-ils renverser la tendance, c’est-à-dire, faire repasser l’énergie de h au-dessus du niveau correspondant de H₀?

1.5.6 Violation de la parite : generalisation Soit donc H =H₀+λH₁, o`u H₀ est pair et H₁ impair.

Discutons d’abord le cas du niveau fondamental. Pour H₀, ϕ₀ est paire, donc E₁ = hϕ₀|H₁|ϕ₀i = 0 et E₂ < 0 comme tout terme du second ordre dans le d´eveloppement

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du fondamental. DoncE =E₀+λE₁+λ²E₂+· · · commence par être inférieur àE₀. Mais le résultat E ≤ E₀ est plus général, et ne peut être remis en cause par les termes d’ordre 3 et au-delà. Le principe variationnel peut en effet être invoqué, avec ϕ₀ comme fonction d’onde d’essai, avec le résultat

E ≤ hϕ₀|H₀+λH₁|ϕ₀i=E₀,

`

a cause des sym´etries de ϕ₀.

Envisageons maintenant le cas des niveaux excités, en restant à une dimension pour simplifier. Chaque niveau de H₀ a une fonction d’onde propre de parité définie. Donc toutes les corrections de premier ordre sont systématiquement nulles. Par contre, on ne peut rien dire sur le signe de la correction, qui était négative pour le fondamental. Les esprits curieux pourront démontrer que la correction est négative pour la somme des n premiers niveaux.

Un autre résultat est que H(λ) et H(−λ) ont même spectre, avec des fonctions d’onde déduites niveau par niveau l’une de l’autre par parité, soit x ↔ −x. Ce qui implique que toutes les énergies sont des fonctions paires deλ. Tous les termes impairs du développement perturbatif sont donc nuls.

1.5.7 Violation d'autres symetries

Nous proposerons en exercice et dans les chapitres ultérieurs des cas de violation d’autres symétries, en particulier de violation de la symétrie de perturbation.

Le problème n’est pas rare. Par exemple, on peut considérer en première approximation que la symétrie d’isospin est exacte, puis se souvenir que le neutron est un peu plus lourd que le proton et que ce dernier est chargé.

On trouve parfois des maladresses à ce sujet, même dans la littérature récente. L’art est de décomposer l’hamiltonien en termes de symétrie bien définie, pour que le second ne corrige le premier qu’au deuxième ordre.

Pour le noyau ³₂He, par exemple, on aura, en sch´ematisant un peu un hamiltonien correspondant `a la valeur λ= 1 de

H =H₀+λH₁, H₀ = 1

2m(p²₁+p²₂+p²₃) +X

i<j

V(r_ij), H₁ =α(2p²₃−p²₁−p²₂) + e²

3 2

r₁₂ − 1 r₂₃ − 1

r₃₁

.

On moyenne les masses inverses, soit m⁻¹ = (m⁻¹₁ +m⁻¹₂ +m⁻¹₃ )/3, puis on corrige de fa¸con à ce que chaque particule récupère sa masse exacte, ce qui fixe le paramètre (petit) α. De même, on attribue un potentiel Coulombien moyen e²/(3r_ij) à chaque paire (ajouté dans V au terme nucléaire), et on rectifie le tir. De cette fa¸con, les termes correctifs de H₁ ont une valeur moyenne nulle sur l’état propre de H₀, qui est un état complètement symétrique.

(16)

Cependant, on le verra bientôt, l’algèbre des permutations de 3 particules est un peu plus compliquée que celle de la parité. On ne peut pas affirmer, par exemple, que les énergies deH sont des fonctions paires de λ.

1.6 Groupe des permutations

1.6.1 Introduction

D

ans cette section, nous pr´esentons rapidement le groupe des permutations, important pour mettre en œuvre la statistique des fermions et des bosons. Nous reviendrons plus loin sur les repr´esentations de ces groupes.

1.6.2 Proprietes de base

Le groupe des permutations de n objets est noté S_n. Son ordre est n!. L’élément le plus général peut être décrit par

a=

1 2 . . . n a₁ a₂ . . . a_n

.

