Espaces de Sobolev

Introduction aux EDP d’´ evolution

Notes bas´ees sur un cours de M2R donn´e par Eric Dumas et Romain Joly `a l’uni- versit´e de Grenoble.

Table des mati` eres

1 Espaces de Sobolev 3

1.1 D´efinitions g´en´erales . . . 3

1.1.1 D´eriv´ees faibles et espaces de Sobolev . . . 3

1.1.2 Fonctions du temps `a valeurs dans un Banach . . . 4

1.2 Cas de l’espace entierR^d . . . 5

1.2.1 Analyse de Fourier . . . 5

1.2.2 Espaces fonctionnels . . . 5

1.2.3 Probl`eme de Cauchy pour les ´equations d’´evolution lin´eaires ` a coefficients constants sur R^d . . . 6

1.3 Espaces de Sobolev sur un ouvert . . . 15

1.3.1 Approximation et prolongement . . . 15

1.3.2 Injections de Sobolev . . . 17

1.3.3 Trace . . . 19

1.4 L’espaceW₀^1,p(Ω) . . . 21

2 Semi-groupes d’op´erateurs lin´eaires 23 2.1 Definition . . . 23

2.2 Le g´en´erateur infinit´esimal : d´efinition et propri´et´es de base . . . 25

2.3 Les th´eor`emes de Hille-Yosida et Lumer-Phillips . . . 27

2.4 Un mot sur les semi-groupes analytiques . . . 29

3 Equations d’´´ evolution semi-lin´eaires 31 3.1 Equations lin´eaires avec second membre . . . 32

3.2 Le probl`eme de Cauchy semi-lin´eaire . . . 33

Chapitre 1

Espaces de Sobolev

1.1 D´ efinitions g´ en´ erales

1.1.1 D´ eriv´ ees faibles et espaces de Sobolev

D´efinition 1.1.1 (d´eriv´ees faibles). Soit Ωun ouvert deR^d, ulocalement int´egrable sur Ω et α ∈ N^d. On appelle d´eriv´ee faible de u d’ordre α, et on note D^αu, toute fonction v localement int´egrable sur Ω telle que

∀φ ∈ Cc^∞(Ω), Z

Ω

u∂^αφ dx= (−1)^|α| Z

Ω

vφ dx.

D´efinition 1.1.2 (espaces de Sobolev). Soit Ω un ouvert de R^d, k ∈ N et p ∈ [1,∞]. On appelle espace de Sobolev (sur Ω, d’ordre k, bas´e sur L^p), et on note W^k,p(Ω), l’ensemble des applications u ∈ L^p(Ω) dont toutes les d´eriv´ees faibles d’ordre inf´erieur ou ´egal `a k sont dans L^p(Ω). Lorsque p = 2, W^k,p(Ω) = W^k,2(Ω) est plutˆot not´e H^k(Ω). On munit W^k,p(Ω) de la norme

kukW^k,p(Ω) =



X

|α|≤k

kD^αuk^p_L^p





1/p

si p <∞ et kukW^k,∞(Ω) = max

|α|≤kkD^αukL^∞ .

Remarques :

1) Si u ∈ C^k(Ω), alors pour tout α ∈N^d tel que α ≤k,u admet sa d´eriv´ee usuelle

∂^αu comme d´eriv´ee faible d’ordre α (et toute autre d´eriv´ee faible d’ordre α de u est ´egale `a ∂^αu presque partout).

2) On peut consid´ereru, localement int´egrable sur Ω, comme une distribution sur Ω.

Elle admet alors des d´eriv´ees (`a tout ordre) au sens des distributions. Elle admet une d´eriv´ee faible d’ordre α si et seulement si sa d´eriv´ee distribution (d’ordre α) est localement int´egrable sur Ω, et ces deux d´eriv´ees sont alors ´egales. En particulier, il y a unicit´e des d´eriv´ees faibles. De mˆeme, u∈L<sup>p</sup>(Ω) appartient `a W^k,p(Ω) si et seulement si toutes ses d´eriv´ees distribution d’ordre inf´erieur ou

´egal `ak appartiennent `aL^p(Ω).

3) uet ses d´eriv´ees sont d´efinies modulo les ensembles de mesure nulle. Par exemple, il faut comprendreuest continuecommela classe d’´equivalence deuadmet un repr´esentant continu.

4) On peut ´evidemment utiliser des normes ´equivalentes commeP

|α|≤kkD^αukL^p. 5) On peut d´efinir W^s,p(Ω) avecs ≥0 par interpolation ; voir le livre de Adams.

6) W^k,p(Ω) est un sous-espace de L^p(Ω), et mˆeme : W^k,p(Ω) ,→ W^l,p(Ω) si k ≥ l, et lorsque Ω est born´e, et W^k,p(Ω),→W^k,q(Ω) si p≥q.

