154 Ch. Suquet , CoursI.F.P.

Espaces L ^p

Dans tout ce chapitre, (Ω,F, µ) est une espace mesur´e.

6.1 Construction des espaces L

D´efinition 6.1. Soit p ∈ [1,+∞[ et K = R ou C. On note L^p_K(µ) l’ensemble des fonctions f : Ω→K telles que

i) f est mesurable F - Bor(K); ii) R

Ω|f|^pdµ <+∞.

Remarque 6.2. Pourp∈[1,+∞[, la fonctionϕ:R+ →R+,x7→x^pestconvexe¹, ce qui implique notamment que pour tous x, y ≥0,ϕ ^x+y₂

≤ ¹₂ϕ(x) +¹₂ϕ(y). Appliquant cette in´egalit´e avec x=|f(ω)| et y=|g(ω)|, on voit que pour toutes fonctionsf, g : Ω→K,

|f|+|g|

2 p

≤ 1

2|f|^p+ 1 2|g|^p.

On en d´eduit imm´ediatement que sif etg sont dansL^p_K(µ), leur sommef+g y est aussi.

La stabilit´e de L^p_K(µ) sous l’effet de la multiplication par un scalaire ´etant ´evidente, il en r´esulte queL^p_K(µ) est un espace vectoriel de fonctions.

Exemple 6.1. Si Ω =N, F=P(N) et µest la mesure de comptage sur N, on retrouve l’espace bien connu des suites de puissance p-i`eme absolument sommable :

L^p_K(µ) =`^p_K(N) := n

(a_n)n∈N; ∀n ∈N, a_n∈K et

+∞

X

n=0

|a_n|^p <+∞o .

L’id´ee qui est derri`ere l’introduction des espacesL<sup>p</sup> est de fournir une ´echelle permet- tant de quantifier le degr´e de µ-int´egrabilit´e d’une fonction. Intuitivement, le param`etre p sert `a amplifier les grandes valeurs de|f| et l’appartenance de f `a L^p signifie que ces

1La«corde»entre deux points de la courbe est«au dessus»de l’arc de courbe correspondant, ou encore l’image du barycentre est major´ee par le barycentre des images.

grandes valeurs ne p`esent pas trop lourd (relativement `a la mesureµ). Il est souhaitable de compl´eter cette ´echelle d’espaces (L^p, 1 ≤ p < +∞) en lui adjoignant le cas limite p= +∞. Ce cas n´ecessite un traitement particulier.

D´efinition 6.3. Si f : Ω→K est mesurable, on d´efinit sa borne sup´erieure essentielle ess supf := inf{c∈R⁺; |f| ≤c µ-p.p.}.

L^∞_K(µ) est l’ensemble des fonctionsf : Ω→K mesurables telles que ess supf < +∞.

Il ne saute pas aux yeux que le supremum essentiel soit la quantit´e pertinente pour d´efinir le cas limitep= +∞ dans l’´echelle des L^p. Ce choix s’explique par le fait que si f ∈L^r_K(µ) pour au moins unr∈[1,+∞[,

p→+∞lim Z

Ω

|f|^pdµ 1/p

= ess supf.

Ce r´esultat pourra ˆetre vu en exercice.

La manipulation pratique du supremum essentiel est grandement facilit´ee par le r´e- sultat suivant.

Proposition 6.4.

ess supf = min{c∈R+; |f| ≤c µ-p.p.}.

Autrement dit, M = ess supf si et seulement si |f| ≤ M µ-p.p. et pour tout ε > 0, µ(|f|> M−ε)>0.

D´emonstration. Notons B :={c∈R+; |f| ≤c µ-p.p.} et M := infB = ess supf. Nous allons v´erifier que M ∈B, donc que M = minB.

Soitb ∈B, alorsµ-p.p.,|f| ≤b≤cdonc toutc≥best aussi dansB etB ⊃[b,+∞[.

Par cons´equent, B = ∪

b∈B[b,+∞[ est un intervalle, donc B =]M,+∞[ ou B = [M,+∞[.

En tout cas, pour tout n ≥ 1, M + 1/n ∈ B. Soit E_n :={ω ∈ Ω; |f(ω)| ≤M + 1/n}.

Comme M + 1/n ∈ B, µ(E_n^c) = 0. On a clairement {|f| ≤ M} = ∩

n≥1E_n d’o`u par σ-additivit´e de _mu,

µ {|f|> M}

=µ

n≥1∪ E_n^c

≤X

n≥1

µ(E_n^c) = 0.

