TD de Cryptologie IUT Licence 3 Feuille d'exercices n ◦ 1 (corrigé)
1 César, Vigenère et les autres
Exercice 1 Un exemple de transposition simple
Q 1 . Sur la place du village s'éleve un mat de cocagne auquel ne pend qu'une fusée ordinaire et de taille moyenne.
Q 2 . n!permutations
1.1 Substitutions
Exercice 2 Jules César
Q 1 . Je suis à Londres dans un des rues les plus misérables de la ville je marche en me demandant comment si dit urinoir ...
Q 2 . Un enfant a dit je sais des poèmes un enfant a dit ch'sais des poésies.
Exercice 3 Chirement de Vigenère Q 1 .
Q 2 .
Exercice 4 Le masque jetable Q 1 .
Q 2 .
2 Pour se familiariser avec les ordres de grandeur
Exercice 5 Vider l'océan avec un dé à coudre Réponse
Volume d'un dé à coudre : Vde=π×1,542×1,5≈2,6507cm3Volume de l'océan : Vdocean= 360×106×3,8 = 13,68×108km3 = 13,68×1023cm3 Il y a doncr= VoceanV
de ≈0,516×1024dés à coudre dans l'océan. Or log2(r)≈78,77
Exercice 6 La force brute Q 1 . Réponse
Le temps pour tester une clé est
t= 1200
1800×106 = 1
15×10−5s Q 2 . Réponse
Il y a N = 2128 ≈0,34×1039 clés à tester. En supposant que l'on teste les clés les unes après les autres (dans un ordre préétabli), le nombre de clés à tester pour trouver la bonne est une variable aléatoire dont les valeurs sont comprises entre 1 etN et dont la valeur moyenne est N2 ≈0,17×1039.
1
Q 3 . Réponse
T = W
300×1800M ips ≈0,378×1030s soit, à raison de 31536000 seondes par an, environ0,12×1023années de travail.
Exercice 7 La loi de Moore Q 1 . Réponse
a= 2181 ≈1,039 Q 2 . Réponse
W0= 1800×60×60×24×30 = 4,6656×1015 instructions Wn =W0×an
Q 3 . Réponse
Le facteur de travail accompli ennmois est
W =
n−1
X
k=0
Wk=W0×an−1 a−1
Le facteur de travail moyen pour trouver la clé est W ≈ 0,204×1048 instructions On doit donc résoudre l'équationW0×aa−1n−1 = 0,204×1048D'où an= 1 +0,204×1048×(a−1)
W0 , et par conséquentn≈1808 mois
3 Rappels d'arithmétique modulaire
Exercice 8 (Algorithme d'Euclide Etendu) Solution 1 Appliquer l'algorithme vu en cours:
(E0) : 1×a + 0×b = a
(E1) : 0×a + 1×b = b
(Ei+1) = (Ei−1)−qi(Ei) ui×a + vi×b = ri
On ne détaille que le premier couple(a, b) = (17,50):
(E0) : 1×50 + 0×17 = 50
(E1) : 0×50 + 1×17 = 17 q1= 50/17 = 2 r1= 50%17 = 16 (E2) = (E0)−2×(E1) 1×50 + (−2)×17 = 16 q2= 17/16 = 1
r2= 17%16 = 1 (E3) = (E1)−1×(E2) (−1)×50 + 3×17 = 1 q3= 16/1 = 16
r3= 16%1 = 0
Exercice 9 (Calcul modulaire) Solution 2
1. Comme 17 est premier avec 50, 17 est inversible modulo 50 : x≡17−1.10≡3.10≡30 mod 50 Donc S={30 + 50.k, k∈Z}
NB: Calcul de l'inverse par Bezout: cf exercice précédent
2
2. ∃k∈Ztel que 35x= 10 + 50.k⇐⇒7x= 2 + 10k⇐⇒7x≡2 mod 10. Comme 7 est premier avec 10, 7 est inversible modulo 10 :
x≡7−1.2≡3.2≡6[10]
Donc S={6 + 10.k, k∈Z}.
3. pgcd(35,50) = 5 et56 | 11doncS=∅ Exercice 10 Solution 3
521 = 1×317 + 204 q2 = 1 r2 = 204 317 = 1×204 + 113 q3 = 1 r3 = 113 204 = 1×113 + 91 q4 = 1 r4 = 91 113 = 1×91 + 22 q5 = 1 r5 = 22 91 = 4×22 + 3 q6 = 4 r6 = 3
22 = 7×3 + 1 q7 = 7 r7 = 1
3 = 3×1 + 0
On a donc m = 8. On obtient la suite des xk, en utilisant pour les construire les valeurs qk trouvées ci-dessus :
x0 = 0 x1 = 1
x2 = 1×x1+x0= 1 x3 = 1×x2+x1= 2 x4 = 1×x3+x2= 3 x5 = 1×x4+x3= 5 x6 = 4×x5+x4= 23 x7 = 7×x6+x5= 166 L'inverse multiplicatif cherché est donc
(−1)8x7= 166.
Exercice 11 Solution 4 On a :
pgcd(6874009,2673157) =pgcd(2673157,1527695) puisque
6874009 = 2×2673157 + 1527695.
Ce qu'il est important de remarquer ici, c'est que on a réussit ainsi à transformer le problème original en un problème semblable mais plus simple, tout simplement parce que les entiers impliqués sont maintenant plus petits. Pour achever notre calcul, il sut de recycler cette idée jusqu'à ce que le problème ait une solution évidente.
On a la suite des divisions successives:
2673157 = 1×1527695 + 1145462 1527695 = 1×1145462 + 382233 1145462 = 2×382233 + 380996 382233 = 1×380996 + 1237 380996 = 308×1237 + 0 ces divisions correspondent la succession d'égalités
3
pgcd(2673157,1527695) = pgcd(1527695,1145462)
= pgcd(1145462,382233)
= pgcd(382233,380996)
= pgcd(380996,1237)
= pgcd(1237,0)
Comme on a pgcd(a,0) =a,notre calcul est terminé, et on peut conclure que : pgcd(6874009,2673157) = 1237
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