Soit K un corps fini ayant q ´ el´ ements. La caract´ eristique de K est alors un nombre premier p, le sous-corps premier est (isomorphe ` a) F

Universit´ e P. et M. Curie (Paris VI), Michel Waldschmidt Deuxi` eme semestre 2007/2008 date de mise ` a jour: 27/02/2008 Master de sciences et technologies 1` ere ann´ ee - Mention : Math´ ematiques et applications Sp´ ecialit´ e : Math´ ematiques Fondamentales MO11 : Th´ eorie des nombres (12 ECTS)

Cinqui` eme fascicule : 10/03/2008

3 Corps finis

3.1 Structure des corps finis

Soit K un corps fini ayant q ´ el´ ements. La caract´ eristique de K est alors un nombre premier p, le sous-corps premier est (isomorphe ` a) F

= Z/pZ et K est une extension finie de F

. Si on pose s = [K : F

], alors q = p

.

Le groupe multiplicatif de K est d’ordre q−1, tout ´ el´ ement de K v´ erifie x

= x et par cons´ equent K est l’ensemble des racines du polynˆ ome X

− X :

X

− X = Y

x∈K

(X − x), tandis que K

est l’ensemble des racines du polynˆ ome X

− 1 :

X

− 1 = Y

x∈K^×

(X − x).

Soit K un corps de caract´ eristique finie p. Pour x et y dans K on a (x+ y)

= x

+ y

. Il en r´ esulte que l’application

F : K → K x 7→ x

est un automorphisme du corps K ; on l’appelle le Frobenius de K. Si ` est un entier ≥ 0, on d´ esigne par F

l’automorphisme compos´ e

F

= I, F

= F

◦ F (` ≥ 1),

de sorte que F

(x) = x

pour x ∈ K. Si K est fini avec p

´ el´ ements alors F

= I.

Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps est cyclique. En particulier si K est fini avec q = p

´ el´ ements alors le groupe multiplicatif K

de K est cyclique d’ordre q − 1. Si α un g´ en´ erateur de K

on a F

(α) 6= 1 pour 1 ≤ ` < s donc F est d’ordre s dans le groupe des automorphismes de K. Il en r´ esulte que l’extension K/F

est galoisienne, de groupe de Galois le groupe cyclique d’ordre s engendr´ e par F . On en d´ eduit aussi que si K est un corps fini, tout polynˆ ome de K[X] est s´ eparable : tout corps fini est parfait.

En passant nous pouvons compl´ eter la d´ emonstration du corollaire 2.21 :

Proposition 3.1. Si k est un corps fini et K une extension finie de k, alors l’extension K/k est monog` ene.

D´ emonstration de la proposition 3.1. Soit q = p

le nombre d’´ el´ ements de K ; le groupe multipli- catif K

est cyclique : soit α un g´ en´ erateur de ce groupe. Alors

K =

0, 1, α, α

, . . . , α

= F

(α), et ` a plus forte raison K = k(α).

3.2 Construction des corps finis et th´ eorie de Galois

Th´ eor` eme 3.2. Soient p un nombre premier et s un entier positif. On pose q = p

. Il existe un corps ayant q ´ el´ ements. Deux corps ayant q ´ el´ ements sont isomorphes. Si Ω est un corps alg´ ebriquement clos de caract´ eristique p, alors Ω contient un unique sous-corps fini ayant q ´ el´ ements, D´ emonstration. Soit K un corps de d´ ecomposition sur F

du polynˆ ome X

− X. Alors K est l’ensemble des racines de ce polynˆ ome et donc a q ´ el´ ements.

Inversement, si K est un corps avec q ´ el´ ements, alors K est l’ensemble des racines du polynˆ ome X

− X .

Par cons´ equent si Ω est un corps alg´ ebriquement clos de caract´ eristique p, alors le seul sous-corps de Ω ayant q ´ el´ ements est l’ensemble des racines du polynˆ ome X

− X .

Notons F

une clˆ oture alg´ ebrique de F

. Pour chaque entier s ≥ 1 il existe un unique sous-corps fini de F

ayant p

´ el´ ements : c’est l’ensemble des racines du polynˆ ome X

− X . On le note F

. Pour n et m entiers positifs, on a l’´ equivalence

F

⊂ F

⇐⇒ n divise m; (3.3)

si ces conditions sont v´ erifi´ ees, alors l’extension F

/F

est cyclique, de groupe de Galois le groupe cyclique d’ordre m/n engendr´ e par F

.

Exercice. Soient K un corps, m et n deux entiers ≥ 1, a et b deux entiers ≥ 2. V´ erifier que les conditions suivantes sont ´ equivalentes.

(i) n divise m

(ii) Dans K[X] le polynˆ ome X

− 1 divise X

− 1 (iii) a

− 1 divise a

− 1.