Son inverse est simplement

a⁻¹ =

a₁ a₂ . . . a_n 1 2 . . . n

.

Par exemple, dans S₃, si A=

1 2 3 2 31

et B =

1 2 3 2 1 3

on constate que

BA=

1 2 3 1 3 2

6=AB =

1 2 3 3 2 1

. Ces groupes sont non ab´eliens pourn≥3.

En prenant l’exemple de S₃, on peut introduire une notation plus compacte, voir table 1.1.

On voit que le cycle ´el´ementaire (1 2 3), par exemple, signifie que 1→2, 2→3 et 3→1.

La table de multiplication de S₃ est vite dress´ee, avec le r´esultat de la table 1.2.

On vérifie que chaque élément intervient une fois et une seule dans chaque ligne ou chaque colonne du tableau 6×6 des résultats.

(17)

Tab. 1.1 – Représentation des éléments de S₃ par cycles élémentaires.

Nouvelle notation Ancienne notation Ordre de l’´el´ement e

1 2 3 1 2 3

1 (1 2)

1 2 3 2 1 3

2 (1 3)

1 2 3 3 2 1

2 (2 3)

1 2 3 1 3 2

2 (1 2 3)

1 2 3 2 3 1

3 (1 3 2)

1 2 3 3 1 2

3

Tab. 1.2 – Table de multiplication de S₃. e (12) (13) (23) (123) (132)

e e (12) (13) (23) (123) (132)

(12) (12) e (132) (123) (23) (13) (13) (13) (123) e (132) (12) (23) (23) (23) (132) (123) e (13) (12) (123) (123) (13) (23) (12) (132) e (132) (132) (23) (12) (13) e (123)

1.6.3 Decomposition en permutations

Toute permutation peut se décomposer en un produit de transpositions. Il y a plusieurs fa¸cons, mais la parité du nombre de transpositions est toujours la même. On distingue donc les permutations paires et impaires de S_n, les premières formant un sous-groupe, P_n. On a la partition

S_n= P_n+ (1 2) P_n.

D’ailleurs si on ¡¡ repr´esente ¿¿, assez naturellement et en anticipant un chapitre ult´erieur, les transpositions par les matrices





0 1 0 1 0 0 0 0 1



,





0 0 1 0 1 0 1 0 0



,





1 0 0 0 0 1 0 1 0



,

(18)

on a dans les trois cas un d´eterminant −1. Les permutations paires correspondent `a





1 0 0 0 1 0 0 0 1



,





0 0 1 1 0 0 0 1 0



,





0 1 0 0 0 1 0 1 0



.

Elles ont d´eterminant +1 comme il se doit pour un produit d’un nombre pair de matrices de transposition.

On vérifie, à propos de S₃, l’observation utile qu’un petit nombre d’éléments bien choisis permettent de retrouver tous les autres par multiplication. On peut choisir (12) et (123), ou (12) et (13), mais pas la paire formée de (123) et (132).

1.6.4 Un mot des permutations de quatre elements

La complexité, et l’ordre de Snaugmente très vite avecn. Disons un mot de S4. Ses éléments peuvent être classés d’après leur ordre et leur structure en cycles. On adopte ici la notation en cycles élémentaires, en remarquant qu’un même élément peut comprendre plusieurs cycles, comme

(12)(34) =

1 2 3 4

2 1 4 3

. La table est

- Ordre 1 (1 ´el´ement) : e

- Ordre 2 (6 éléments) : (12), (13), (14), (23), (24), (34) - Ordre 2 (3 éléments) :(12)(34), (13)(24), (14)(23)

- Ordre 3 (8 éléments) : (123), (124), (134), ((234), (132), (142), (243) - Ordre 4 (6 éléments) : (1234), (1243), (1342), (1324), (1423), (1432).

1.7 Generalites sur les representations

1.7.1 Introduction

O

n se limitera ici aux représentations linéaires et, en pratique aux espaces vec- toriels des fonctions d’onde. Soit, par exemple, Ψ(x₁, x₂) la fonction d’onde de deux particules. L’action de l’échange 1↔2 est

Ψ(x₁, x₂) ↔ Ψ(x₂, x₁).

