De fait, c’est ´evident si X(Ω) est fini

PROBL`EME 1

Un cas particulier de la loi faible des grands nombres

CCP PSI 2018

1. La variable al´eatoireX admet une esp´erance. De fait, c’est ´evident si X(Ω) est fini.

SiX(Ω) est d´enombrable, et si{x₀, x₁, . . . ,}en est une ´enum´eration, l’esp´erance deX est, par d´efini- tion, la somme de la s´erie

∞

X

n=0

x_nP(X =x_n), pourvu que cette s´erie soit absolument convergente.

Or,|x_nP(X =xn)| ≤ P(X =xn) pour tout n∈Net P

P(X =xn) est convergente, doncX admet bien une esp´erance en vertu du th´eor`eme de comparaison. Le r´esultat s’´etend imm´ediatement `a toute variable al´eatoire born´ee (par majoration, ou en se ramenant `a [−1,1] par normalisation) ; cela sera utile par la suite.

Par lin´earit´e de l’esp´erance : E(Sn) =E

X1+· · ·+Xn

n

= 1

nE(X1+· · ·+Xn) = 1

n(E(X1) +· · ·+E(Xn)) =E(X).

2. In´egalit´e de Markov. Si Y est une variable al´eatoire positive admettant une esp´erance, alors

∀α >0,P(Y ≥α)≤ E(Y) α .

D´emonstration. Cas o`u Y(Ω)est fini.

La validit´e des manipulations sur les sommes finies est imm´ediate.

E(Y) = X

y∈Y(Ω)

yP(Y =y) = X

y∈Y(Ω) y<a

yP(Y =y) + X

y∈Y(Ω) y≥a

yP(Y =y)

≥

[Y(Ω)⊂R⁺]

X

y∈X(Ω) y≥a

yP(Y =y)≥ X

y∈Y(Ω) y≥a

aP(Y =y) =aP(Y ≥a).

Cas o`u Y(Ω) est infini d´enombrable. Le formalisme est un peu diff´erent, mais la d´emonstration est intrins`equement la mˆeme. On peut par exemple utiliser les fonctions indicatrices et la croissance de l’esp´erance :

Y = 11(Y < a) + 11(Y ≥a)≥0 +a11(Y ≥a) ⇒ E(Y)≥E a11(Y ≥a)

=aP(Y ≥a).

3. Comme X admet une esp´erance, il en va de mˆeme de |X|, `a qui l’on peut appliquer l’in´egalit´e de Markov, puisqu’elle est positive.

4. Le fait quetn >0, la croissance de l’exponentielle, puis l’in´egalit´e de Markov, appliqu´ee `a la variable al´eatoire positive born´ee (donc admettant une esp´erance) e^tnSn, donnent

P(S_n≥ε) =P(tnS_n≥tnε) =P e^tnSn ≥e^tnε

≤ E e^tnSn e^tnε . Or, e^tnSn =

n

Y

i=1

e^tXi et les variables al´eatoires e^tXi sont born´ees, donc admettent une esp´erance. Alors, l’ind´ependance des Xi donne :

E e^tnSn

=

n

Y

i=1

E e^tXi

=

E e^tXn

5. Deg_a(x) =P(x)−a^x avec P ∈R1[X], on tire que g_a est de classe C^∞ et que g_a⁰⁰(x) =−(lna)²a^x<0, ce qui montre queg_a⁰ est strictement d´ecroissante. Comme

g_a(−1) =a⁻¹−a⁻¹ = 0 =a−a=g_a(1),

le th´eor`eme de Rolle entraˆıne queg_a⁰ s’annule au moins une fois sur ]−1,1[. Commeg_a⁰ est strictement d´ecroissante,g_a⁰ s’annule une seule fois et est d’abord positive, puis n´egative. Ainsi, il existex0 ∈]−1,1[

tel queg_a est strictement croissante sur [−1, x₀] et strictement d´ecroissante sur [x₀,1]. En particulier, ga est positive sur [−1,1]. Notons que l’hypoth`esea >0 suffit.

