Sorbonne Universit´e 1MA003, 2019-20
Feuille de TD 1 : langage math´ ematique, R
Exercice 1. Comparer les tables de v´erit´e de (a) non(P ou Q) et (nonP) et (nonQ) ; (b) P ⇒Q et (nonQ)⇒(nonP) ;
(c) P ou (QetR) et (P ou Q) et (P ouR).
Exercice 2. Si je mange, alors je bois et je ne parle pas. Si je ne parle pas, alors je m’ennuie. Je ne m’ennuie pas. Que peut-on en d´eduire ?
Exercice 3. Soient x, y deux r´eels. ´Ecrire la n´egation, la contrapos´ee et la r´eciproque de chacune des implications suivantes. Quels sont les ´enonc´es vrais pour tous r´eelsx ety?
(a) (x=y)⇒(x2 =y2).
(b) (x < y)⇒(x2 < y2).
Exercice 4. Les raisonnements suivants sont formellement faux. Pourquoi ? (a) Le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass dit que toute suite born´ee admet une
valeur d’adh´erence. Pour tout entier naturel n, on pose un = nsin(nπ/2).
La suite (un) ainsi d´efinie n’est pas born´ee. Par le th´eor`eme de Bolzano- Weierstrass, la suite (un) n’admet pas de valeur d’adh´erence.
(b) On veut r´esoudre l’´equationx4 =π dansR. En appliquant la fonction sinus `a cette ´equation, on trouve sin(x4) = sin(π) = 0. Or on connaˆıt les valeurs qui annulent la fonction sinus : ce sont les nombres kπ, avec k∈Z. On en d´eduit que x4 =kπ, avec en fait k∈N, puisque x4 ≥0. Finalement, l’ensemble des solutions est {±√4
kπ|k∈N}.
Exercice 5. Soient E un ensemblefini etf :E → E une fonction. Prouver que f est injective si et seulement sif est surjective.
Indication : pour le sens⇒, ´ecrireE ={e1, . . . , en}et compter le nombre d’´el´ements distincts dans l’ensemble {f(e1), . . . , f(en)}.
Exercice 6. D´emontrer qu’il n’existe pas de nombre rationnel x tel quex2 = 2.
Indication : on pourrait ´ecrirex=p/qpour des entiers pet q qui ne sont pas tous les deux pairs.
Exercice 7. D´emontrer par r´ecurrence la formule :
∀n∈N,
n
X
k=0
k2= n(n+ 1)(2n+ 1)
6 .
1
2
Exercice 8. Vrai ou faux ?
(a) ∀x∈R,((∀ >0, x≤)⇒x≤0).
(b) ∀x∈R,((∀ >0, x < )⇒x <0).
(c) ∀A⊂R∗+,infA >0.
(d) ∀A⊂R,((∀ >0,∃a∈A, a≤)⇒infA≤0).
Exercice 9. D´eterminer les bornes sup´erieure et inf´erieure des ensembles de r´eels suivants. Sont-elles atteintes ?
— A={(−1)n|n∈N}.
— B ={(−1)nn|n∈N}.
— C ={cosx|2π/3< x <4π/3}.
— D= n
n+ 1 n∈N
.
— E = 1
p +1 q
p, q∈N∗, p6=q
.
Exercice 10.
(a) A l’aide du th´eor`eme de la borne sup´erieure, d´emontrer que, pour tout r´eelx, il existe un entiern tel quen > x.
(b) Soit x∈R. Prouver l’existence d’un unique entierE(x) tel que E(x)≤x < E(x) + 1.
On appelleE(x) la partie enti`ere de x.
(c) Tracer le graphe de la fonctionE:R→Rainsi d´efinie.
Exercice 11. Soient deux r´eelsaetb tels quea < b.
(a) Montrer que sinest un entier assez grand, il existe un entier ktel que na < k < nb.
(b) En d´eduire que l’intervalle ]a, b[ contient un nombre rationnel. Et mˆeme une infinit´e de nombres rationnels.
(c) Prouver que A ={x ∈Q| x2 ≤2} admet une borne sup´erieure α ∈ R telle que α2 = 2.
(d) Montrer que l’intervalle ]a, b[ contient une infinit´e de nombres irrationnels.
