Feuille de TD n˚3

Feuille de TD n˚3

MP Lyc´ ee Clemenceau Septembre 2020

Exercice 1 :Soitf : IR→IR croissante.

Montrer que l’ensemble des points de discontinuit´e de f est au plus d´enombrable.

Exercice 2 :On appelle nombre alg´ebrique, tout nombre complexexsolution d’une ´equation de la forme a_nxⁿ+· · ·+a₁x+a₀= 0 aveca₀, a₁, . . . , a_n∈Zet a_n 6= 0

On appelle degr´e d’un nombre alg´ebriquex, le plus petit n∈IN tel quexsoit solution d’une ´equation comme ci-dessus.

a) Quels sont les nombres alg´ebriques de degr´e 1 ?

b) Montrer que l’ensemble des nombres alg´ebriques de degr´e au plusnest d´enombrable.

c) L’ensemble de tous les nombres alg´ebriques est-il d´enombrable ? Exercice 3 :F

Montrer que l’ensemble des parties de IN n’est pas d´enombrable.

Exercice 4 :

Montrer que l’ensemble des parties finies de IN est d´enombrable.

Exercice 5 :

Pour α >0, la famille suivante est-elle sommable ? 1

(p²+q²)^α

(p,q)∈(IN^∗)²

Exercice 6 :Etablir que pourx∈]−1,1[,

+∞

X

n=1

xⁿ 1−xⁿ =

+∞

X

n=1

d(n)xⁿ

en notantd(n) le nombre de diviseurs positifs den.

Exercice 7 :Si σest une bijection de IN^∗ sur IN^∗, montrer la divergence de la s´erie Xσ(n)

n² Exercice 8 :

Soitσune permutation de IN^∗. Quelle est la nature deX σ(n)

n²ln(n)? Exercice 9 :

On pose, pour (p, q)∈IN²,a_p,q= 2p+ 1

p+q+ 2 − p

p+q+ 1− p+ 1 p+q+ 3. Calculer

+∞

X

q=0 +∞

X

p=0

ap,q et

+∞

X

p=0 +∞

X

q=0

ap,q

Conclure.

1

Exercice 10 :

a) Soitα >1. D´eterminer un ´equivalent `aRn=

+∞

X

k=n+1

1 k^α b) Pour quelsα∈R, la somme

+∞

P

n=0 +∞

P

k=n+1 1

k^α a-t-elle un sens ? c) Montrer qu’alors

+∞

X

n=0 +∞

X

k=n+1

1 k^α =

+∞

X

p=1

1 p^α−1

Exercice 11 :Existence et valeur de

X

(p,q)∈IN×IN^?

1

(p+q²)(p+q²+ 1)

Exercice 12 :Convergence et calcul, pourz∈C, de

+∞

X

n=0

z²ⁿ 1−z²ⁿ⁺¹

Exercice 13 :

Soit (u_n)_n∈IN une suite num´erique. Pour toutn∈IN, on posev_n = 1 2ⁿ

n

X

k=0

2^ku_k.

a) ON suppose dans cette question que la s´erieX

u_n converge absolument.

Montrer que la s´erie X

v_n converge te exprimer sa somme en fonction de celle deX u_n. b) On suppose maintenant que la suite (u_n)_n∈IN converge vers 0.

Etudier la convergence de la suite (vn)_n∈IN c) On suppose maintenant que la s´erieX

u_n converge.

Montrer que la s´erie X

v_n converge et exprimer sa somme en fonction de celle deX u_n.

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