(ii’) Dans K[X] le polynˆ ome X

− X divise X

− X (iii’) b

− b divise b

− b.

Indication. Si r est le reste de la division de m par n, alors a

− 1 est le reste de la division de a

− 1 par a

− 1.

Lemme 3.4. Soient E un corps fini ` a q ´ el´ ements, K une extension de E et f un ´ el´ ement de

K[X]. Alors f ∈ E[X ] si et seulement si f (X)

= f (X

).

D´ emonstration. Nous avons vu au § 3.1 que, pour a dans K, on a a

= a si et seulement si a ∈ E.

Comme q est une puissance de la caract´ eristique p de K, si on ´ ecrit f (X) = a

+ a

X + · · · + a

X

, on a

f (X)

= a

+ a

X

+ · · · + a

X

et par r´ ecurrence

f (X )

= a

+ a

X

+ · · · + a

X

Par cons´ equent f (X)

= f (X

) si et seulement si a

= a

pour tout i = 0, 1, . . . , n.

Proposition 3.5. Soient E un corps fini ` a q ´ el´ ements, K une extension de E et α un ´ el´ ement non nul de K alg´ ebrique sur E. Il existe des entiers s ≥ 1 tels que α

= α. Notons r le plus petit.

Alors le corps E(α) a q

´ el´ ements et le polynˆ ome irr´ eductible de α sur E est

r−1

Y

i=0

(X − α

). (3.6)

D´ emonstration. L’extension E(α)/E est finie, soit s son degr´ e. Le corps E(α) est donc fini avec q

´ el´ ements. Soit m l’ordre de α dans le groupe multiplicatif E(α)

. Comme ce groupe est d’ordre q

− 1, on a q

≡ 1 (mod m). Donc α

= 1 et α

= α.

Soit f le polynˆ ome irr´ eductible de α sur E. On a f (X

) = f (X)

car f ∈ E[X ], donc l’ensemble des racines de f est stable sous l’automorphisme F : x 7→ x

(qui est une puissance du Frobenius).

Il en r´ esulte que f est multiple du polynˆ ome g d´ efini par (3.6). Mais ce polynˆ ome g appartient

`

a E[X] car g(X

) = g(X )

. Par cons´ equent g = f. Ainsi f est de degr´ e r, donc [E(α) : E] = r, par cons´ equent E(α) a q

´ el´ ements. On en d´ eduit aussi r = s.

Proposition 3.7. Soient E un corps fini ` a q ´ el´ ements et r un entier positif. Le polynˆ ome X

−X est le produit de tous les polynˆ omes unitaires irr´ eductibles de E[X ] dont le degr´ e divise r.

D´ emonstration. Soit f ∈ E[X ] un polynˆ ome irr´ eductible de degr´ e d. Notons K = E[X ]/(f ) son corps de rupture sur K : c’est une extension de degr´ e d de K, il a donc q

´ el´ ements, la classe α de X v´ erifie α

= α, donc le polynˆ ome X

− X est multiple de f .

Si d divise r, alors le polynˆ ome X

− X est multiple de X

− X , donc multiple de f . Ceci montre que X

− X est multiple de tous les polynˆ omes irr´ eductibles de degr´ e divisant r. Comme sa d´ eriv´ ee est −1, il n’a pas de facteur multiple.

R´ eciproquement si le polynˆ ome X

− X est multiple de f , on a α

= α dans K, l’ensemble

des α ∈ K qui v´ erifient α

= α est K lui-mˆ eme et tout g´ en´ erateur γ du groupe multiplicatif K

,

qui est d’ordre q

− 1, satisfait γ

= 1. Il en r´ esulte que q

− 1 divise q

− 1, donc d divise r.

3.3 D´ ecomposition des polynˆ omes cyclotomiques en facteurs irr´ eductibles

Th´ eor` eme 3.8. Soient F

un corps fini ` a q ´ el´ ements et n un entier premier avec q. On d´ esigne par d l’ordre de q modulo n. Alors tous les facteurs irr´ eductibles du polynˆ ome Φ

dans F

[X] sont de degr´ e d.

D´ emonstration. Soient p la caract´ eristique de K, F

une clˆ oture alg´ ebrique de F

, P un facteur irr´ eductible de Φ

dans F

[X ], s son degr´ e et F

le sous-corps de F

ayant q

´ el´ ements. Le corps F

est donc un corps de rupture de P sur F

. Soit ζ une racine de P dans K. Comme ζ est racine de P et que P est facteur de Φ

on a Φ

(ζ) = 0, donc ζ est une racine primitive n-i` eme de l’unit´ e.

D’un cˆ ot´ e le fait que ζ soit dans F

implique ζ

= 1. Il en r´ esulte que n divise q

− 1, donc q

≡ 1 (mod n) et par cons´ equent d divise s.

