Feuille 3 de TD. Produit de convolution

L2 UCBL 2016–2017 Maths 4

Feuille 3 de TD. Produit de convolution

1. (Propriétés générales du produit de convolution).

1. Montrer que le produit de convolution est commutatif.

2. Montrer que si f, gsont bornées etcausales(c’est-à-dire elles s’annulent pourt≤0), alors f∗gest bien défini.

3. Montrer que si f est bornée et s’annule en dehors d’un intervalle borné, et si g est intégrable sur tout intervalle borné, alors f∗gest bien défini.

4. Étudier la parité de f∗gen fonction de celle de f et de celle de g.

5. Donner des hypothèses naturelles sur f et gde sorte que (f∗g)⁰=f⁰∗g.

6. On poseτaf(x) :=f(x−a). Montrer queτa(f∗g)=(τaf)∗g.

2. (Calculs explicites de produits de convolution). On considère les fonctions sui- vantes :

H(x)=

(1, six≥0

0, six<0 (fonction de Heaviside) et

P_2a(x)=

(1, si −a≤x≤a

0, sinon (fonction porte de paramètre a>0).

Calculer les fonctions suivantes (aveca>0,b>0) :

sin∗P_2a, cos∗P_2a, P_2a∗P_2b, (H(x)e^−ax)∗(H(x)e^−bx), (P_2a(x−a))∗(H(x)e^−bx), (P_2a(x−a))∗e^−bx.

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