Exemples :

1) si Ω est compact, C^k(Ω),→W^k,p(Ω).

2) la fonction x7−→ |x| est dansW^1,p(]−1,1[) pour p∈[1,∞].

3) si Ω est la boule unit´e deR^d, alorsx7−→1/|x|^α est dansW^k,p(Ω) si et seulement si α < d/p−k. Ainsi W^1,p(Ω) ne s’injecte pas dans W^1,q(Ω) pour tout p < q.

Notons aussi que 1/|x| ∈W^1,1(B³).

Th´eor`eme 1.1.3. Pour tout k∈N etp∈[1,∞], W^k,p(Ω) est un espace de Banach.

H^k(Ω) est un espace de Hilbert.

D´emonstration : Soit (f_n) une suite de Cauchy de W^k,p(Ω). Pour tout multi- indice αavec 0≤ |α| ≤k, (D^αf_n) est de Cauchy dansL^p(Ω) donc converge versf^α dans L^p(Ω). Soit ϕ ∈ C_c^∞(Ω), on a

Z

Ω

D^αf_nϕ= (−1)^|α| Z

Ω

f_nD^αϕ

et par convergence dans L^p, Z

Ω

f^αϕ = (−1)^|α| Z

Ω

f⁰D^αϕ .

Donc f^α =D^αf⁰ et (f_n) converge versf =f⁰ dans W^k,p(Ω).

Corollaire 1.1.4. W^k,p(Ω) est donc un sous-espace ferm´e de (L^p(Ω))^N (o`u N est le nombre de multi-indices de poids plus petit que k). En particulier, W^k,p(Ω) est s´eparable si 1≤p < ∞ et r´eflexif si 1< p <∞.

1.1.2 Fonctions du temps ` a valeurs dans un Banach

Lorsque B est un espace de Banach et p ∈ [1,∞[, pour tout T > 0, on d´efinit L^p(]0, T[, B) comme le compl´et´e de C([0, T], B) pour la norme

Z T 0

ku(t)k^p_Bdt 1/p

.

SiB est un espace de Sobolev sur un ouvert Ω de R^d, tout ´el´ement de L^p(]0, T[, B) peut ´egalement ˆetre vu comme un ´el´ement deD⁰(]0, T[×Ω).

1.2 Cas de l’espace entier R

1.2.1 Analyse de Fourier

Sif ∈ S(R^d) = S, on d´efinit sa transform´ee de Fourier Ff = ˆf par

∀ξ ∈R^d, fˆ(ξ) = Z

R^d

e^−ix·ξf(x)dx.

On obtient ainsi un isomorphisme (lin´eaire, continu) F de S sur S, dont l’inverse est donn´e par

∀x∈R^d, F⁻¹g(x) = 1 (2π)^d

Z

R^d

e^ix·ξg(ξ)dξ.

On a ´egalement l’identit´e de Parseval,

∀f, g ∈ S, Z

R^d

fˆ(ξ)ˆg(ξ)dξ = (2π)^d Z

R^d

f(x)g(x)dx,

si bien que F se prolonge en un isomorphisme de L²(R^d) (et (2π)^−d/2F est une isom´etrie).

De plus, F s’´etend en un isomorphisme de S⁰ (par _S0<T , f >ˆ _S= _S0< T,f >ˆ _S), et on a alors :

∀f ∈ S,∀T ∈ S⁰, f ? T[ = ˆfT ,ˆ f Tc = ˆf ?T ,ˆ

o`u _S0< f ? T, g >_S= _S0< T,f ? g >ˇ _S, f(x) =ˇ f(−x);

alors ∀α∈N^d, ∂^α(f ? T) = (∂^αf)? T =f ? ∂^αT

∀T ∈ S⁰,∀α∈N^d, xd^αT = (−i∂_ξ)^αT ,ˆ ∂d_x^αT = (iξ)^αT .ˆ

1.2.2 Espaces fonctionnels

D´efinition 1.2.1 (espaces de Sobolev). Pour tout s∈R, on pose H^s(R^d) =

u∈ S⁰(R^d)|(1 +|ξ|²)^s/2|u(ξ)ˆ | ∈L²(R^d) , et on le munit de la norme

kukH^s = Z

R^d

(1 +|ξ|²)^s|u(ξ)ˆ |²dξ 1/2

.

Remarques :

1) Dans le cas de s ∈ N, cette d´efinition co¨ıncide avec la d´efinition 1.1.2. On pourrait faire de mˆeme pour W^s,p(R^d), avec

kukW^s,p =kF⁻¹ (1 +|ξ|²)^s/2Fu kL^p. 2) H⁰(R^d) =L²(R^d) et H^s1(R^d),→H^s2(R^d) lorsque s₁ ≥s₂.

