Groupe des rotations

1.14.1 Introduction

P

our l’essentiel, le contenu de ce chapitre a d´ej`a ´et´e vu dans le cours de M´ecanique Quantique. En r´evisant les notions essentielles, nous insiterons sur quelques d´etails comme la diff´erence entre SU(2) et O(3).

1.14.2 Ecriture generale d'une rotation

Partons d’une rotation d’axeOz. Le d´ebat est ´eternel, entre le point de vue ¡¡ passif ¿¿, o`u l’on tourne les axes en laissant l’objet immobile, et le point de vue dit ¡¡ actif ¿¿, o`u l’objet tourne dans des axes fixes.

Acceptons donc qu’une rotation d’axe Oz et d’angle ϑ corresponde `a R=





cosϑ sinϑ 0

−sinϑ cosϑ 0

0 0 1



. On peut la lire comme

R= cosϑ1+ (1−cosϑ)





0 0 0 0 0 0 0 0 1



+ sinϑ





0 1 0

−1 0 0

0 0 0



,

impliquant successivement l’identit´e, le projecteur sur ˆz et le produit vectoriel par ˆz.

C’est ce qui permet d’´ecrire une rotation d’angle ϑ autour du vecteur unitaire n, de

Pourϑ→0, on tend vers l’unit´e, et la d´eriv´ee enϑ= 0 est proportionnelle aux composantes n_i, soit On rappelle les lois de commutation

[a_i, a_j] =−_ijka_k, ou encore, si on pose ak=iAk,

[A_k, A_l] =i_klmA_m.

(En M´ecanique Quantique, on pose a_k = iJ_k/~, si bien qu’un facteur ~ apparaˆıt dans les lois de commutation.

1.14.3 Groupe SU(2) et generateurs

A chaque matrice` R[n, ϑ] de SO(3), on peut faire correspondre une matrice 2×2 unitaire de d´eterminant 1, soit

u[n, ϑ] = cos(ϑ/2)1+i(n₁σ₁ +n₂σ₂+n₃σ₃) sin(ϑ/2),

on trouve A_k =σ_k/2 et les mˆemes relations de commutation que ci-dessus.

Il faut remarquer que la translation d’argument ϑ→ ϑ+ 2π redonne la mˆeme matrice de SO(3) R[n, ϑ], tandis que la matrice de SU(2)u[n, ϑ] change de signe.

1.14.4 Representations irreductibles de l'algebre de Lie de SU(2) et SO(3) Les g´en´erateursa_i sont les matrices antisymm´etriques 3×3 pourSO(3), les matrices 2×2 antihermitiennes pour SU(2).

On part des A_k=a_k/i et d´efinit les combinaisons dites parfois ¡¡ normales ¿¿

A₊ =A₁+iA₂, A₋=A₁−iA₂, A₃,

les deux premiers op´erateurs ´etatn qualifi´es d’¡¡ escalier ¿¿. On pose de plus A² =A²₁+A²₂+A²₃.

Les relations suivantes sont facilement v´erifi´ees :

[A₃, A₊] =A₊, [A², A_i] = [A², A±] = 0, [A₃, A−] =−A−, A−A₊ =A²−A²₃−A₃, [A₊, A−] = 2A₃, A₊A− =A²−A²₃+A₃.

Soit X un ´etat propre de A² avec valeur propre µ² ≥ 0 (on supposeµ≥0) et de A₃ avec la valeur propre λ. Les relations ci-dessus donnent

A²A±X =µ²A±X, A3A±X = (λ±1)X,

impliquant que A±X est ou bien nul, ou bien ´etat propre de A² avec valeur propre µ² et deA₃ avecλ±1.

Si, dans le sous-espace propre de A²,λ⁰ est la valeur propre maximale deA₃ etλ⁰⁰ =λ−n (nentier) la minimale, les ´etats correspondants doivent annulerA₊ etA₋, respectivement, ce qui donne

λ⁰ = n

2, µ² =λ⁰(λ⁰+ 1).