6. Soitt >0. En prenanta= e^t>1, l’in´egalit´e g_a(x)≥0 donne 1−x

2 e^−t+1 +x

2 e^t−e^tx≥0, d’o`u l’in´egalit´e demand´ee en ajoutant e^tx des deux cˆot´es.

7. Par croissance de l’esp´erance et en utilisant le fait queE(X) = 0, l’in´egalit´e de la question 6 donne e^tX ≤ 1−X

2 e^−t+1 +X

2 e^t= cht+ (sht)X ∴ E e^tX

≤cht+ (sht)E(X) = cht.

8. Sik≥1, on a

(2k)! =k!

k

Y

j=1

(k+j)≥k!

k

Y

j=1

2 = 2^kk!,

et l’in´egalit´e est aussi vraie pour k = 0 (1 = 1). En en prenant l’inverse, puis en multipliant par la quantit´e positive t^2k, il vient _(2k)!^t2k ≤ _k!¹

t² 2

k

.

En utilisant alors la question 7, il vient, en utilisant les d´eveloppements en s´erie enti`ere du cosinus hyperbolique et de l’exponentielle, lesquels sont de rayon de convergence infini :

E e^tX

≤cht=

∞

X

k=0

t^2k (2k)! ≤

∞

X

k=0

1 k!

t² 2

k

= e^t2/2.

9. Posons ϕ(t) = e^−ntε+nt

2

2. Alors, ϕ est de classe C^∞ et ϕ⁰(t) = n(t−ε)ϕ(t) est du signe de t−ε. Il s’ensuit queϕadmet un minimum en εet que ce minimum vautϕ(ε) = e^−nε

2 2 .

10. Les questions pr´ec´edentes donnent une majoration deP(S_n≥ε) valable pour tout t >0 : P(S_n≥ε) ≤

[Q.4]

e^−ntεE e^tXn

≤

[Q8]

e^−ntε×e^nt

2 2 .

En particulier, pour t=ε, choix optimal en vertu de la question 9, il vient P(Sn≥ε)≤e^−nε

2 2 . Les v.a.−X_i v´erifient les mˆemes hypoth`eses que lesX<sub>i</sub> (`a valeurs dans [−1,1] et ind´ependantes).

Il s’ensuit que l’on peut appliquer la majoration ci-dessus `a−S_n, ce qui donne P(−S_n≥ε)≤e^−nε

2 2 . Alors,

P(|S_n| ≥ε) =P(Sn≤ −ε) +P(Sn≥ε)≤2 e^−nε

2 2 . 11. La croissance des mesures de probabilit´e et la question 10 donnent la majoration

P(|S_n|> ε)≤P(|S_n| ≥ε)≤2 e^−nε

2 2 .

Le th´eor`eme de comparaison et la convergence de la s´erie g´eom´etrique de raison e^−ε

2

2 ∈]0,1[ assurent alors la convergence de la s´erie de terme g´en´eral P(|S_n|> ε).

12.

ω ∈Ω ; |S_m(ω)|> ε =S_m⁻¹(]− ∞,−ε[)∪S_m⁻¹(]ε,+∞[) est la r´eunion de deux ´ev´enements, donc un

´ev´enement. Alors,B_n est une r´eunion d´enombrable d’´ev´enements, donc un ´ev´enement.

Par ailleurs,P(B_n)≤

∞

X

m=n

P

ω∈Ω ; |S_m(ω)|> ε , reste d’une s´erie convergente d’apr`es la question 11. Comme la suite (B_n)_n est d´ecroissante, il s’ensuit

P \

n∈N^∗

Bn

!

= lim

n→∞P(Bn) = 0.