3) Pour tous s∈R etu∈H^s(R^d), ˆu est une fonction mesurable (mˆeme si, lorsque s <0, u ne l’est pas forc´ement ; ainsi, la masse de Dirac est dans H^s(R^d) pour tout s <−d/2).

Proposition 1.2.2. Pour tout s∈R, H^s(R^d) est un espace de Hilbert, et F r´ealise une isom´etrie entre H^s(R^d) et L²_s(R^d) :=L²(R^d,(1 +|ξ|²)^sdξ).

D´emonstration : La transformation de Fourier est une bijection de H^s(R^d) sur L²_s(R^d). La d´efinition de la norme de H^s(R^d) en fait une isom´etrie. On en d´eduit que H^s(R^d) est lui aussi pr´ehilbertien et complet.

Je note les produits scalaires (· | ·)_H.

Proposition 1.2.3 (densit´e de S(R^d) dans H^s(R^d)). Pour tout s ∈ R, S(R^d) est dense dans H^s(R^d).

D´emonstration : Si u ∈ H^s(R^d), alors ϕ := (1 +|ξ|²)^s/2uˆ ∈ L²(R^d), donc il existe une suite (ϕ_j)_j dans Cc^∞(R^d) convergeant vers ϕ dans L²(R^d). On a φ_j :=

(1 +|ξ|²)^−s/2ϕ_j ∈ Cc^∞(R^d)⊂ S(R^d), et avecu_j :=F⁻¹φ_j ∈ S(R^d) : (1 +|ξ|²)^s/2ub_j =ϕ_j −→^L2

j→∞u.ˆ

Proposition 1.2.4 (injection de Sobolev). Si s > d/2, H^s(R^d) s’injecte dans L^∞(R^d) (et mˆeme dans C^k(R^d), pour tout k ∈ N tel que s > k+d/2). De plus, H^s(R^d) est alors une alg`ebre de Banach :

∃C > 0,∀u, v ∈H^s(R^d), uv ∈H^s(R^d) et kuvkH^s ≤CkukH^skvkH^s. Preuve en TD, avec trace sur R^d−1.

Remarque : L’application de Fourier partielle (“en espace” seulement), bijection qui `a u ∈ C([0, T], H^s(R^d)) associe ˆu ∈ C([0, T], L²_s(R^d)) (avec ˆu(t) = u(t)), se pro-d longe pour toutp∈[1,∞[ en une bijection deL^p(]0, T[, H^s(R^d)) surL^p(]0, T[, L²_s(R^d)).

1.2.3 Probl` eme de Cauchy pour les ´ equations d’´ evolution lin´ eaires ` a coefficients constants sur R

On d´efinit souvent quelques classes g´en´erales d’EDP : les ´equationselliptiques (telles que l’´equation de Laplace ∆u = 0), paraboliques (comme l’´equation de la chaleur

∂_tu−∆u= 0) et hyperboliques (comme l’´equation des ondes ∂_t²u−∆u= 0). Cette terminologie se justifie par la forme des polynˆomes apparaissant par application de la transformation de Fourier (en (t, x)).

Equation de transport´ Lorsque v ∈R^d, on consid`ere

(∂tu+v·∂xu= 0,

u_|t=0 =u₀. (1.1)

Proposition 1.2.5. Soit s∈R et u₀ ∈H^s(R^d). Alors, il existe une unique solution u∈ C(R, H^s(R^d)) de (1.1). Elle est donn´ee explicitement par

∀(t, x)∈R^1+d, u(t, x) =u0(x−tv).

Preuve par Fourier ou par changement de variables.

Equation de la chaleur´ Cas homog`ene :

Th´eor`eme 1.2.6. Soit s ∈ R et u₀ ∈ H^s(R^d). Alors, il existe dans C(R+, H^s(R^d)) une unique solution (au sens distributions) u de

(∂_tu−∆u= 0,

u_|t=0 =u0. (1.2)

Elle est donn´ee pour t >0 par

u(t) =G(t,·)? u₀,

o`u le noyau (ou solution fondamentale) de l’´equation de la chaleur est G(t, x) = 1

(4πt)^d/2e^−|x|2/4t.

De plus, u∈ C^∞(R^?+×R^d) (et u∈C^k(R+, H^s−2k(R^d)), pour tout k ∈N).

Remarque : On a aussi pour toutµ∈R,u∈ C^∞(R^?+, H^µ(R^d)), et pour toutt >0, u(t,·) est analytique.