Ce qui est à l’œuvre, ce n’est pas l’élément abstrait du groupe S₂, mais son ¡¡ délégué ¿¿

dans l’espace des fonctions d’onde acceptables, ce que nous appellerons sa repr´esentation.

(19)

1.7.2 Definitions

SoitGun groupe,E un espace vectoriel. On suppose qu’il existe une application deGdans l’ensemble des op´erateurs lin´eaires agissant sur E, soit

A∈G → O(A), qui soit un homomorphisme, c’est-`a-dire satisfasse

∀A, B ∈G O(A)O(B) =O(AB).

Le groupe des op´erateurs constitue ce qu’on appelle unerepr´esentation du groupeG.

En pratique, si on a choisi une base {e₁, . . . ,e_n} deE, avec O(A)e_n =X

m

D(A)_mne_m,

selon la convention habituelle que les colonnes décrivent les transformés des vecteurs de base, on obtient un ensemble de matriceD(A) qui représente le groupe Gdans cette base.

Si on choisit une autre base, on obtient une autre repr´esentation matricielle, qui est dite

´

equivalente.

Exemple. Consid´erons le groupe S2 ={2, P12}.

- Dans un espace de dimension 1, on a la repr´esentation ditetriviale,e→1 etP₁₂ →1.

- Une autre repr´esentation de dimension 1, plus fid`ele, consiste dee→1 etP₁₂→ −1.

- Dans un espace de dimension 2, que l’on peut imaginer fait des vecteurs du type m1

m₂

o`um_i est un attribut de la particule i, on construit e →

1 0 0 1

, P₁₂ →

0 1 1 0

,

prototype de ce que nous appellerons une représentationrégulière.

On remarque que par rotation deπ/4, consistant à agir non plus sur lesm_i individuels, mais sur la sommem₁+m₂ et la différencem₂−m₁, à un facteur√

2 près, cette représentation régulière se transforme en

e→

1 0 0 1

, P₁₂ →

1 0 0 −1

.

Elle apparaˆıt comme un empilement des deux repr´esentations de dimension 1. On dit qu’elle est ¡¡ r´eductible ¿¿.

(20)

- Dans un espace de dimension 3, fait de vecteurs



 m₁ m₂ p



,

oùp est un attribut externe indifférencié, on aurait e→





1 0 0 0 1 0 0 0 1



, P₁₂ →





0 1 0 1 0 0 0 0 1



,

qui se ¡¡ réduit ¿¿ manifestement en la représentation triviale et le représentation régulière, elle même réductible en les deux représentations unidimensionnelles.

- Dans l’exemple précédent, la première réduction est apparente, la deuxième requiert une petite rotation. C’est ce dernier cas qui est le plus fréquent. Considérons par exemple la représentation de dimension 4

e→







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1







, P12→







0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0





 .

la réduction en deux représentations régulières (elles-mêmes réductibles) est moins évidente que dans le cas

e→







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1







, P12 →







0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0







qui ne diff`ere pourtant que par l’ordre des vecteurs de base. On peut dire que les vecteurs de l’espace d´ecrivent deux attributs de chaque particule, mais selon les cas





 m₁

p₁ m₂

p₂







ou





 m₁ m₂ p₁ p₂







·

D’un fa¸con générale, on appellera représentation triviale celle qui associe à tout A ∈ G l’opérateur ou la matrice identité.

1.7.3 Representation reguliere

Pour un groupe fini, c’est une transcription matricielle scrupuleuse et peu inventive de la table de multiplication du groupe. Elle constitue néanmoins une représentation réductible de référence, très utile, nous le verrons pour inventorier les représentations irréductibles.

(21)

Soit G={E =A₁, A₂, . . . , A_g}, o`ug est l’ordre du groupe.

A chaque` Ai on fait correspondre un vecteur Vi dans un espace de dimensiong.