D’un autre cˆ ot´ e comme q

≡ 1 (mod n) et que ζ

= 1 on a ζ

= ζ, donc ζ appartient au sous-corps F

` a q

´ el´ ements de F

. Comme F

= F

(ζ) on a F

⊂ F

, donc (3.3) s divise d.

Pour d = 1 cela signifie que si F

un corps fini ` a q ´ el´ ements et n un entier premier avec q, le polynˆ ome cyclotomique Φ

est compl` etement d´ ecompos´ e dans F

si et seulement si q ≡ 1 (mod n).

On le voit directement puisque F

est cyclique d’ordre q − 1.

L’autre cas extrˆ eme est d = ϕ(n) :

Corollaire 3.9. Soient F

un corps fini et n un entier premier avec q. Le polynˆ ome Φ

est irr´ eductible sur F

si et seulement si la classe de q modulo n est un g´ en´ erateur de (Z/nZ)

.

Bien entendu cela ne peut arriver que si le groupe ((Z/nZ)

est cyclique.

Voici un troisi` eme exemple d’application du th´ eor` eme 3.8 :

Corollaire 3.10. Soient F

un corps fini et m un entier positif. Le polynˆ ome Φ

se d´ ecompose en produit de polynˆ omes irr´ eductibles sur F

qui sont tous de degr´ e m.

3.4 Loi de r´ eciprocit´ e quadratique

Soit p un nombre premier. ´ Etudions les extensions quadratiques du corps F

` a p ´ el´ ements.

Dans une extension alg´ ebriquement close de F

il y en a une et une seule. Pour l’expliciter on est amen´ e ` a ´ etudier les polynˆ omes unitaires irr´ eductibles de degr´ e 2 sur F

. Pour p = 2 il y en a un et un seul, X

+ X + 1. Supposons p impair : comme on peut diviser par 2 on ´ ecrit X

+ aX + b = (X + a/2)

+ b − a

/4. Il reste ` a d´ eterminer quels sont les carr´ es dans F

.

Un ´ el´ ement α du corps F

est appel´ e r´ esidu quadratique si l’´ equation X

− α a une racine dans F

, on dit qu’il est non r´ esidu quadratique sinon, c’est-` a-dire si ce polynˆ ome X

−α est irr´ eductible sur F

. On dit qu’un entier a ∈ Z est r´ esidu quadratique modulo p si sa classe α ∈ Z/pZ modulo p l’est, non r´ esidu modulo p dans le cas contraire. En notant α la classe de a modulo p on d´ efinit le symbole de Legendre par

α p

= a

p

=



 

 

0 si α = 0

1 si α est r´ esidu quadratique

−1 si α est non r´ esidu quadratique.

On a suppos´ e p impair. L’application x 7→ x

est un endomorphisme du groupe F

, de noyau

{−1, +1}. L’image de cette application a donc (p−1)/2 ´ el´ ements, ce qui veut dire qu’il y a (p−1)/2

´ el´ ements qui sont des r´ esidus quadratiques non nuls dans F

et il y en a autant qui ne sont pas r´ esidus quadratiques. On en d´ eduit

X

α∈Fp

α p

= 0. (3.11)

Si ζ ∈ F

est une racine primitive modulo p (c’est-` a-dire un g´ en´ erateur de F

, ou encore une racine primitive p − 1-i` eme de l’unit´ e), alors les r´ esidus quadratiques moduio p sont les ´ el´ ements ζ

de F

avec 0 ≤ k ≤ p − 3 et k pair, tandis que les non r´ esidus quadratiques sont les ζ

avec 1 ≤ k ≤ p − 2 et k impair. En particulier

ζ p

= −1 et (th´ eor` eme de Wilson)

(p − 1)! ≡

p−1

Y

k=1

ζ

≡ ζ

≡ ζ

≡ ζ

p

≡ −1 (mod p).

Les r´ esidus quadratiques dans F

sont les racines du polynˆ ome X

− 1. Par cons´ equent pour α ∈ F

on a

α p

= α

. (3.12)

Par exemple

−1 p

= (−1)

=

( 1 si p ≡ 1 (mod 4)

−1 si p ≡ −1 (mod 4).

Lemme 3.13. Pour α et β dans F

on a αβ

p

= α

p β p

.

De plus

2 p

= (−1)

=

( 1 si p ≡ ±1 (mod 8)

−1 si p ≡ ±3 (mod 8).

D´ emonstration. La relation (3.12) montre que l’application α 7−→

α p

est un homomorphisme du groupe multiplicatif F

sur le groupe ` a deux ´ el´ ements {−1, +1}. Le noyau est d’ailleurs constitu´ e des r´ esidus quadratiques dans F

.

Pour savoir si 2 est r´ esidu quadratique modulo p, on doit d´ eterminer si le polynˆ ome X

− 2 est r´ eductible ou non dans F

[X ].