On retrouve la r`egle famili`ere que A² =j(j+ 1), o`u j est entier ou demi-entier positif ou nul, et que dans chaque espace propre deA<sup>2</sup>, les valeurs propres de A<sub>3</sub> varient de −j `a +j par sauts entiers, ce qui fait 2j+ 1 valeurs possibles.

La phase relative des ´etats est d´efinie de fa¸con que les op´erateurs A± aient des ´el´ements de matrice r´eels positifs ou nuls. En pratique, les seuls non nuls sont

A±Ψ^m_j =p

(j∓m)(j±m+ 1)Ψ^m±1_j =p

(j(j+ 1)−m(m±1)Ψ^m±1_j . 1.14.5 Reduction d'un produit de representations

La m´ethode ´el´ementaire est bas´ee sur le diagramme (m₁, m₂) de la figure 1.5. Sij=j₁+j₂, alors les valeurs propres dej_z sontm₁+m₂, qu’on lit sur les droites parall`eles `a la deuxi`eme bissectrice.

C’est bien ce que l’on obtient avec un moment angulaire total prenant les valeursj =j₁+j₂ (faisant apparaˆıtre une premi`ere fois toute valeur de m entre j1 +j2 et −j1 −j2, puis j =j<sub>1</sub>+j<sub>2</sub>−1 (faisant apparaˆıtre une deuxi`eme fois toute valeur dem entrej₁+j₂−1 et

−j₁−j₂ + 1, etc., jusqu’`aj =|j₁ −j₂|.

On peut retrouver ce r´esultat de mani`ere plus compliqu´ee en v´erifiant que la trace de toute matrice de rotation est bien la mˆeme d’une part dans la base adapt´ee aux moments cin´etiques individuels et d’autre part dans la base du moment cin´etique total.

Dans une base de type |j, mi d’´etats propres simultan´es de A² et A₃, le caract`ere d’une matrice de rotation d’angle ϑ est

χ[j] = Donc, pour un produit de repr´esentations

χ[j₁⊗j₂] = sin((j₁+ 1/2)ϑ) sin((j₂+ 1/2)ϑ)

sin²(ϑ/2) ·

Mais, en supposant j₁ ≥j₂, on a ce qui ´etablit le r´esultat souhait´e.

Une transformation unitaire relie les ´etats de moments angulaires individuels aux ´etats propres du moment angulaire total. On peut la rendre orthogonale par un choix appropri´e des phases. Une convention, attribu´ee `a Condon et Shortley, enl`eve les derni´eres ambigu¨ıt´es de signe, ce qui permet de d´efinir de fa¸con assez universellement accept´ee les coefficients de Clebsch-Gordan. Avec l’une des notations les plus courantes, on a

|(j₁, j₂)j, mi= X

L’addition des moments cin´etiques se fait un peu sans le savoir en g´eom´etrie ´el´ementaire, en ´electrostique, etc.

Consid´erons par exemple deux vecteursA et B. On peut former le produit scalaire, A.B, ce qui correspond au couplage (j = 1) + (j = 1) → J = 0. Le produit vectoriel A×B,

`

a (j = 1) + (j = 1) → J = 1. Le produit tensoriel sans trace, qu’on fait apparaˆıtre par exemple au-del`a du terme dipolaire pour exprimer le potentiel cr´e´e par une distribution,

(A,B)− 1 3A.B,

soit une matrice 3×3 d’´el´ement de matriceAiAj−(A.B)δij/3. Ces trois combinaisons des vecteurs A et B correspondent `a des comportements diff´erents par rotation et aussi par permutation : la seconde est antisym´etrique, les deux autres sont sym´etriques.

1.14.6 Representations de SU(2) et representations de SO(3)

Si on part d’une repr´esentationj = 0, ou 1/2, ou 1, . . .de su(2), l’alg`ebre de Lie de SU(2), on construit le groupe sp´ecial par exponentiation, soit

R[Oz, ϑ] = exp(iA_zϑ),

pour une rotation d’axe Oz. En particulier, pour un ´etat propre de J_z maximal, R[Oz, ϑ]|j, ji= exp(ijϑ)|j, ji,

et donc

R[Oz,2π]|j, ji= (−1)^2j|j, ji.