13. Posons pour plus de clart´e B_n(ε) =B_n. On peut ´ecrire Ω_k=

ω∈Ω ; ∃n∈N^∗,∀m≥n:|S_m(ω)| ≤ 1 k

=

∞

[

n=1

∞

\

m=n

ω ∈Ω ; |S_m(ω)| ≤ 1 k

=

∞

[

n=1

B_n(1/k)

donc Ω_kest une r´eunion d´enombrable d’´ev´enements et donc un ´ev´enement. On peut par ailleurs ´ecrire A=

ω∈Ω ; ∀k∈N^∗, ∃n∈N^∗, ∀m≥n:|S_m(ω)| ≤ 1 k

= \

k∈N^∗

Ωk,

ce qui montre queAest un ´ev´enement.

14. En reprenant l’expression de Ωk obtenue `a la question 13, le passage au compl´ementaire donne Ω_k= \

n∈N^∗

Bn(1/k)

et en appliquant ce que l’on a montr´e `a la question 12, on obtient P Ωk

= 0, d’o`uP(Ωk) = 1.

Enfin, |S_m| ≤ ¹_k

⊃

|S_m| ≤ _k+1¹

, ce qui entraˆıne que la suite d’´ev´enements (Ωk)_k est d´ecroissante.

On peut alors conclure :

P(A) =P \

k∈N^∗

Ω_k

!

= lim

k→∞P(Ω_k) = 1.

Autrement dit, (S_n)_nconverge presque sˆurement vers 0. Ce r´esultat est laloi forte des grands nombres.

PROBL`EME 2 - Quelques propri´et´es d’hyperplans de Mⁿ(R)

E3A PSI 2019

1. Comme T est une matrice n’appartenant pas `a H, alors T 6= On (car On appartient au sous-espace H), ainsi Vect(T) est bien de dimension 1.

Et par d´efinition des hyperplans, dimH = dimE_n−1, d’o`u dimE = dimH+ dim Vect(T).

De plus,H∩Vect(T) ={O_n} : en effet, siM ∈H∩Vect(T), alors il existe µ∈Rtel queM =µT et M ∈H. Siµ6= 0, alors 1

µM =T ∈H : absurde ! Donc µ= 0 etM =On. Par cons´equent : En=H⊕Vect(T) .

2. D’apr`es le rappel, ∀(i, j)∈[[1, n]]²,E_i,j² =

(O_n lorsquei6=j Ei,j lorsquei=j

Ainsi, sii6=j,E_i,j est nilpotente, par contre, si i=j, pour tout r ∈N^∗,E_i,i^r =E_i,i 6=O_n :E_i,i n’est pas nilpotente.

Donc, les matrices nilpotentes de la baseB sont toutes les matricesEi,j avec i6=j et (i, j)∈[[1, n]]².

3. Si M est une matrice nilpotente, alors il existe un entier naturel r non nul tel que M^r = O_n, d’o`u X^r est un polynˆome annulateur deM. Nous savons que les valeurs propres deM sont racines de tout polynˆome annulateur de M. Or X^r n’admet qu’une racine : 0, donc 0 est le seul candidat possible pour ˆetre valeur propre deM.

De plus, M n’est pas une matrice inversible, car sinon, par produit de matrices inversible, M^r =On

serait aussi une matrice inversible, ce qui est absurde. Donc, 0 est bien valeur propre deM.

En conclusion, tout matrice nilpotente poss`ede 0 comme unique valeur propre.

4. (a) U =













0 1 . . . 1 1 . .. ... ...

... . .. ... 1 1 . . . 1 0













etU−(−1.I_n) =













1 1 . . . 1 1 . .. ... ...

... . .. ... 1 1 . . . 1 1













qui est une matrice de rang 1.

Par le th´eor`eme du rang, on a donc dim(ker(A+I_n)) =n−1.

(b) trU = 0 mais c’est aussi ´egal `a la somme des valeurs propres (complexes) de U compt´ees avec multiplicit´e. Mais−1 est valeur propre de multiplicit´e au moinsn−1 (sup´erieure `a la dimension du sous-espace propre associ´e) donc la derni`ere valeur propreλv´erifieλ+ (n−1)×(−1) = 0 soit λ=n−1 est la derni`ere valeur propre et Sp(U) ={−1, n−1}.

