ESPACE DUAL

ESPACE DUAL

1) Notion d'espace dual

définition (espace dual)

Soit E un K espace vectoriel. On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K, considéré comme espace vectoriel dur lui-même. L'espace vectoriel L(E,K) est appelé espace dual de E, notéE^*.

théorème et définition (orthogonal d'un élément, d'une partie)

Soit E un K espace vectoriel. Soit x∈E. L'ensemble^{x⊥ =}

{

^{x*∈E*/x*(x)=0}

}

est un sous espace vectoriel de E^*, appelé sous espace orthogonal de x. Plus généralement, pour toute partie A non vide de E^*, l'ensemble ^{A⊥ =}

{

^{x*∈E*/∀a∈A,x*(a)=0}

}

est un sous espace vectoriel de E^*, appelé sous espace orthogonal de A.

démonstration

Soit A une partie non vide de E. L'orthogonal de A (qui est un sous ensemble de E^*) est non vide car la forme linéaire identiquement nulle appartient à cet ensemble.

Soient x^*,y^*∈E^*,α,β∈K. Soit a∈A

) ( )

( )

)(

(αx^*+βy^* a =αx^* a +βy^* a (définition des opérations sur les applications) =0 (car x^*(a)=0 et y^*(a)=0)

Donc αx^*+βy^*∈A^⊥

proposition

Soit u∈L(E,F). Alors Ker(^tu)=(Im(u))^⊥ démonstration

• Soit )y^*∈Ker(^tu . Alors ^tu(y^*)=0 0

) (

, ^* =

∈

∀x E y Du x

Donc 0∀y∈Im(u), y^*(y)= donc y^*∈(Im(u))^⊥ et donc Ker(^tu)⊂(Im(u))^⊥

• Soit y^*∈(Im(u))^⊥ Soit x∈E.

) ( )

)(

(y^* x y^* u x

tu = D

=0 (car u(x)∈Im(u) et y^*∈(Im(u))^⊥) Donc )y^*∈Ker(^tu donc (Im(u))^⊥ ⊂Ker(^tu)

2) Transposée d'une application linéaire

théorème et définition (application transposée)

Soient E et f deux K espaces vectoriels. Soit u une application linéaire de E dans F. On définit : u

y y

E F

tu

D 6 ^*

*

*

: * →

tu

est linéaire et est appelée application transposée de u.

démonstration

Soit y^*∈F^*. )y^*∈L(F,K . Comme u∈L(E,F), )y^*Du∈L(E,K , c'est-à-dire ^tu(y^*)∈E^*. Soient y₁^*,y₂^*∈F^*,α,β∈K.

u y y y

y

tu(α ₁^*+β ₂^*)=(α ₁^*+β ₂^*)D

=(αy₁^*)Du+(βy₂^*)Du (propriétés des applications) =α(y₁^*Du)+β(y₂^*Du) (idem)

=α ^tu(y₁^*)+β^tu(y₂^*) Donc )^tu∈L(F^*,E^* .

théorème et définition (transposition)

L'application u6^tu est une application linéaire de L(E,F) dans L(F^*,E^*). On l'appelle transposition.

démonstration

Soient )u,v∈L(E,F . Soit y^*∈F^*. Soit α∈K )

( )

)(

(u v y^* y^* u v

t + = D +

= y^*Du+y^*Dv (définition des opérations dur les applications) =^tu(y^*)+^tv(y^*)

=(^tu+^tv)(y^*) (définition des opérations dur les applications) )

( )

)(

( u y^* y^* u

t α = D α

=αy^*Du (définition des opérations dur les applications) =α ^tu(y^*)

=(α^tu)(y^*) (définition des opérations dur les applications)

propriétés

E, F et G désignent des k espaces vectoriels.

(i) Pour tous u∈L(E,F),v∈L(F,G), ^t(vDu)=^tuD^tv (ii) ^t(id_E)=id_E* (dans le cas où E=F)

(iii) Si u∈L(E,F) est bijective, alors ^tu est bijective et ^t(u⁻¹)=(^tu)⁻¹ démonstration

(i) Soit z^*∈G^*. ) ( )

)(

(v u z^* z^* v u

t D = D D

=(z^*Dv)Du (propriété de la loi de composition des applications) =^tv(z^*)Du (définition de la transposée de v)

=^tu(^tv(z^*)) (définition de la transposée de u car ^tv(z^*)∈F^*) =(^tuD^tv)(z^*) (propriété de la loi de composition des applications) (ii) Soit x^*∈E^*.

E E

t(id )(x^*)=x^*Did =x^* =id_E*(x^*)

(iii) On suppose u bijective.

idE

u

uD ⁻¹ = donc ^t(uDu⁻¹)=^tid_E. Or, ^t(uDu⁻¹)=^t(u⁻¹)D^tu et ^t(id_E)=id_E* donc ^t(u⁻¹)D^tu=id_E*. On montre de même que ^tuD^t(u⁻¹)=id_E*. Par conséquent, ^tu est bijective et ^t(u⁻¹)=(^tu)⁻¹.

3) Matrice d'une application transposée (en dimension finie)

Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n, )e=(e₁,...,e_n une base de E. Pour k∈N_n, on définit e_k^* comme étant l'application linéaire de E dans K vérifiant : ∀j∈N_n,e_k^*(e_j)=δ_ij (on rappelle que

⎩⎨

⎧

≠

= =

δ sii j j i si

j

i 0

1 )

Rappelons également qu'une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs de base.