La représentationrégulière gauche est telle que

A_iA_j =A_k ⇒ O_R^G(A_i)V_j =V_k ∀i, j.

Par exemple, pour le groupe des racines quatri`emes de l’unit´e,G={1, i, −1, −i}, on aura

O_R^G(1) =







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1







, O_R^G(i) =







0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0





 ,

O_R^G(−1) =







0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0







, O_R^G(−i) =







0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0





 .

On définirait de même une représentation régulière à droite

A_jA⁻¹_i =A_k ⇒ O_R^D(A_i)V_j =V_k ∀i, j.

En effet, si on fait agir successivementO_R^D(A_k) puisO_R^D(A_i) sur un vecteurV_j, on trouvera V_m, avec un indice m tel que A_j(A_iA_k)⁻¹ =A_m, et l’homomorphisme est bien v´erifi´e.

Les représentations régulières gauche et droite sont équivalentes. La matrice de passage Σ, avec Σ⁻¹ = Σ est le simple réarrangement V_i ↔V_j, si les indices sont tels queA⁻¹_i =A_j. 1.7.4 Representations equivalentes

Nous avons déjà donné des exemples. S’il existe une matrice d×d régulière S telle que D⁰(A) =SD(A)S⁻¹ ∀A∈G,

alors les deux repr´esentations D etD⁰, de dimension d, sont ´equivalentes.

L’interprétation est que si le vecteur colonne SX décrit dans la nouvelle base le vecteur x précédemment décrit par le vecteur colonne X, alors

SD(A)X

| {z }

= D⁰(A)SX

| {z } Expression Transform´e du transform´e par Ddu vecteur par D dans la traduit dans

nouvelle base la nouvelle base

Lesinvariantsattachés à une représentation se retrouvent à l’identique dans une représentation

´

equivalente. Il y a led´eterminant, car

D⁰(A) = SD(A)S⁻¹ ⇒ det[D⁰(A)] = det[D(A)].

(22)

Au passage, on voit que l’application

A → det[D(A)]

permet de définir une représentation scalaire (de dimension 1) à partir de toute représentation matricielle.

Le caractère est, traditionnellement en théorie des groupes, ce qu’on appelle la trace en algèbre linéaire. C’est un invariant car

D⁰(A) =SD(A)S⁻¹ ⇒ Tr[D⁰(A)] = Tr[D(A)].

D’ailleurs tous les coefficients du polynôme caractéristique sont les mêmes.

Des représentations de même dimension ne sont pas forcément équivalentes. On a déjà vu les deux représentations scalaires de S₂, différentes.

On peut aussi comparer la description d’une rotation d’angle ϑ par A(ϑ) =

cosϑ −sinϑ sinϑ cosϑ

agissant sur x

y

, et par

B(ϑ) =

cos 2ϑ −sin 2ϑ sin 2ϑ cos 2ϑ

agissant sur

x² −y² 2xy

.

1.7.5 Representations remarquables On peut mentionner les repr´esentations

? par matrices inversibles, ce qui est très fréquent. Alors, on a nécessairement, si E est l’élément neutre de G, D(E) matrice unité et D(A)⁻¹ =D(A⁻¹).

? par matrices unitaires, soit

D(A)⁻¹ =D(A⁻¹) =D(A)^†.

Rappelons que l’adjointeB^†d’une matriceBest la transpos´ee de la conjugu´ee, par exemple, a b

c d †

=

a^∗ c^∗ b^∗ d^∗

.

On verra en exercice que pour un groupe fini, une repr´esentation inversible est ´equivalente

`

a une représentation unitaire. Si l’espace est doté d’un premier produit hermitien hx,yi, on en définit un deuxième, soit

{x,y}= 1 g

X

B

hO(B)x,O(B)yi.

On vérifie alors, grâce au théorème de réarrangement, que tout O(A) conserve ce produit.

En prenant une base orthonorm´ee par cette nouvelle norme, on traduira les O(A) par des matrices unitaires.