Dans le corps des nombres complexes, une des racines primitives 8` emes de l’unit´ e est α = e

= (1 + i) √

2

2 ·

Elle v´ erifie α

= i. Le nombre β = α + α

est une racine du polynˆ ome X

− 2. On v´ erifie aussi α

+ α

=

( β si n ≡ 1 ou 7 (mod 8),

−β si n ≡ 3 ou 5 (mod 8).

Ces calculs complexes (et faciles) vont motiver ceux que nous allons faire en caract´ eristique finie p.

Soit F

une clˆ oture alg´ ebrique de F

et soit F

le sous-corps de F

ayant p

´ el´ ements. Comme p

−1 est multiple de 8 il existe une racine primitive 8-i` eme de l’unit´ e α ∈ F

. Posons β = α+α

. On a α

= −1 et α

= −α

, donc

β

= (α + α

)

= α

+ α

+ 2 = 2.

Il s’agit maintenant de savoir si β est ou non dans F

, c’est-` a dire si β

est ´ egal ` a β ou ` a −β . Si p ≡ ±1 mod 8, alors {α

, α

} = {α, α

}, donc β

= β et β ∈ F

, ce qui donne

2 p

= 1.

Si p ≡ ±3 mod 8, alors {α

, α

} = {−α, −α

}, donc β

= −β et β 6∈ F

, d’o` u on conclut 2

p

= −1.

Exercice. V´ erifier que le polynˆ ome X

+ 1 est irr´ eductible sur Q mais est r´ eductible sur F

pour tout nombre premier p.

Voici l’´ enonc´ e de la loi de r´ eciprocit´ e quadratique :

Th´ eor` eme 3.14. Soient p et ` des nombres premiers impairs distincts. Alors `

p p

`

= (−1)

. (3.15)

Il existe un grand nombre de d´ emonstrations de cet ´ enonc´ e, les premi` eres ayant ´ et´ e donn´ ees par C.F. Gauss. En voici une qui repose sur l’utilisation des sommes de Gauss qui sont d´ efinies de la fa¸ con suivante : soit K un corps contenant une racine primitive p-i` eme de l’unit´ e ζ, c’est-` a-dire un ´ el´ ement d’ordre p dans le groupe multiplicatif K

. On pose

S =

p−1

X

a=0

a p

ζ

.

On met donc ensemble un caract` ere multiplicatif F

→ K

et un caract` ere additif F

→ K du groupe F

:

a 7−→

a p

et a 7−→ ζ

.

4Par exemple on peut prendreK=Cetζ=e^2iπ/p. Mais on ne peut pas prendre un corps de caract´eristiquep bien sˆur !

D´ emonstration du th´ eor` eme 3.14. Comme ζ

ne d´ epend que de la classe de a modulo p, qu’il en est de mˆ eme du symbole de Legendre

a p

et que ce dernier est nul pour a = 0, on peut ´ ecrire

S = X

α∈F^×p

α p

ζ

.

Soit α ∈ F

. L’application β 7→ αβ est une bijection du groupe F

sur lui mˆ eme, donc S = X

β∈F^×p

αβ p

ζ

.

Comme

α p

αβ p

= α

β

p

= β

p

on obtient

S

= X

α∈F^×p

α p

ζ

X

β∈F^×p

αβ p

ζ

= X

β∈F^×p

β p

X

α∈F^×p

ζ

.

La somme des racines du polynˆ ome X

− 1 est nulle, donc X

γ∈Fp

ζ

= 0 et X

γ∈F^×p

ζ

= −1.

Ainsi

X

α∈F^×_p

ζ

=

( p − 1 si β = −1

−1 si β 6= −1.

En utilisant (3.11) on en d´ eduit S

= (p − 1)

−1 p

− X

β∈F× p β6=−1

β p

= p −1

p

= (−1)

p.

Ces calculs sont valables dans tout corps K contenant une racine primitive p-i` eme de l’unit´ e ζ.

Choisissons maintenant pour K une clˆ oture alg´ ebrique F

de F

. On a dans F

S

= X

α∈F^×p

α p

ζ

=

`

X

α∈F^×p

α p

ζ

=

` p

X

α∈F^×p

`α p

ζ

=

` p

S,

donc

S

= `

p

. Alors, toujours dans F

, on a

` p

= S

= (S

)

= (−1)

p

= (−1)

p

`

.

Ceci d´ emontre la relation (3.15).

R´ ef´ erences

[1] M. Demazure – Cours d’alg` ebre. Primalit´ e. Divisibilit´ e. Codes, Nouvelle Biblioth` eque Math´ ematique Cassini, Paris, 1997.

[2] D.S. Dummit & R.M. Foote – Abstract Algebra, Prentice Hall 1991, 1999.

[3] M. Hindry – Arithm´ etique, Calvage et Mounet, Tableau Noir, Paris, 2008.