Correction de l’exercice 13 feuille de TD n˚3

Correction de l’exercice 13 feuille de TD n˚3

octobre 2020

Soit (un)_n∈IN une suite num´erique. Pour toutn∈IN, on posevn = 1 2ⁿ

n

X

k=0

2^kuk. a) On suppose dans cette question que la s´erieX

un converge absolument.

Montrer que la s´erie X

vn converge te exprimer sa somme en fonction de celle deX un. Correction :on a pour tout entiern vn =

n

X

k=0

1

2^n−kuk. On reconnait le terme g´en´eral du produit de Cauchy des s´eriesX

n>0

1 2ⁿ et X

n>0

un. La s´erieX

n>0

1

2ⁿ est une s´erie g´eom´etrique positive convergente, et la s´erie X

n>0

un

est par hypoth`ese absolument convergente. Ce sont donc deux s´eries absolument convergentes, leur produit de Cauchy est alors absolument convergente et de plus :

+∞

X

n=0

vn=

+∞

X

n=0

1 2ⁿ

! _+∞

X

n=0

un

!

= 1

1−¹₂

+∞

X

n=0

un = 2

+∞

X

n=0

un

b) On suppose maintenant que la suite (un)_n∈IN converge vers 0.

Etudier la convergence de la suite (v_n)_n∈IN.

Correction :on va montrer par deux m´ethodes que la suite (vn)_n∈IN converge vers 0.

Premi`ere m´ethode proche du cours : la suite (u_n)_n∈IN converge vers 0 donc on a u_n = o(1) et donc 2ⁿ = o(2ⁿ). La s´erie X

n>0

2ⁿ est clairement divergente donc on a

n

X

k=0

2^ku_k = o

n

X

k=0

2^k

!

. Or on a

n

X

k=0

2^k = 2ⁿ⁺¹ −1 donc

n

X

k=0

2^kuk = o(2ⁿ), d’o`u 1 2ⁿ

n

X

k=0

uk = o(1), c’est `a dire vn = o(1), donc (vn)_n∈IN converge vers 0.

Seconde m´ethode, moyenne de Cesaro comme en MPSI : La suite (un)_n∈IN converge vers 0 donc, pourε >0 il existen0tel que, pourn>n0,|un|> ε.

Soitn>n₀, on a

n

X

k=0

2^kuk

6

n₀

X

k=0

2^k|uk|+

n

X

k=n₀+1

2^k|uk|62ⁿ⁰

n₀

X

k=0

|uk|+ε

n

X

k=n₀+1

2^k 62ⁿ⁰

n₀

X

k=0

|uk|+ε

n

X

k=0

2^k d’o`u

1 2ⁿ

n

X

k=0

2^ku_k

6 1 2ⁿ2ⁿ⁰

n0

X

k=0

|uk|+ε2ⁿ⁺¹−1 2ⁿ 6 1

2ⁿ2ⁿ⁰

n0

X

k=0

|uk|+ 2ε

On a de plus lim

n→+∞

1 2ⁿ2ⁿ⁰

n₀

X

k=0

|u_k|= 0, il existe donc n₁tel que pourn>n₁, 1 2ⁿ2ⁿ⁰

n₀

X

k=0

|u_k|6ε.

On a alors pourn>max{n0, n1},

1 2ⁿ

n

X

k=0

2^kuk

63ε.

Conclusion : la suite (vn)_n∈IN converge vers 0.

c) On suppose maintenant que la s´erieX

u_n converge.

Montrer que la s´erie X

v_n converge et exprimer sa somme en fonction de celle deX u_n.

1

Correction :Soitn∈IN, on a, en permutant les sommes

n

X

k=0

v_k=

n

X

k=0 k

X

i=0

1 2^k−iu_i=

n

X

i=0 n

X

k=i

1 2^k−iu_i =

n

X

i=0

u_i

n

X

k=i

1 2^k−i

!

=

n

X

i=0

u_i2

1− 1 2ⁿ⁻ⁱ⁺¹

On a donc

n

X

k=0

vk = 2

n

X

i=0

ui−

n

X

i=0

1

2ⁿ⁻ⁱui= 2

n

X

i=0

ui−vn. Comme la s´erie X

n>0

u_n converge la suite (u_n)_n∈IN converge vers 0. On peut alors utiliser la question

pr´ec´edente, on en d´eduit que la s´erie X

n>0

vn converge et que

+∞

X

n=0

vn= 2

+∞

X

n=0

un.

2