(c) U est diagonalisable car la multiplicit´e de chaque valeur propre est ´egale `a la dimension du sous-espace propre associ´e (vrai pourλ=−1 et ´evident pour la valeur propre simple n−1).

(d) Un simple calcul matriciel donneU² =













n−1 n−2 . . . n−2 n−2 . .. . .. ...

... . .. . .. n−2 n−2 . . . n−2 n−1













= (n−2)U + (n−1)In.

Le polynˆomeX²−(n−2)X−(n−1) est donc un polynˆome annulateur deU. Celui-ci est scind´e et admet pour racines−1 etn−1 qui sont distinctes doncU est diagonalisable.

(e) Le plus simple est de remarquer que 0∈/ Sp(U) ainsiker(U) ={0}et doncU est inversible.

Autre solution : Calculons le d´eterminant de U :

det(U) =

0 1 . . . 1 1 . .. ... ...

... . .. ... 1 1 . . . 1 0

=

Cn←

n

P

i=1

Ci

0 1 . . . 1 n−1 1 . .. ... ... ...

... . .. ... 1 ... ... . .. 0 ... 1 . . . . . . 1 n−1

= (n−1)

0 1 . . . 1 1 1 . .. ... ... ...

... . .. ... 1 ...

... . .. 0 ...

1 . . . . . . 1 1

Ci←C=i−Cn

∀i∈[[1,n−1]]

(n−1)

−1 0 . . . 0 1 0 . .. ... ... ... ... . .. ... 0 ... ... . .. −1 ... 0 . . . . . . 0 1

= (n−1)(−1)ⁿ⁻¹6= 0

doncU est inversible.

5. (a) H ne contient pas de matrice inversible, doncI_n∈/ H, d’o`u d’apr`es1.,E_n=H⊕Vect(I_n).

Donc, commeN ∈En, il existe une matriceA∈H et un scalaire α tel queN =A+αIn. (b) A∈H doncA n’est pas inversible donc 0 est valeur propre deA.

Soit X ∈ Rⁿ un vecteur propre de A pour la valeur propre 0 : AX = 0 avec X 6= 0. Alors N X = αX, par suite, α est valeur propre de N. Or une matrice nilpotente ne poss`ede que 0 comme valeur propre d’o`u α= 0 et par cons´equent,N =A et N ∈H .

6. On vient de prouver que siHne contient pas de matrice inversible, alorsH contient toutes les matrices nilpotentes deE_n, doncHcontient toutes les matricesE_i,j aveci6=j. Alors, par propri´et´e de l’espace vectoriel,H contient la matrice inversibleU. C’est absurde !

Donc,H contient au moins une matrice inversible.

7. Le sous-espace vectoriel des matrices triangulaires sup´erieures est stable pour la multiplication des matrices, et lorsque n = 2, c’est un hyperplan de E2 car dans ce cas, il est de dimension 3 : en effet, il s’agit de Vect(E1,1, E1,2, E2,2).

8. On suppose queI_n∈/H.

(a) Nous avons vu que dans ce cas,E_n=H⊕Vect(I_n) d’o`u la projectionp existe bien.

Soit (M, N)∈E_n². Alors il existe (α, β)∈R²et (A, B)∈H²tels queM =αIn+AetN =βIn+B, d’o`u p(M) =αIn,p(N) =βIn, puis M N =αβIn+αB+βA+AB.

Or αB +βA+AB ∈ H car H est un espace vectoriel stable pour le produit matriciel, d’o`u p(M N) =αβI_n. Par cons´equent, P(M N) =p(M)p(N) .

(b) SoitM ∈E_n tel queM²∈H, alorsp(M²) =O_n d’o`uP(M)<sup>2</sup> =O<sub>n</sub> (d’apr`es8.1).

