b) Même question pourf: 2) Montrer que f0(x

Université de Cergy - 2005-2006 M3 (Séries) Examen (3h) Exercice 1

Soit f(x) =e ^2x2 Zx

0

e^2t2dt=e ^2x2F(x); x2R:

1) a) Montrer queF est développable en série entière en0;et que cette série a un rayon de convergence in…ni.

b) Même question pourf:

2) Montrer que f⁰(x) = 1 4xf(x); x2R:

3) En déduire les coe¢ cients du développement en série entière de f:

Exercice 2

1) Soit la série entière P

n 1 xⁿ n²:

a) Quel est son rayon de convergence?

b) Montrer que sa sommeg(x) est dé…nie et continue sur [ 1;1]:

c) Montrer quegest dérivable sur] 1;1[. Calculerg⁰ à l’aide de fonctions usuelles.

2) Soit la série de fonctions P

n 1u_n(x) = P

n 1 1

n²(xⁿ+ (1 x)ⁿ):

a) Montrer que cette série converge si et seulement si 0 x 1: (Si x =2[0;1]; on pourra montrer que u_2n(x)!ⁿ!1 1):

b) Pour0 x 1; exprimer la somme f de cette série en fonction deg;

en déduire que f est continue sur [0;1]; dérivable sur ]0;1[et calculer f⁰: c) Montrer quef(x) = Ln(x)Ln(1 x) +C;0< x <1:

d) Montrer queC =P

n 1 1 n²: Exercice 3

Soit f la fonction de période 2 dé…nie par f(x) =x si x2 [ ₂;₂]; f(x) = x six2[₂; ]; f(x) = x six2] ; ₂]:

1) a) Dessiner le graphe de f:

b) Montrer que la série de Fourier de f est de la forme X

n 1

b_nsinnx et montrer que cette série converge normalement sur Rvers f:

2) Calculer les coe¢ cients bn: 3) Déduire de 1) et 2) que X

k 0 1

(2k+1)² = ₈²:

1

4) Soit P(x) = X

jjj J

a_je^{i jx} où J 2 N ; et a_j; _j 2 R: On suppose de plus j ^jj ₂;jjj J:

a) Véri…er que P⁰(x) = iX

jjj J

a_jf( _j)e^{i jx}:

b) En déduire, en utilisant 1) et 2) que P⁰(x) = 2X

k 0

( 1)^k

(2k+ 1)²(P(x+ 2k+ 1) P(x 2k 1)):

c) Conclure quekP⁰k_{1 2}kPk₁ (où kPk₁ = sup_x2RjP(x)j):

5) (facultatif) Soit P(x)comme en 4), mais on ne suppose plusj ^jj 2: On pose = max_{jjj J} j ^jj:Montrer l’inégalité de Bernstein

kP⁰k₁ kPk₁: (on pourra écrire = ₂ ⁰ ete^{i jx} =e^{i j0 0x}).

Exercice 4

Rappel (inégalité de Cauchy-Schwarz): pourf; g continues sur [ ; ];

R f(t)g(t)₂^dt kfk2kgk2 oùkfk²2 =R

jf(x)j^{2 dx}₂ : Soit f une fonction 2 périodique, continue sur R;telle que R

f(x)^dx₂ = 0:

On pose F(x) = Zx

0

f(t)dt:

1) a) Montrer que F est2 périodique, et préciser sa dérivée.

b) Montrer quefb(n) =inFb(n); n2Z: 2) Montrer que X

n2Z

Fb(n)

2 X

n2Z

f(n)b

2

;puis que F Fb(0)

2

2 kfk²2: 3) On suppose en outre queF est à valeurs réelles et on noteG=F Fb(0):

a) Véri…er queG(0) = 0b et en déduire l’existence dex₀ tel queG(x₀) = 0:

b) Montrer queG²(x) = 2 Zx

x0

G(t)f(t)dt; x 2R: (Etudier (G²)⁰):

c) En déduire que sup

x2RjG(x)j² 2 Z x0+2

x0

jf(t)G(t)jdt 4 kfk2kGk2:

2