D´emonstration. Remarquons d’abord qu’il n’est pas n´ecessaire que X et Y soient d´efinis sur le mˆeme espace probabilis´e (Ω, F, P). Si X et Y ont mˆeme loi, cela signifie l’´egalit´e des mesures P

D´emonstration. Remarquons d’abord qu’il n’est pas n´ecessaire queX etY soient d´efinis sur le mˆeme espace probabilis´e (Ω,F,P). Si X et Y ont mˆeme loi, cela signifie l’´egalit´e des mesures P_X et P_Y d´efinies sur (R^d,Bor(R^d)). Alors pour toute h ∈ M+(R^d), on a l’´egalit´e d’int´egrales R

R^dhdP_X = R

R^dhdP_Y qui grˆace au corollaire 3.19, s’´ecrit aussi Eh(X) =Eh(Y).

Pour la r´eciproque, il suffit de noter que siν₁etν₂sont deux mesures sur (R^d,Bor(R^d)) telles que pour touteh∈M+(R^d),R

R^dhdν₁ =R

R^dhdν₂, alors ν₁ =ν₂, ce qui est ´evident en prenant desh de la forme 1B, o`uB est un bor´elien quelconque de R^d.

Pour clore ce chapitre, nous examinons le calcul d’int´egrales par rapport `a une mesure de Dirac ou `a une s´erie de mesures, avec une application aux variables al´eatoires discr`etes.

Proposition 3.22 (Int´egrale par rapport `a une mesure de Dirac). Soit δ_ω0 la mesure de Dirac au point ω₀ ∈Ω.

∀f ∈M+, Z

Ω

fdδ_ω0 =f(ω₀). (3.35)

D´emonstration. On utilise une nouvelle fois la m´ethode standard en v´erifiant (3.35) successivement pour les indicatrices, les fonctions ´etag´ees, puis les fonctions mesurables positives.

V´erification pour f = 1_A, A ∈ F. D’apr`es (3.2) et la d´efinition d’une mesure de Dirac (cf. Exemple1.1, p. 13),

Z

Ω

1_Adδ_ω0 =δ_ω0(A) =

(1 si ω₀ ∈A

0 si ω₀ ∈/ A =1_A(ω₀) =f(ω₀).

V´erification pour f ∈E+. Soit Pn

i=1y_i1_Ai la d´ecomposition canonique de f. Par d´efini- tion de l’int´egrale sur E+,

Z

Ω

fdδ_ω0 =

n

X

i=1

y_iδ_ω0(A_i) =

n

X

i=1

y_i1_Ai(ω₀) =f(ω₀).

V´erification pour f ∈ M+. Alors f est limite d’une suite croissante (fn) d’´el´ements de E+. Comme (3.35) est vraie dans E+,

∀n ∈N, Z

Ω

f_ndδ_ω0 =f_n(ω₀).

Faisons tendren vers +∞dans cette ´egalit´e. Le premier membre converge versR

Ωfdδ_ω0 par le th´eor`eme de Beppo Levi, le second membre converge vers f(ω₀) par construction def_n. Ainsi f v´erifie elle aussi (3.35).

Proposition 3.23 (Int´egrale par rapport `a une s´erie de mesures). Soient(µ_k)k∈N

une suite de mesures sur le mˆeme espace mesurable (Ω,F) et(ak)k∈N une suite dans R⁺. La fonction d’ensembles

µ:=X

k∈N

a_kµ_k

74 Ch. Suquet,Cours I.F.P.

est une mesure sur (Ω,F) et

∀f ∈M+, Z

Ω

fdµ=X

k∈N

a_k Z

Ω

fdµ_k. (3.36)

D´emonstration. Le fait que µ soit une mesure a d´ej`a ´et´e ´etabli au chapitre 1 (exemple 1.2), en supposant la finitude des mesures µ<sub>k</sub>. Le seul rˆole de cette hypoth`ese ´etait d’´eviter un conflit du type 0×(+∞) lorsque a_k = 0 et µ_k(A) = +∞ qui nous aurait empˆech´e de d´efinir la fonction d’ensemblesa_kµ_k. Ce conflit a ´et´e r´esolu par les conventions arithm´etiques faites au chapitre 2 qui entraˆınent que a_kµ_k est la mesure nulle, que µ_k soit finie ou non. La restriction faite `a l’exemple 1.2 n’a donc plus lieu d’ˆetre et la d´emonstration que µest une mesure peut se recopier telle quelle.