Pour toute valeur de j, on obtient une repr´esentation de SU(2), mais seulement j entier correspond `a SU(3).

Si G est groupe de Lie, d’autres groupes poss`edent la mˆeme alg`ebre de Lie. Mais les repr´esentations de l’alg`ebre ne sont pas forc´ement des repr´esentations de G. Le groupe qui accepte toutes les repr´esentations de l’alg`ebre est dit ¡¡ groupe de recouvrement universel

¿¿. C’est le rˆole jou´e par SU(2) vis-`a-vis de O(3).

1.14.7 Operateurs scalaires Soit S un op´erateur tel que

[J_i, S] = 0 ∀i, impliquant

[J², S] = [J±, S] = 0.

On en d´eduit que [J², S] = [J±, S] = 0, ce qui signifie que S ne peut changer aucun des nombres quantiques j et m, mˆeme s’il peut changer d’autres attributs (τ →τ⁰).

De plus, les ´el´ements de matrice au sein d’un mˆeme multiplet de rotation seront ´egaux. En effet, puisqueS commute avec J+,

hτ, j, m|S|τ⁰, j, mi= 1

pj(j+ 1)−m(m−1)hτ, j, m|SJ+|τ⁰, j, m−1i

= 1

pj(j+ 1)−m(m−1)hτ, j, m|J₊S|τ⁰, j, m−1i

=hτ, j, m−1|S|τ⁰, j, m−1i, et ainsi de suite. En d´efinitive,

hτ, j, m|S|τ⁰, j⁰, m⁰i=δ_j,j⁰δ_m,m⁰S_{τ τ}^j 0,

faisant apparaˆıtre une ´el´ement de matrice r´eduit, d´ependant de j, mais ind´ependant dem.

On va g´en´eraliser cette structure.

1.14.8 Operateurs tensoriels irreductibles

Soit R^k la matrice de rotation dans une repr´esentation standard de dimension (2k + 1) avec les vecteurs de base |kqi, avec q =−k, . . . ,+k.

On notera, avec sommation implicite sur les indices r´ep´et´es, et la convention habituelle que les colonnes d´ecrivent les transform´es des vecteurs de base,

R|kqi=R_q^k0q|kq⁰i.

On dira qu’un ensemble de (2k+ 1) op´erateurs T_q^k sont les composantes standard d’un op´erateur tensoriel irr´eductible d’ordreksi leur transform´e par toute rotationR(repr´esent´ee par R) est

RT_q^kR⁻¹ =T_q^k0R^k_q0q.

Pour cela, il faut et il suffit que ce soit vrai pour les rotations infinit´esimales et donc qu’on ait (ici ~= 1 pour simplifier)

[J±, T_q^k] =p

k(k+ 1)−q(q±1)T_q±1^k , [J_z, , T_q^k] =qT_q^k,

Les cas les plus fr´equents sont les op´erateurs scalaires (k= 0) et vectoriels (k = 1).

Theoreme de Wigner-Eckart. Enon¸cons d’abord le r´´ esultat. L’´el´ement de matrice est ´ecrit entre ´etats de comportement par rotation bien identif´e par j et m. Les autres attributs (´energie, couleur, etc.) sont r´eunis dans la notation τ. Son expression est

hτ, j, m|T_q^k|τ⁰, j⁰, m⁰i= 1

√2j+ 1hτ, j||T^k||τ⁰, j⁰i(j⁰, m⁰;k, q|j, m).

Le facteur (2j+ 1)^−1/2 est introduit par commodit´e. Il fait jouer un rˆole plus symm´etrique

`

a j etj⁰.

