TD 1. M´ etriques riemanniennes.

U P M C - Paris 6 Master 2 de Math´ematiques fondamentales

Math´ematiques Automne 2013

TD 1. M´ etriques riemanniennes.

Exercice 1. La sph`ere, en coordonn´ees st´er´eographiques.

On consid`ere la sph`ere unit´eSⁿ dans l’espace euclidienRⁿ⁺¹ :

Sⁿ={(x₀, x1, . . . , xn)/x²₀+x²₁+· · ·+x²_n= 1}.

SoientO l’origine de Rⁿ⁺¹ ,N = (1,0, . . . ,0),P l’hyperplan d’´equation x₀ = 0 etφl’application qui `a un pointM deS<sup>n</sup>\{N}associe l’unique point d’intersec- tion entre la droite (OM) et l’hyperplan P. En identifiant P `a Rⁿ, on obtient ainsi une carte et donc des coordonn´ees y₁, . . . , y_n.

a.Faire un dessin.

b.Ecrire une formule pourφ, puisψ=φ⁻¹.

Soitg la m´etrique riemannienne induite sur Sⁿpar le produit scalaire de Rⁿ⁺¹. c.En calculantψ^∗g, montrer que, dans la carte consid´er´ee, on a

g= 4dy²₁+· · ·+dy_n² (1 +|y|²)² ,

o`u|y|² =y₁²+· · ·+y²_n.

d. Calculer la forme volume riemannienne associ´ee `a g, toujours dans cette carte.

Exercice 2. L’espace hyperbolique.

On consid`ere l’espace de MinkowskiR^1,n : c’est Rⁿ⁺¹ muni de la forme quadra- tique h=−dx²₀+dx²₁+· · ·+dx²_n. On note

Hⁿ={x∈Rⁿ⁺¹/−x²₀+x²₁+· · ·+x²_n=−1 et x₀ >0}.

Pour toutx deHⁿ, on notegx la restriction de h `a l’espace tangent TxHⁿ.

a.Expliquer pourquoig d´efinit une m´etrique riemannienne surHⁿ.

SoientS = (−1,0, . . . ,0),P l’hyperplan d’´equationx₀= 0 etφl’application qui

`

a un pointM deHⁿ associe l’unique point d’intersection entre la droite (OM) et l’hyperplan P. En identifiant P `a R<sup>n</sup>, on obtient ainsi une carte, `a valeurs dans la boule unit´e Bⁿ de Rⁿ, et donc des coordonn´ees y₁, . . . , y_n.

b.Faire un dessin et ´ecrire une formule pourφ.

c.Montrer que, dans la carte consid´er´ee, on a g= 4dy²₁+· · ·+dy_n²

(1− |y|²)² .

Si on notea le point (−1,0, . . . ,0)de Rⁿ , alors l’inversion f : y7→a+ 2 y−a

|y−a|²

r´ealise un diff´eomorphisme deBⁿ sur le demi-espace U ={w∈Rⁿ/w1 >0}.

d.Montrer que dans les coordonn´ees donn´ees parw=f(y), on a g= dw²₁+· · ·+dw²_n

w₁² .

Exercice 3. Deux fa¸cons de voir un tore plat.

On d´efinit une fonction f : Rⁿ → Cⁿ par f(x₁, . . . , x_n) = (e^ix1, . . . , e^ixn).

Montrer quefpasse au quotient en une isom´etrie deRⁿ/(2πZ)ⁿsurS¹×· · ·×S¹.

Ici,Rⁿ/(2πZ)ⁿ est muni de la m´etrique quotient (induite par la m´etrique eucli- dienne sur Rⁿ) et S¹× · · · ×S¹ de la m´etrique induite par le plongement dans l’espace euclidienCⁿ=R²ⁿ.

Exercice 4. Cat´eno¨ıde et h´elico¨ıde.

On s’int´eresse `a deux surfaces de R³. La cat´eno¨ıde C est la surface param´etr´ee par

c(t, θ) = (coshtcosθ,coshtsinθ, t), o`u t∈R, θ∈R/(2πZ), tandis que l’h´elico¨ıde Hs’obtient par

h(t, u) = (ucost, usint, t),

o`u cette foist etu d´ecriventR. On munitC etH de la m´etrique induite par la m´etrique euclidienne de R³.

Montrer qu’alors C etH sont localement isom´etriques (leurs m´etriques ont les mˆemes expressions dans certaines coordonn´ees) mais pas isom´etriques.

Exercice 5. Existence, ou pas, de m´etriques lorentziennes.

a.Montrer qu’une vari´et´eM poss`ede une m´etrique lorentzienne si et seulement si son fibr´e tangent contient un sous-fibr´e en droites.

b.En d´eduire queS² ne porte pas de m´etrique lorentzienne.