(23)

1.7.6 Reduction d'une representation

Ce sera l’objet des sections suivantes. Nous avons déjà mentionné la possibilité de réduire une représentation à l’empilement de plusieurs autres plus simples.

Une représentation est réductible si l’espace vectoriel peut s’écrire comme somme directe E =E₁+E₂+· · ·

et si dans une base de E faite par r´eunion d’une base de E₁, d’une base de E₂, etc., les matrices repr´esentatives sont de la forme







(D₁(A) ) (0) (0) . . . (0) (D₂(A) ) (0) . . . (0) (0) (D₃(A) ) . . .

· · · . ..







La réductibilité est parfois transparente, comme par exemple, pour les rotations décrites comme





cosϑ −sinϑ 0 sinϑ cosϑ 0

0 0 1



, mais elle est parfois dissimul´ee, comme dans





cos²(ϑ/2) sin²(ϑ/2) (sinϑ)/√ 2 sin²(ϑ/2) cos²(ϑ/2) −(sinϑ)/√ 2

−(sinϑ)/√

2 (sinϑ)/√

2 cosϑ



.

Pourtant, il s’agit de la mˆeme rotation. Dans le premier cas, on tourne autour de l’axe Oz, dans le second autour de la premi`ere bissectrice de (Ox, Oy) dans le plan horizontal.

Une représentation irréductible ne peut se mettre sous forme réduite par changement de base. Elle occupe tout l’espace. On peut d’ailleurs rendre cette remarque plus rigoureuse.

Les matrices d’une représentation irréductible de dimensiond engendre un espace vectoriel de dimensiond². Pour une représentation réductible, cette dimension est inférieure.

les probl`emes qui se posent, et qui seront l’objet des sections suivantes sont :

i) reconnaˆıtre le caractère réductible ou irréductible d’une représentation donnée, ii) recenser les représentations irréductibles d’une groupe donné, à une équivalence près,

iii) décomposer le produit de deux représentations irréductibles en une somme de représentations irréductibles.

(24)

1.8 Representations des groupes finis, lemmes de Schur

1.8.1 Notations.

S

ôit ^G est un groupe, avec une loi de groupe notée multiplicativement. E est un espace vectoriel, D(A) une matrice agissant dans E. Les D(A) réalisent une représentation linéaire de G si D(A)D(B) = D(AB). On admettra (voir TD) qu’une représentation par matrices régulières (inversibles) est équivalente à une représentation unitaire, et que pour une telle représentation unitaire, D(A⁻¹) =D(A)^†. 1.8.2 Entrelacement.

Deux représentations, Dagissant dansE de dimensiond, et D⁰ agissant dansE⁰ de dimension d⁰, sont dites entrelacées s’il existe une matrice τ, de dimension d⁰×d, réalisant une application de E dans E⁰, telle que

D⁰(A)τ =τ D(A) ∀A∈G.

1.8.3 Lemme 1.

L’espace image Im(τ)⊂ E⁰ est invariant par tous lesD⁰(A).

1.8.4 Lemme 2.

L’espace noyau Ker(τ)⊂ E est invariant par tous les D(A).

1.8.5 Lemme 3.

Si les repr´esentationsDetD⁰sont irr´eductibles, ou bienτ = 0 ou bien c’est une application bijective.

1.8.6 Lemme 4.

SiDest une représentation irréductible deGdansE et siτ est un endomorphisme réalisant l’autoentrelacement, soit D(A)τ = τ D(A) ∀A ∈ G, ou bien τ = 0 ou bien c’est une homothétie τ =λ1.

1.8.7 Premier theoreme d'orthogonalite.

Soient deux repr´esentations irr´eductiblesD_α etD_β, de dimensionsd_α etd_β, respectivement.

On a

X

A∈G

[D^∗_α(A)]_il[D_β(A)]_jm = g dα

δ_αβδ_ijδ_lm.