D´emonstration :

Unicit´e. Si u₁, u₂ ∈ C(R+, H^s(R^d)) sont solutions de (1.2), par transformation de Fourier partielle, u:=u₂−u₁ v´erifie

∂_tuˆ=−|ξ|²u.ˆ (1.3)

On a alors ˆu∈ C¹(R+, L²_s−2(R^d)). De plus, si χ est de classe C^∞ sur R^d, positive et

`

a support compact, on a χˆu,|ξ|χˆu∈ C¹(R+, L²(R^d)), et d

dt kχˆuk²_L²

= 2Re Z

R^d

χˆu∂_t(χˆu)dξ =−2 Z

R^d|ξ|²|χ(ξ)|²|u(ξ)ˆ |²dξ ≤0,

donc kχˆukL², initialement nulle, est nulle pour tout temps. Ainsi, χˆu est nulle sur R+×R^d, et commeχ est quelconque, ˆu elle-mˆeme est nulle (donc u aussi).

Existence. L’´equation (1.3) sugg`ere (en r´esolvant l’EDO “pour chaque ξ”) qu’une solution de (1.2) est donn´ee par

ˆ

u(t, ξ) =e^−t|ξ|2ub₀(ξ). (1.4) Par convergence domin´ee, (1.4) d´efinit ˆu∈ C(R+, L²_s(R^d))∩C¹(R+, L²_s−2(R^d)), v´erifiant (1.3) et ˆu(0) =ub₀. Cela d´efinit bien une solution u∈ C(R+, H^s(R^d)) de (1.2).

De mˆeme, on obtient que pour tous k, l ∈ N, u∈ C^k(R^?+, H^l(R^d)), par convergence domin´ee (pour |(−|ξ|²)^kξ^αexp(−t|ξ|²)(1 +|ξ|²)^s/2uˆ₀(ξ)|², lorsque |α| =k). Grˆace `a l’injection de Sobolev, on en d´eduit queu∈ C^∞(R^?₊×R^d).

La r´egularit´e u ∈ C^k(R+, H^s−2k(R^d)) s’obtient, pour tout k ∈ N, par l’´equation et par la continuit´e du laplacien ∆ de H^s(R^d) dansH^s−2(R^d).

Enfin, comme ξ 7→exp(−t|ξ|²) est dans la classe de Schwartz, et ub₀ est une distri- bution temp´er´ee, par inversion de Fourier, (1.4) fournit la repr´esentation

∀t >0, u(t) =G(t,·)? u₀, o`u l’expression de G(t,·) =F⁻¹

e^−t|·|2

est donn´ee par le Lemme 1.2.7. Pour tous C > 0 et ξ∈R^d,

F e^−C|·|2

(ξ) =

π C

d/2

e^−|ξ|2/4C.

(cf.s´eparation des variables, puis en dimension 1, fonction holomorphe deξ ∈C, et

calcul explicite pour ξ=iη.)

Remarques :

1) Si on consid`ere l’op´erateur∂_t−D∆ (D >0), on remplaceG(t, x) parG_D(t, x) = (4πDt)^−d/2exp(−|x|²/4Dt).

2) Le fait que u ∈ C^∞(R^?+ ×R^d) traduit un effet r´egularisant, qui explique que l’on ne puisse pas r´esoudre pour t < 0 (irr´eversibilit´e) : cela n´ecessiterait en particulier u₀ ∈ C^∞(R^d). Changeant t en −t, on voit ainsi que l’on ne peut pas r´esoudre le probl`eme de Cauchy (`a temps positif) associ´e `a ∂t+ ∆ pour des donn´ees initiales quelconques dansH^s(R^d).

3) On peut aussi montrer que pour toutu0 ∈ S(R^d), on a une unique solution dans C(R+,S(R^d)) (on r´esout une vraie EDO, `aξ fix´e) , et que pour toutu<sub>0</sub> ∈ S<sup>0</sup>(R<sup>d</sup>), on a une unique solution dansC(R+,S<sup>0</sup>(R<sup>d</sup>)) (existence par r´egularisation deu<sub>0</sub>; unicit´e grˆace `a celle deu ? ϕ, siϕ∈ Cc^∞(R^d) est une approximation de l’identit´e) – dans les deux cas, u∈ C^∞(R^?+×R^d).

Cas inhomog`ene :

Th´eor`eme 1.2.8. Soit s∈R, T > 0 et f ∈L¹(]0, T[, H^s(R^d)).

(i) Si u₀ ∈H^s(R^d), il existe une unique solution u∈ C([0, T], H^s(R^d)) de

(∂_tu−∆u=f,

u_|t=0 =u₀. (1.5)

Elle est donn´ee pour t∈]0, T] par (la formule de Duhamel) u(t) =G(t,·)? u₀+

Z T 0

G(t−t⁰,·)? f(t⁰,·)dt⁰.