Pour v´erifier (3.36), on fait appel une derni`ere fois<sup>3</sup> `a la m´ethode standard, r´eduite ici `a deux ´etapes.

V´erification pour f ∈E+. Soit Pn

i=1y_i1_Ai la d´ecomposition canonique de f. Par d´efini- tion de l’int´egrale sur E+ et la propri´et´e de sommation par paquets dans R⁺,

Z

Ω

fdµ=

n

X

i=1

y_iµ(A_i) =

n

X

i=1

y_iX

k∈N

a_kµ_k(A_i) = X

k∈N

a_k

n

X

i=1

y_iµ_k(A_i) = X

k∈N

a_k Z

Ω

fdµ_k.

V´erification pour f ∈ M+. Alors f est limite d’une suite croissante (f_n) d’´el´ements de E+. Comme (3.36) est vraie dansE+,

∀n ∈N, Z

Ω

fndµ=X

k∈N

ak

Z

Ω

fndµk. (3.37)

En appliquant le th´eor`eme de Beppo Levi (une infinit´e de fois !), on obtient les conver- gences :

Z

Ω

fndµ↑ Z

Ω

fdµ, et ∀k ∈N, Z

Ω

fndµk ↑ Z

Ω

fdµk. (3.38) Pour obtenir (3.36) par passage `a la limite dans (3.37), il n’y a aucun probl`eme avec le premier membre, grˆace `a la premi`ere des convergences (3.38). Par contre il reste `a justifier le passage `a la limite dans la s´erie. En posant un,k :=ak

R

Ωfndµk et uk :=ak

R

Ωfdµk, on a pour chaquekpar (3.38),u_n,k ↑u_k quandntend vers l’infini. Pour conclure, il suffit alors d’appliquer le lemme suivant dont la preuve n’utilise pas la th´eorie de l’int´egration et a ´et´e vue en T.D.

Lemme 3.24 (Th´eor`eme de Beppo Levi pour les s´eries). Soit (u_n,k; (n, k)∈N²) une suite double dans R+ telle que pour tout k ∈ N, la suite simple (u_n,k)n∈N converge en croissant dans R⁺ vers u_k (u_n,k ↑u_k ≤+∞). Alors

n→+∞lim

+∞

X

k=0

u_n,k =

+∞

X

k=0

u_k.

3Pour ce chapitre. . .

Ch. Suquet,Cours I.F.P. 75

Corollaire 3.25 (Esp´erance d’une variables al´eatoire positive discr`ete). Soit (Ω,F,P) un espace probabilis´e et X une variable al´eatoire positive discr`ete sur (Ω,F).

Alors l’esp´erance de X sous P peut se calculer par EX = X

x∈X(Ω)

xP(X =x). (3.39)

D´emonstration. Une variable al´eatoire positive discr`eteX sur (Ω,F) est une application Ω → R+, telle que X(Ω) soit au plus d´enombrable et X soit mesurable⁴ F-P(R+).

Elle est donc a fortiori mesurable F-Bor(R+). La loi de X sous P est la mesure image PX =P◦X⁻¹ et peut s’´ecrire (cf. Prop. 2.28) comme une s´erie (ou une somme finie si X(Ω) est fini) de mesures :

P_X = X

x∈X(Ω)

P(X =x)δ_x.

en appliquant le th´eor`eme de transfert avec (Ω<sub>1</sub>,F1, µ) = (Ω,F,P),ϕ =X, (Ω<sub>2</sub>,F2, ν) = (R+,Bor(R+), P<sub>X</sub>) et h´egale `al’identit´e sur R+, on obtient :

EX = Z

Ω

XdP = Z

R+

hdP_X.

Num´erotons les ´el´ements de X(Ω) par des indices entiers X(Ω) = {x₀, x₁, . . . , x_k, . . .}.

Par la proposition3.23 avec a_k :=P(X =x_k) et µ_k:=δ_xk et la proposition 3.22, Z

R+

hdPX = X

xk∈X(Ω)

ak

Z

R+

hdδx_k = X

xk∈X(Ω)

P(X =xk)h(xk) = X

xk∈X(Ω)

P(X =xk)xk.

Il ne reste plus qu’`a d´egraisser les notations en oubliant la num´erotation enti`ere deX(Ω) pour obtenir (3.39).

4Cette mesurabilit´e ´equivaut ici `a ∀x ∈ X(Ω), X⁻¹({x}) ∈ F, comme on peut le voir par une adaptation imm´ediate de la preuve du corollaire2.12.

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