Or il existe α ∈ R tel que p(M) = αIn, d’o`u p(M)<sup>2</sup> = α<sup>2</sup>In = On, d’o`u α = 0 et par suite p(M) =On doncM ∈H. D’o`u M²∈H⇒M ∈H .

(c) Soit (i, j)∈[[1, n]]². Sii6=j,E_i,j² =On∈H d’o`u Ei,j ∈H (d’apr`es 8.2).

PuisE_i,jE_j,i=E_i,i∈H puisqueH est stable pour le produit matriciel.

Par cons´equent, ∀(i, j)∈[[1, n]]²,Ei,j ∈H .

(d) Ainsi, H contient la base B de E_n d’o`u H =E_n, ce qui est absurde pour un hyperplan (qui est de dimension dim(En)−1). Il ´etait donc absurde de supposer queIn∈/ H.

Par cons´equent, tout hyperplan deEn stable pour la multiplication des matrices contient la matrice In. 9. SoitA un ´el´ement non nul de l’orthogonal de H pour le produit scalaire (.|.).

(a) Soit B ∈ H. Pour tout M ∈ H, (AB^T |M) = tr(BA^TM) = tr(A^TM B) = (A | M B) = 0 car M B∈H. D’o`uAB<sup>T</sup> appartient aussi `a l’orthogonal deH.

H ´etant un hyperplan, son orthogonal est donc de dimension 1, d’o`u AB<sup>T</sup> est colin´eaire `a A et par transposition,BA^T est colin´eaire `a A^T, pour toutB ∈H.

(b) SiA^T est inversible, en multipliant le r´esultat de la question pr´ec´edente par l’inverse de A^T, on en d´eduit que B est colin´eaire `a I_n, pour tout B ∈ H, donc H ⊂ Vect(I_n), ce qui est absurde pour un hyperplan de En. Donc,A^T n’est pas inversible.

(c) SoitX ∈W, il existeY ∈Rⁿ tel queX =A^TY.

SoitB ∈H, d’apr`es9.1, il existeα∈Rtel queBA<sup>T</sup> =αA<sup>T</sup>. D’o`uBX =BA^TY =αA^TY =A^T(αY)∈W.

Par cons´equent, W est stable pour tout ´el´ement de H.

(d) D’une part, pour tout (M, N)∈E_n²,ϕ_P(M) =N ⇐⇒ M =P N P⁻¹. Donc,ϕP est une bijection de En dans lui-mˆeme.

D’autre part, la lin´earit´e est tout aussi imm´ediate par les propri´et´es du calcul matriciel :

∀(M, N)∈E²_n,∀λ∈R, ϕ_P(λ.M+N) =P⁻¹(λ.M+N)P =λ.P⁻¹M P+P⁻¹N P =λ.ϕ_P(M)+ϕ_P(N) Par cons´equent, ϕ_P est un automorphisme de E_n.

(e) D’apr`es la question pr´ec´edente, dim(H) = dim(ϕ_P(H)) etϕ_P(H) ={P⁻¹BP, B ∈H}.

Or, commeW est stable pour toutB ∈H,ϕ_P(B) est de la forme

B1 C On−p,p D

, d’o`uϕ_P(H) est inclus dans le sous-espace

B₁ C

0 D

,(B₁, C, D)∈Mp(R)×Mp,n−p(R)×Mn−p(R)

, qui est de dimensionp²+p(n−p) + (n−p)² =n²−p(n−p).

Donc dim(H)≤n²−p(n−p) .

10. Comme dim(H) =n²−1, on en d´eduit : p(n−p)≤1.

Orp≥1 (car Aest non nulle) et p≤n−1 (car A^T n’est pas inversible).

D’o`u p(n−p) = 1 et comme p etn−p sont 2 entiers naturels, on a n´ecessairement : p=n−p = 1, d’o`u n= 2 (et p= 1).