(ii) Le probl`eme de Cauchy est bien pos´e dans H^s(R^d) : l’application u₀ 7→ u est continue de H^s(R^d) dans C([0, T], H^s(R^d)). On a mˆeme, si u₀, u⁰₀ ∈ H^s(R^d), et si u, u⁰ sont les solutions associ´ees :

ku−u⁰k_C([0,T],H^s) ≤ ku₀−u⁰₀kH^s.

D´emonstration : Reprendre celle du th´eor`eme 1.2.6.

Proposition 1.2.9 (positivit´e – principe du maximum faible). Si u₀ ∈ H^s(R^d) et f ∈ L¹((0, T), H^s(R^d)) sont positives (au sens de S⁰(R^d), ou presque partout si s ≥ 0), et si u est la solution de (1.5) donn´ee au th´eor`eme 1.2.8, alors pour tout t∈[0, T], u(t) est positive.

D´emonstration : Par positivit´e de G(t,·).

Remarque : La stricte positivit´e de G(t, x) pour tout x ∈ R^d permet aussi de concevoir que l’´equation de la chaleur pr´esente un ph´enom`ene de vitesse infinie de propagation : si u<sub>0</sub> est positive, non nulle, et disons `a support compact, alors pour tout t >0, G(t,·)? u₀ est strictement positive partout.

Proposition 1.2.10 (comportement en temps long dans le cas homog`ene). Pour tout u₀ ∈H^s(R^d), on a

kG(t,·)? u₀kH^s−→

t→∞0.

Pour tout u₀ ∈L¹(R^d),

∀x∈R^d, (G(t,·)? u₀) (x)−(4πt)^−d/2 Z

R^d

u₀(y)dy=o(|t|^−d/2) lorsque |t| → ∞. D´emonstration : Par convergence domin´ee, sur la formulation en Fourier

kG(t,·)? u₀k²_H^s = Z

R^d

e^−t|ξ|2(1 +|ξ|²)^s|ub₀(ξ)|²dξ pour la premi`ere estimation, sur la convolution

(G(t,·)? u0) (x)−(4πt)^−d/2 Z

R^d

u0(y)dy

≤(4πt)^−d/2 Z

R^d

e^{−|x−y|2/4t}−1|u0(y)|dy

pour la deuxi`eme.

Remarque : On a Z

R^d

u₀(y)dy =ub₀(0). Alors (pour u₀ ∈ L²(R^d), disons ; idem si b

u₀ ∈ L^p(R^d) pour un p∈[1,∞]), si ub₀ s’annule sur la boule B(0, ε) pour un ε >0, pour tout η∈[0,1), il existe C_η >0 telle que

∀t >0, kG(t,·)? u₀kL^∞ ≤C_ηku₀kL²t^−d/4e^−ηε2t.

Proposition 1.2.11(dissipation).Sis∈Retu∈ C(R+, H^s(R^d))v´erifie∂tu−∆u= 0 (dansD⁰(R^?+×R^d)), alors t7→ ku(t,·)k²H^s est une fonction d´ecroissante (sur R+).

D´emonstration :Par estimation d’´energie ; comme dans la preuve du th´eor`eme 1.2.6, on calcule d

dt kχ(1 +| · |^s/2)ˆuk²_L²

– ou bien sans χ, car u∈ C¹(R^?+, H^s+2(R^d)).

Remarque : On a mˆeme l’“´egalit´e d’´energie”

ku(t)k²H^s =ku(0)k²H^s − Z _t

0

k∇u(t⁰)k²H^sdt⁰.

Proposition 1.2.12 (estimation L^q −L^p). Soit 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ et u₀ ∈ L^q(R^d).

Alors u:t7→G(t,·)? u0 v´erifie

u∈ C(R+, L^q(R^d))∩ C^∞(R^?+, L^p(R^d)), et ku(t)kL^p ≤(4πt)^−d2(¹_q−¹_p)ku₀kL^q, ∀t >0.

D´emonstration : La r´egularit´e est obtenue par convergence domin´ee. Pour l’esti- mation, on utilise l’in´egalit´e de Young,

kf ? gkL^p ≤ kfkL^qkgkL^r si 1 p = 1

q +1 r −1, et le fait que

kG(t,·)k^rL^r = (4πt)^−dr/2 Z

R^d

e^−r|x|2/4tdx= (4πt)^d2(1−r)r^−d/2 ≤(4πt)^d2(1−r).

Equation des ondes ou de Klein-Gordon´

Th´eor`eme 1.2.13. Soit m≥0, s ∈R, T > 0 et f ∈L¹(]0,1[, H^s(R^d)).