(25)

En particulier

X

A∈G

[Dα(A)]ij = 0

si α n’est pas la représentation triviale unité. Dans ce dernier cas, on obtiendraitgδ_ij. Par exemple, si on considère les rotations d’angle ϕ_n = 2πn/N, on a P

D(A) =N pour la représentation unité, tandis que pour la représentation la plus naturelle,

cosϕ_n −sinϕ_n sinϕn cosϕn

le théorème permet de retrouver les identités trigonométriques bien connues

N−1

X

n=0

cosϕ_n =

N−1

X

n=0

sinϕ_n= 0.

1.8.8 Deuxieme theoreme d'orthogonalite.

Soit χ(A) la trace de la matrice D(A). Pour deux repr´esentations irr´eductibles D_α et D_β, de dimensions dα et dβ, respectivement, on a

X

A∈G

χ^∗_α(A)χ_β(A) = gδ_αβ.

1.8.9 Applications.

Si on a une représentationD que l’on soup¸conne d’être réductible, X

A∈G

χ^∗_β(A)χ(A) = gn_β

indique le nombre de foisn_β où la représentation irréductibleβ apparaˆıt dans la réduction.

En particulier, P

χ(A) est g fois le nombre d’apparitions de la repr´esentation identit´e.

1.8.10 Dimensions de representations irreductibles des groupes finis.

La représentation régulière, définie au chapitre précédent, est telle que χ_R(E) = g pour l’identité E etχ_R(A) = 0 si A6=E. Donc elle contient la représentation identité une fois.

On voit aussi que

X

A∈G

χ^∗_α(A)χ_R(A) = χ^∗_α(E)g =d_αg.

Donc la représentation régulière contient nα =dα fois la représentation irréductible α. Si on fait le bilan dimensionnel de la représentation régulière, on trouve g = P

αn_αd_α, qui est une relation générale et donne ici le résultat très important

(26)

g =X

α

d²_α.

Par exemple, pour le groupe S₃ des permutations de trois objets, g = 6. On trouve la représentation identité (d= 1), une autre représentation de dimension 1, celle qui associe 1 aux permutations paires et −1 aux impaires, et une représentation dite de symétrie mixte (voir chapitre suivant) qui est de dimension d= 2. Il n’y en a pas d’autre.

1.9 Oscillateur harmonique

1.9.1 Introduction.

L'

oscillateur harmonique est une mine de symétries : nous avons déjà évoqué le comportement par dilatation et par parité. Une autre symétrie, c’est que p²+x² est invariant par rotation dans le plan (p, x). c’est la raison profonde des régularités du spectre.

Nous aurons par ailleurs besoin au chapitre suivant d’écrire des fonctions d’onde expli- cites pour illustrer le comportement par permutation de quelques systèmes quantiques à petit nombre de corps. L’oscillateur harmonique est souvent utilisé parce qu’il est soluble exactement avec des fonctions relativement simples.

1.9.2 Oscillateur a une particule a une dimension.

Nous avons déjà indiqué que tous les oscillateurs H = p²

2m +Kx²

2 , Hˆ =− ~² 2m

d²

dx² + Kx² 2

peuvent se ramener au cas, ~=m=K = 1, c’est-`a-dire sont proportionnels `a h =− d²

dx² +x².

Le facteur de proportionnalité est (~/2(K/m)^1/2, qui donne l’échelle d’énergie. La transformation de dilation est x → x/α, avec α = (Km)^1/2/~, si bien qu’une fonction d’onde normalisée ϕ_n(x) de h, où x est sans dimension implique une fonction d’onde normalisée Φ_n(x) =α^1/2ϕ_n(αx) pour ˆH dans la variable dimensionnéex.

Nous avons aussi rappel´e que les niveaux de h sont alternativement pairs ou impairs.

Une méthode astucieuse pour résoudre l’oscillateur harmonique consiste à introduire les opérateurs

a− =x+ d/dx, et a₊ =x−d/dx

(27)

qui sont complexes conjugu´es. On v´erifie facilement les relations [a₋, a₊] = 2, h=a₊a₋+ 1 =a₋a₊−1, ainsi que

[h, a+] = 2a+, [h, a−] =−2a−.

