TD de Cryptologie IUT Licence 3 Feuille d'exercices n◦3

TD de Cryptologie IUT Licence 3 Feuille d'exercices n ^◦ 3

1 Signature RSA

1. Calculer le moduleN et l'entierφ(N)associés aux nombres premiers p= 17etq= 23.

2. Quels sont les exposants secrets de signature associés aux exposants publicse= 11ete= 13? 3. Quelle est la signature de m= 100?

4. Vérier que la vérication fonctionne.

Solution 1

1. Avecp= 17etq= 23, on aN =p×q= 391et φ(N) = (p−1)(q−1) = 352.

2. e= 11 n'est pas un exposant de vérication correct car il n'est pas premier avecφ(N)!En eet on a pgcd(11,352) = 11. e= 13en revanche convient et on peut calculer l'exposant de signature correspon- dant par l'algorithme d'Eudlide étendu :

352 = 13×27 + 1 13 = 1×13 + 0 On a donc :

1×352 + (−27)×13 = 1 Donc moduloφ(N)on a13×(−27) = 1.

D'oùd=−27 = 325 mod 352

3. SIGN(100,325) = 100³²⁵ mod 391. On a325 = 256 + 64 + 4 + 1 donc on calcule : 100³²⁵ = 100×(100×(100×100⁴)¹⁶)⁴ mod 391

= 100×(100×(100×186)¹⁶)⁴ mod 391

= 100×(100×223¹⁶)⁴ mod 391

= 100×(100×52)⁴ mod 391

= 100×(117)⁴ mod 391

= 100×16 mod 391

= 36 mod 391

4. On calcule36¹³ mod 391. On a13 = 8 + 4 + 1donc on calcule : 36¹³ = 36×(36×36²)⁴ mod 391

= 36×(46656)⁴ mod 391

= 36×(127)⁴ mod 391

= 36×220 mod 391

= 100 mod 391

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