(i) Si(u₀, u₁)∈H^s+1(R^d)×H^s(R^d), il existe dansC([0, T], H^s+1(R^d))∩C¹([0, T], H^s(R^d)) une unique solution (au sens distributions) u de







∂_t²u−∆u+mu=f, u_|t=0 =u₀,

∂_tu_|t=0 =u₁.

(1.6)

Elle est donn´ee par ˆ

u(t, ξ) = cos(tp

|ξ|²+m)ub0(ξ)+sin(tp

|ξ|²+m)

p|ξ|²+m ub1(ξ)+

Z t 0

sin((t−t⁰)p

|ξ|²+m) p|ξ|²+m

f(tˆ ⁰, ξ)dt⁰. (ii) Le probl`eme de Cauchy bien pos´e : l’application (u₀, u₁) 7→ u est continue de

H^s+1(R^d) × H^s(R^d) dans C([0, T], H^s+1(R^d)). On a mˆeme, si (u₀, u₁),(u⁰₀, u⁰₁) ∈ H^s+1(R^d)×H^s(R^d), et si u, u⁰ sont les solutions associ´ees :

ku−u⁰k_C([0,T],H^s+1)∩C¹([0,T],H^s)≤ ku₀−u⁰₀kH^s+1+ max

1, 1

√m

ku₁−u⁰₁kH^s si m >0;

ku−u⁰k_C([0,T],H^s+1)∩C¹([0,T],H^s)≤ ku₀−u⁰₀kH^s+1+ (1 +T)ku₁−u⁰₁kH^s si m = 0.

D´emonstration : Pour varier, preuve de l’alinea (i) par r´egularisation (pour l’exis- tence ; l’unicit´e est obtenue, comme au th´eor`eme 1.2.6, par estimation d’´energie pour la diff´erence de deux solutions).

Si u0, u1 ∈ S(R^d) et f ∈ C([0, T],S(R^d)), on r´esout pour chaque ξ ∈ R^d l’EDO obtenue par transformation de Fourier partielle. On obtient un unique ˆu(·, ξ), donn´e par la formule ´enonc´ee dans le th´eor`eme. On v´erifie alors que cette formule d´efinit u ∈ C<sup>1</sup>([0, T],S(R<sup>d</sup>)) (qui est alors bien solution du probl`eme de Cauchy (1.6)) : pour tous α, β ∈ N^d, ˆu est continu en temps, `a valeurs C^|β|, et ξ^α∂_ξ^βuˆ est born´e ; idem pour∂_tu.ˆ

Reste `a voir que l’application (u0, u1, f) 7→ u (qui est lin´eaire et `a valeurs dans C([0, T], H^s+1(R^d))) se prolonge `aH<sup>s</sup>(R<sup>d</sup>)×H<sup>s</sup>(R<sup>d</sup>)×L<sup>1</sup>([0, T], H<sup>s</sup>(R<sup>d</sup>)), `a partir de la partie dense S(R^d)× S(R^d)× C([0, T],S(R^d))). L’image de (u₀, u₁, f) par cette application est alors limite d’une suite de solutions du probl`eme de Cauchy, limite au sens de C([0, T], H^s+1(R^d))∩ C¹([0, T], H^s(R^d)) : cela assure la v´erification des conditions initiales, et la limite au sens des distributions est encore solution de l’´equation.

On obtient l’estimation d’´energie (qui fournit aussi l’alinea (ii)) `a partir de la formule donnant ˆu : lorsque m > 0, on a _|^|_ξ^ξ_|^|2²+m⁺¹ ∈]1,1/m] si m < 1, et _|^|_ξ^ξ_|^|2²+m⁺¹ ∈]1,1/m] si m > 1 ; lorsque m = 0, on utilise

q|ξ|²+1

|ξ|² |sin(t|ξ|)| ≤ 1 + _|¹_ξ|

|sin(t|ξ|)| ≤ 1 +t; cela donne

ku(t)ˆ kH^s+1 ≤ kub₀kH^s+1+C(m, T)

kuˆ₁kH^s+kfˆkL¹((0,T),H^s)

,

avecC(m, T) = max(1,1/√

m) sim >0,C(m, T) = 1 +T sim= 0. Idem pour∂_tu.

Remarque : L’´equation homog`ene (f = 0) est invariante par renversement du temps t 7→ −t. Cela implique que la r´esolution est r´eversible en temps, et qu’on a, pour tout (u₀, u₁)∈H^s+1(R^d)×H^s(R^d), une solution u∈ C(R, H^s+1(R^d)).