On en déduit que siϕ est un état propre normalisé de havec une valeur propre ,a₊ϕ est

´

etat propre avec une valeur propre + 2 et une norme carr´ee hϕ|a−a₊|ϕi=+ 1.

De même, a−ϕ est état propre d’énergie−2 et norme carrée hϕ|a−a+|ϕi=−1.

Mais il serait surprenant qu’un opérateur visiblement positif comme h puisse avoir des valeurs propres négatives, et carrément absurde qu’une norme carrée soit négative. Tout rentre dans l’ordre si l’état le plus bas, ϕ₀, correspond à ₀ = 1, car alors il annulera a−. Les valeurs propres successives sont donc

_n = 1 + 2n,

avec n entier positif ou nul, et si on définit de proche en proche ϕ_n ∝ a₊ϕn−1, on gagne un facteur 2n dans la norme carrée. Donc la relation corrigée

ϕ_n =a₊ϕn−1/√ 2n donnera des états normalisés, et bien-sûr, orthogonaux.

On peut calculer les fonctions d’onde en partant de l’équation de Schrödinger et en met- tant en facteur le comportement asymptotique en exp(−x²/2). On retrouve l’équation différentielle caractéristique des polynômes d’Hermite, d’où

ϕ_n(x)∝H_n(x) exp(−x²/2).

L’équation du premier ordre plus simple a₋ϕ₀(x) = 0 donne directement,après normalisa- tion, ϕ₀(x) = π^−1/4exp(−x²/2). On applique l’opérateur de créationa₊.

1.9.3 Oscillateur a une particule a trois dimensions.

En mécanique classique, il n’est pas recommandé de traiter le mouvement sous l’influence de la force −kr avec les méthodes spécifiques aux forces centrales, en particulier l’usage de coordonnées polaires. Autant ces coordonnées sont appropriées pour décrire une ellipse rapportée à l’un de ses foyers, ce qui apparaˆıt pour le problème coulombien ou keplerien, autant elles sont peu commodes si l’ellipse est centrée à la source des forces. Il est plus facile de traiter le problème en coordonnées cartésiennes.

De même ici, au lieu d’écrire l’équation radiale de Schrödinger, on peut d’abord remarquer que

h=p²+r² =

p²_x+x²

+· · ·+

p²_y+y² .

(28)

`= 2

`= 1

` = 0 n= 4

n= 3

n= 2

n= 1

n= 0

Fig. 1.3 – Spectre de l’oscillateur harmonique spatial `a une particule

Les trois hamiltoniens sont indépendants (ils commutent), donc les énergies d’ajoutent et les fonctions d’onde se multiplient, selon la règle habituelle. Si n_x, etc., désignent les nombres d’excitation, et n =n_x+n_y+n_z le nombre total, on aura

( = 3 + 2n,

Φ(r) = ϕnx(x)ϕny(y)ϕnz(z).

On voit que le niveau n est dégénéré autant de fois qu’il y de fa¸cons de décomposer n en une somme de trois entiers positifs ou nuls.

Cependant, l’usage de coordonnées cartésiennes n’empêche pas h de rester invariant par rotation. Chaque niveau est donc fait d’un certain nombre de multiplets de moment an- gulaire ` et de multiplicité 2`+ 1 (car `_z varie de −` à +` par sauts entiers). Un simple décompte de multiplicité, montre que la structure du spectre est celle décrite à la figure 1.3. Les premières fonctions d’onde sont faciles à écrire. Pour n = 0, on a un produit de gaussiennes, et au total

Φ₀(r) =π^−3/4exp(−r²/2).

Pourn = 1, il y a un facteurx, y ouz suppl´ementaire, ou, dans la base du moment angu- laire, un facteur z si `_z = 0, ∓(x±iy)/√

2 si `_z =±1, ce que l’on notera symboliquement Φ1(r)∝rexp(−r²/2).

Pour n = 2, on a d’une part les fonctions d’onde avec xy et d’autres avec x² −1/2 en facteur de la gaussienne. On peut les redistribuer en une excitation radiale

Φn=2,`=0 ∝(r²−3/2) exp(−r²/2), et un multiplet de cinq états dégénérés avec `= 2.