L’´el´ement de matrice r´eduit donne l’essentiel de l’information sur la famille des op´erateurs T_q^k. Il est ind´ependant de m oum⁰, mais d´epend de j etj⁰.

Les autres termes traduisent le comportement par rotation. En particulier l’´el´ement de matrice est soumis aux mˆemes contraintes que les coefficients de Clebsch-Gordan, en par-ticulier la r`egle triangulaire

|j−j⁰| ≤k ≤j+j⁰.

Il existe plusieurs d´emonstrations possibles du th´eor`eme. Nous donnons ci-dessous la d´emonstration

´

el´ementaire, telle qu’on la trouve par exemple dans le livre de Messiah. Les esprits curieux appr´ecieront d’autant mieux les d´emonstrations plus subtiles qu’ils pourront trouver en parcourant la litt´erature sur le sujet.

Soit

|σ, j⁰⁰, m⁰⁰i=X

m⁰,q

T_q^k|τ⁰, j⁰, m⁰i(j⁰, m⁰;k, q|j⁰⁰, m⁰⁰).

Par orthogonalit´e des coefficients de Clebsch-Gordan, T_q^k|τ⁰, j⁰, m⁰i= X

j⁰⁰,m⁰⁰

|σ, j⁰⁰, m⁰⁰i(j⁰, m⁰;k, q|j⁰⁰, m⁰⁰).

En faisant agir j₊,

j₊T_q^k|τ⁰, j⁰, m⁰i= [j₊, T_q^k]|τ⁰, j⁰, m⁰i+T_q^kj₊|τ⁰, j⁰, m⁰i

=p

k(k+ 1)−q(q+ 1)T_q+1^k |τ⁰, j⁰, m⁰i+p

j⁰(j⁰+ 1)−m⁰(m⁰ + 1)T_q^k|τ⁰, j⁰, m⁰+ 1i.

Donc

j₊|σ, j⁰⁰, m⁰⁰i=X

m⁰,q

T_q^k|τ⁰, j⁰, m⁰inp

k(k+ 1)−q(q+ 1)(j⁰, m⁰;k, q−1|j⁰⁰m⁰⁰) +p

j⁰(j⁰ + 1)−m⁰(m⁰+ 1)(j⁰, m⁰;k, q|j⁰⁰, m⁰⁰) o

=X

m⁰,q

T_q^k|τ⁰, j⁰, m⁰i(j⁰, m⁰;k, q|j⁰⁰, m⁰⁰+ 1)p

j⁰⁰(j⁰⁰+ 1)−m⁰⁰(m⁰⁰+ 1), o`u l’on a fait usage d’une relation de r´ecurrence des coefficients de Clebsch-Gordan.

En r´esum´e,

j₊|σ, j⁰⁰, m⁰⁰i=p

j⁰⁰(j⁰⁰+ 1)−m⁰⁰(m⁰⁰+ 1)|σ, j⁰⁰, m⁰+ 1i.

De mˆeme, on obtient

j−|σ, j⁰⁰, m⁰⁰i=p

j⁰⁰(j⁰⁰+ 1)−m⁰⁰(m⁰⁰−1)|σ, j⁰⁰, m⁰−1i, j_z|σ, j⁰⁰, m⁰⁰i=m⁰⁰|σ, j⁰⁰, m⁰+ 1i.

Autrement dit, ces vecteurs |σ, j⁰⁰, m⁰⁰iou bien sont tous nuls, ou bien ils correspondent `a la mˆeme valeur j⁰⁰ du moment cin´etique.

D’apr`es ce qui a ´et´e dit pour les op´erateurs scalaires (ici l’identit´e est l’op´erateur scalaire), le produit scalaire

hτ, j, m|σ, j⁰⁰, m⁰⁰i est de la forme

δ_j,j⁰⁰δ_m,m⁰⁰F,

o`uF est ind´ependant dem. En posant F =h || || i, on d´emontre le th´eor`eme.

Dans le document Maˆıtrise de Physique Ann´ee 00–01 Th´eorie des groupes (Page 42-49)