Proposition 1.2.14 (propagation `a vitesse finie). Soit x ∈ R^d, α ≥ 1, R, T > 0 (avec R−αT ≥0) et C¯ le cˆone

C¯ ={(t, x)∈R^1+d|0≤t≤T, |x−x| ≤R−αT}. Si u∈C²( ¯C) v´erifie (∂_t²−∆ +m)u= 0 sur C, alors¯

E(t) :=

Z

Bt

(|∂_tu|²+|∇u|²+m|u|²)dx≤E(0), pour tout t∈[0, T], o`u Bt:={x∈R^d| |x−x| ≤R−αt}.

D´emonstration : Sans perte de g´en´eralit´e, il suffit de montrer l’in´egalit´e pour t=T. Or, on a

0 = 2Re Z

C¯

∂_tu(∂¯ _t²u−∆u+mu)dtdx

= Z

C¯

∂_t(|∂_tu|²+m|u|²)−2Re (div(∂_tu¯∇u)−∂_t∇u¯· ∇u) dtdx

= Z

C¯

∂t(|∂tu|²+|∇u|²+m|u|²) + divx(−2Re(∂tu¯∇u)) dtdx

= Z

∂C¯

|∂_tu|²+|∇u|²+m|u|²,−2Re(∂_tu¯∇u)

· −→n dS,

o`u la normale sortante est −→n = (−1,0) sur le bord inf´erieur (t= 0), −→n = (1,0) sur le bord sup´erieur (t=T), et −→n = ^√_1+α¹ ₂

α,_|^x_x⁻₋^x_x|

sur le bord lat´eral. On a ainsi

0 =E(T)−E(0)+ 1

√1 +α² Z T

0

Z

∂Bt

α |∂tu|²+|∇u|²+m|u|²

−2Re

∂tu¯ x−x

|x−x| · ∇u

dσdt.

Enfin, le dernier terme `a int´egrer est major´e par|∂_tu|²+|∇u|², donc pour α≥1, la

quantit´e sous l’int´egrale est positive.

Remarque : On a le mˆeme r´esultat pour _c¹2∂_t²−∆ +m, sous la condition α ≥c.

Cela exprime que la solution u ne se propage pas plus vite que la vitesse c : ses valeurs dans {T} ×B_T ne d´ependent que de celles dans ¯C.

De fa¸con ´equivalente, si u₀ et u₁ sont `a support compact, disons dans la boule B(x, R), alors pour toutt≥0,u(t) est `a support compact, dans la bouleB(x, R+ct).

Remarque : On peut aussi d´ecrire le comportement en temps long, mais c’est un peu plus ´elabor´e que pour l’´equation de la chaleur : on utilise la m´ethode de la phase stationnaire (cf.“stationary phase” dans le livre d’Evans).

Equation de Schr¨´ odinger

Th´eor`eme 1.2.15. Soit s∈R, T > 0 et f ∈L¹(]0, T[, H^s(R^d)).

(i) Si u₀ ∈ H^s(R^d), il existe dans C([0, T], H^s(R^d)) une unique solution (au sens distributions) u de

(i∂_tu−∆u=f,

u_|t=0 =u₀. (1.7)

Elle est donn´ee pour t >0 par

u(t) =K(t,·)? u₀−i Z _t

0

K(t−t⁰,·)? f(t⁰,·)dt⁰, o`u

K(t, x) = (4π|t|)^−d/2e^{−idπ4sign(t)}e^i|x|2/4t.

(ii) Le probl`eme de Cauchy bien pos´e dansH^s(R^d): l’applicationu₀ 7→uest continue de H^s(R^d) dans C([0, T], H^s(R^d)). On a mˆeme, si u0, u⁰₀ ∈ H^s(R^d), et si u, u⁰ sont les solutions associ´ees :

ku−u⁰k_C([0,T],H^s) ≤ ku0−u⁰₀kH^s.

D´emonstration : On proc`ede comme pour les th´eor`emes 1.2.6, 1.2.8 et 1.2.13. On a simplement besoin du calcul de transform´ee de Fourier suivant (dans S⁰(R^d)) : Lemme 1.2.16. Pour tous C ∈R et ξ ∈R^d,

F e^iC|·|2

(ξ) =

iπ C

d/2

e^−i|ξ|2/4C = π

|C| d/2

eidsign(C)π/4e^−i|ξ|2/4C.

D´emonstration : Le cas de C = iα est d´ej`a connu, pour α > 0 (gaussienne du lemme 1.2.7). La formule se prolonge analytiquement `a Re(α) > 0, et donne le r´esultat lorsque C est remplac´e par C+iε, avec ε > 0. Enfin, on passe `a la limite

ε→0 dans S⁰(R^d).

Remarques :

1) L’´equation homog`ene n’est pas r´eversible en temps (pas invariante par t7→ −t), mais admet toutefois une unique solution dansC(R, H^s(R^d))∩C¹(R, H^s−2(R^d)), donn´ee par la convolution avec K.