(29)

1.9.4 Oscillateur a deux particules a trois dimensions.

On suppose ici que l’interaction est purement dans la distance relative. On peut cependant résoudre exactement le cas plus général où les particules sont soumises à la fois à un puits externe ∝r²_i et à une interaction mutuelle∝(r2−r1)². Soit donc

H = p²₁

2m₁ + p²₂

2m₂ +K(r₂−r₁)². Le changement de variables

{r₁, r₂} → {R= m₁r₁+m₂r₂

m₁+m₂ , r =r₂−r₁}

permet de s´eparer le mouvement libre du centre de masse du mouvement relatif. C’est une cons´equence de l’invariance de l’interaction par rapport au groupe des translations.

On retrouverait cette séparation pour tout potentiel ne dépendant que de r₂ −r₁. Si on oublie le mouvement global, qui se traduit par un facteur exp(iK.R) sur la fonction d’onde et par un terme ~²K²/(2m₁ + 2m₂) sur l’énergie, on se retrouve avec l’hamiltonien H_r qui gouverne le mouvement relatif, et qui, dans le cas de particules identiques de masse m₁ =m₂ =m s’écrit

Hr = p²

m +Kr². Les ´energies du mouvement relatif sont donc du type

E_r =~ rK

m(3 + 2`+ 4n_r),

si le nombre d’excitation n =`+ 2n_r est d´ecompos´e en contributions orbitale et radiale.

Les états de ` pair sont symétriques dans l’échange des positions et les états de ` impair sont antisymétriques.

En conséquence, un système de deux bosons de spin nul ne pourra expérimenter que les niveaux ` pair.

Pour deux fermions de spin 1/2, c’est un peu moins simple : sièst pair, il faut une fonction d’onde de spin antisymétrique, c’est à dire un spin totalS = 0 (singlet). Pour ` impair, on aura forcément S = 1 (triplet).

1.9.5 Oscillateur a trois particules.

De nouveau, on ne consid`ere qu’une interaction relative, sans puits externe, soit H =

3

X

i=1

p²_i 2m + 2

3K X

i<j

(rj−ri)²,

(30)

3

2 1

√3λ/2

ρ

-

&%

'$

&%

'$

&%

'$

Fig. 1.4 – Variables d´ecrivant le mouvement relatif de trois particules pour trois particules identiques. Le recours aux variables

R= r₁ +r₂ +r₃

3 , P=p₁+p₂+p₃, ρ=r₂−r₁, p_ρ= p₂−p₁

2 ,

λ= 2r₃−r₁ −r₂

√3 , p_λ = 2p₃−p₁−p₂ 2√

3 permet de se ramener à des problèmes déjà résolus.

L’écriture de λ est telle que les permutations circulaires se traduisent par des coefficients analogues à ceux des matrices de rotation ±2π/3 en base orthonormée. Quand les variables de position, dites encore ¡¡ coordonnées de Jacobi ¿¿ sont choisies, les impulsions sont contraintes par la nécessité d’obtenir des relations de commutation canoniques, style [x, p_x] = i~, et de pouvoir ainsi utiliser les résultats obtenus pour des hamiltoniens à une particule dans un potentiel extérieur.

L’interprétation des variables ρ et λ est assez simple. La première décrit le mouvement relatif des particules 1 et 2, la seconde le mouvement de la particule 3 par rapport au centre de masse de 1 et 2, comme le montre la figure 1.4.

La substitution permet de d´egager le mouvement libre du centre de masse et un hamiltonien pour le mouvement relatif

Hr= p²_ρ

m +Kρ²+p²_λ

m +Kλ².

Non seulement le mouvement d’ensemble se factorise dans la fonction d’onde, ce qu’on obtiendrait avec n’importe quelle interaction invariante par translation, c’est-à-dire ne dépendant que des distances relatives, mais le mouvement relatif se sépare en deux sous- hamiltoniens indépendants. On peut donc résoudre sans difficulté.