) ,...,

(e₁^* e^*_n est une famille libre de E^* :

Soit (α₁,...,α_n)∈Kⁿ, tel que α₁e₁^*+...+α_ne_n^* =0. Soit j∈N_n. On a ^*( ) 0

1

=

∑

α

= k j

n

k

ke e donc 0

1

= δ

∑

α

= n

k

j k

k donc α_j =0. Par conséquent, tous les α_j sont nuls donc (e₁^*,...,e_n^*)est une famille libre de E^*.

théorème

Si e est un K espace vectoriel de dimension finie, alors E^* est de dimension finie et )

( )

(E^* dim E

dim = . De plus, si (e₁,...,e_n) est une base de E, alors (e₁^*,...,e_n^*) est une base de E^*. démonstration

Supposons que E est de dimension finie n, n∈N^*. K est un K espace vectoriel de dimension 1.

Donc )L(E,K est de dimension finie et dim(L(E,K))=dim(E)×dim(K)=n×1=n. Donc E^* est de dimension n.

Soit )(e₁,...,e_n une base de E. Soit e^* =(e₁^*,...,e_n^*). d'après ce qui précède, e^* est une famille libre à n élément s de E^* qui est de dimension n. c'est donc une base de E^*.

théorème

Soient E et f deux K espaces vectoriels de dimensions finies respectives p et n (p,n∈N^*). Soit )

,..., (e₁ e_p

e= une base de E et f =(f₁,...,f_n) une base de F. on note e^* la base duale de e, f^* celle de f. Alors mat(^tu;f^*,e^*)=^tmat(u;e,f).

démonstration Notons

p j

n i j

mi

f e u mat M

≤

≤≤

= ≤

=

1

)1

( ) ,

;

( .

Soit k∈N_n. ^tu(f_k^*)= f_k^*Du. Soit q∈N_p.

)) ( ( ) )(

( _k^* _{q k}^* _q

tu f e = f u e

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

∑

= n

i

i q i

k m f

f

1

*

∑

=

= ⁿ

i

i k q

i f f

m

1

*( ) (linéarité de f_k^*)

∑

=

δ

= ⁿ

i

i k q

mi 1

=m_kq

∑

=

= ^p

i

q i i

k e e

m

1

*( )

Donc ), ( )( ) (

1

*

*

q p

i i i k q

k t

p u f e m e e

N

q ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

∈

∀

∑

=

. Une application linéaire étant entièrement déterminée par les images des vecteurs de base, on en déduit que :

∑

=

=

∈

∀ ^p

i i i k k

t

n u f m e

N k

1

*

*) (

, .

Notons

n j

p i j i

tu f e m

mat

≤

≤≤

= ≤

1 1

*

*, ) ( ' )

;

( . Alors

∑

=

=

∈

∀ ^p

i

i k i k

t

n u f m e

N k

1

*

*) '

(

, .

D'où ∀k∈N_n,∀i∈N_p,m'_ik=m_ki, d'où le résultat.

proposition

Soit E un K espace vectoriel de dimension finie, E^* son dual. Pour tout sous espace F de E, )

( )

( )

(F dim F dim E

dim + ^⊥ =

démonstration

Soit n la dimension de E, p la dimension de F. Soit (f₁,...,f_p) une base de F. d'après le théorème de la base incomplète, on peut compléter (f₁,...,f_p) en une base f =(f₁,...,f_n) de E. montrons que

) ,...,

(f_p^*₊₁ f_n^* est une base de F^⊥ :

• Soit x^*∈F^⊥.

∑

=

=

∈

∃ ⁿ

i i i n

n K x x f

x x

1

*

* 1,..., ) , (

! .

Soit k∈N_p. 0x^*(f_k)= car f_k∈F et x^*∈F^⊥. Or :

k n

i

n

i k i i k

i i

k x f f x x

f

x =

∑

=

∑

δ =

=1 =1

*

*( ) ( ) .

Donc 0∀k∈N_p,x_k = donc

∑

+

=

= ⁿ

p i

i if x x

1

*

* .

Donc (f_p^*₊₁,..., f_n^*) est une famille génératrice de F^⊥.

• Soit (α_p+1,...,α_n)∈K^n−p tel que 0

1

* =

∑

α

+

= n

p i

i if Soit k∈N, p+1≤k≤n.

∑

+

=

=

n α

p i

k i

if f

1

*( ) 0 donc 0

1

= δ

∑

α

+

= n

p i

k i

i donc α_k =0. par conséquent tous les α_k sont nuls donc )

,...,

(f_p^*₊₁ f_n^* est une famille libre de F^⊥.

• Donc )dim(F^⊥)=n−p=dim(E)−dim(F .

corollaire

Soient E et f des K espaces vectoriels de dimension finie. Soit u une application linéaire de E dans F. Alors rg(u)=rg(^tu)

démonstration

D'après le théorème du rang, rg(^tu)=dim(F^*)−dim(Ker(^tu)). )

( )

(F^* dim F

dim =

) ) ((Im(

)) (

(Ker u =dim u ^⊥

dim ^t (car Ker(^tu)=(Im(u))^⊥) =dim(F)−rg(u) (proposition précédente) On en déduit donc rg(u)=rg(^tu).