2) Comme pour l’´equation de la chaleur, on a un noyau qui n’est pas `a support compact, d’o`u une “vitesse infinie de propagation”.

Lemme 1.2.17 (conservation de l’´energie). Si s ∈ R et u ∈ C(R, H^s(R^d)) v´erifie i∂_tu−∆u= 0 (dans D⁰(R^?+×R^d)), alors

∀t∈R, ku(t,·)kH^s =ku(0,·)kH^s.

D´emonstration : Par estimation d’´energie imm´ediate sur un r´egularis´e (u(0) ∈ S(R^d)), puis passage `a la limite par densit´e.

Lemme 1.2.18 (estimation L¹ −L^∞). Soit u₀ ∈ L¹(R^d). Alors, pour tout t 6= 0, K(t,·)? u₀ ∈L^∞(R^d), et

kK(t,·)? u₀kL^∞ ≤(4π|t|)^−d/2ku₀kL¹.

D´emonstration : Majoration brutale.

Ces deux r´esultats (conservation de la norme L² et norme L^∞ qui tend vers z´ero) traduisent un effet dedispersion, d’´etalement du support de la solution. Par interpo- lation (th´eor`eme de Riesz-Thorin – voir par exemple le livre de Bergh et L¨ofstr¨om), on en d´eduit un gain d’int´egrabilit´e en espace, avec un poids en temps (“decay es- timate”) – cet effet est moins fort que dans le cas de l’´equation de la chaleur (les estimations L^q−L^p donnent le mˆeme poids en temps si q = p⁰, mais sont valides pour tout p≥q) :

Th´eor`eme 1.2.19 (estimation L^p0 −L^p). Pour tous p∈[2,∞] et u₀ ∈L^p0(R^d),

∀t6= 0, kK(t,·)? u₀kL^p ≤(4π|t|)^−d(¹₂−¹_p)ku₀kL^p0. Enfin, on a :

Proposition 1.2.20 (comportement en temps long). Pour tout u₀ ∈L²(R^d),

K(t,·)? u₀− e^i|·|2/4t (4iπt)^d/2ub₀

· 2t

L²

|−→t|→∞0.

D´emonstration :

Pour tout u₀ ∈ S(R^d), en d´eveloppant |x−y|² dans la convolution, on obtient

(K(t,·)?u₀)(x) = e^i|x|2/4t (4iπt)^d/2

Z

R^d

e^−i2tx·ye^i|y|2/4tu₀(y)dy= e^i|x|2/4t (4iπt)^d/2F

u₀e^i|·|2/4t x 2t

,

formule qui se prolonge `a u₀ ∈L²(R^d). Ainsi,

K(t,·)? u0− e^i|·|2/4t (4iπt)^d/2ub0

· 2t

L²

=

e^i|·|2/4t (4iπt)^d/2F

1−e^i|·|2/4t

u0 · 2t

L²

=CF

1−e^i|·|2/4t

u₀

L²

=C⁰

1−e^i|·|2/4t

u₀

L²

,

qui tend vers z´ero (lorsque t tend vers l’infini) par convergence domin´ee.

1.3 Espaces de Sobolev sur un ouvert

On consid`ere dans cette partie que Ω est un ouvert de R<sup>d</sup> `a bord de classe C^∞ (on pourrait aussi prendre une vari´et´e riemannienne compacte, un cylindre ou une perturbation compacte d’un ouvert de R^d).

Pour k ∈ N et p ∈ [1,∞], l’espace (de Banach) W^k,p(Ω) est alors donn´e par la d´efinition 1.1.2.

1.3.1 Approximation et prolongement

On notera ici ρ une fonction positive deCc^∞(R^d) `a support dans la boule unit´e telle que R

ρ= 1. On pose ρ_ε=ε^−dρ(·/ε).

Proposition 1.3.1. Soit Ω⊂ R^d et soit ω un ouvert tel que ω est un compact de Ω. Soit f ∈ W^k,p(Ω) avec 1 ≤ p < ∞. Alors, ρ_ε∗f ∈ W^k,p(ω)∩ C^∞(ω) converge vers f_|ω dans W^k,p(ω) quand ε →0.

D´emonstration : Pourε assez petit, le support deρ_ε(· −y) est dans Ω pour tout y∈ω. On a alors queD^α(ρ_ε∗f) =ρ_ε∗D^αf surω. La proposition d´ecoule donc de

l’approximation classique de l’identit´e dans L^p.

Th´eor`eme 1.3.2. Soit Ω ⊂R<sup>d</sup> `a bord C^∞. Les restrictions des fonctions C₍^∞R^d) `a Ω sont denses dans W^k,p(Ω) pour k ∈N et 1≤p <∞.