Ainsi|f| ≤M µ-p.p., donc M ∈B.

Th´eor`eme 6.5 (In´egalit´e de H¨older). Soientp∈]1,+∞[etq tel que ¹_p+¹_q = 1. Pour toutes f, g mesurables positives Ω→R+,

Z

Ω

f gdµ≤ Z

Ω

f^pdµ

1/pZ

Ω

g^qdµ 1/q

. (6.1)

La d´emonstration du th´eor`eme 6.5 repose sur le lemme de concavit´e suivant dont la justification sera donn´ee juste apr`es la preuve du th´eor`eme.

Lemme 6.6. Si p∈]1,+∞[ et q est tel que ¹_p + ¹_q = 1,

∀x, y ∈R+, xy ≤ x^p p + y^q

q . (6.2)

Preuve du th´eor`eme 6.5. Posons A:=

Z

Ω

f^pdµ 1/p

, B :=

Z

Ω

g^qdµ 1/q

.

Traitons d’abord les cas particuliers. Si A= 0, alorsf = 0 µ-p.p. etf g= 0 µ-p.p., donc (6.1) est vraie (idem si B = 0). Si A ou B vaut +∞ avec A, B >0, alors AB= +∞et (6.1) est vraie.

On suppose d´esormais que 0 < A <+∞ et 0< B <+∞. Pour tout ω∈Ω, on peut appliquer le lemme 6.6 avec x=f(ω)/A ety=g(ω)/B :

∀ω ∈Ω, f(ω)g(ω)

AB ≤ 1

pA^pf(ω)^p+ 1

qB^qg(ω)^q. (6.3) En int´egrant (6.3) sur Ω, il vient :

1 AB

Z

Ω

f gdµ≤ 1 pA^p

Z

Ω

f^pdµ+ 1 qB^q

Z

Ω

g^qdµ= 1 p+ 1

q = 1.

On en d´eduit queR

Ωf gdµ≤AB, ce qui ´etablit (6.1).

Preuve du lemme 6.6. Si x = 0 ou y = 0, (6.2) est vraie automatiquement puisque son premier membre est nul. Si x = +∞ ou y = +∞, (6.2) est encore vraie puisque son second membre vaut +∞. Supposons d´esormais que 0 < x, y < +∞. Alors en prenant le logarithme de l’´egalit´e xy = (x^p)^1/p(y^q)^1/q, et en utilisant la concavit´e de la fonction logarithme, il vient

ln(xy) = 1

pln(x^p) + 1

qln(y^q)≤ln 1

px^p+ 1 qy^q

. Par croissance de la fonction exponentielle, on en d´eduit l’in´egalit´e (6.2).

Remarque 6.7 (cas p= 1, q= +∞). Si f etg sont mesurables positives, Z

Ω

f gdµ≤(ess supg) Z

Ω

fdµ. (6.4)

En effet, en posant M := ess supg, la proposition 6.4 nous assure que g ≤ M µ-p.p., donc que f g ≤M µ-p.p. et en int´egrant cette in´egalit´e sur Ω, on obtient (6.4).

Corollaire 6.8. Soient f, g: Ω→K=R ou C, mesurables.

a) Si 1< p <+∞, Z

Ω

|f g|dµ≤ Z

Ω

|f|^pdµ

1/pZ

Ω

|g|^qdµ 1/q

. (6.5)

Il en r´esulte que si f ∈L^p(µ) et g ∈L^q(µ), alors f g∈L¹(µ).

b) Si p= 1, q = +∞,

Z

Ω

|f g|dµ≤(ess supg) Z

Ω

|f|dµ. (6.6)

Preuve. Il suffit de noter que |f g| = |f||g| et d’appliquer aux fonctions mesurables positives|f|et|g| l’in´egalit´e de H¨older dans le cas 1< p <+∞et la remarque6.7 dans le cas p= 1, q= +∞.

Th´eor`eme 6.9 (In´egalit´e de Minkowski). Pour 1< p < +∞ et toutes f, g mesu- rables positives Ω→R⁺,

Z

Ω

(f +g)^pdµ 1/p

≤ Z

Ω

f^pdµ 1/p

+ Z

Ω

g^pdµ 1/p

. (6.7)

Preuve. Soit q l’exposant conjugu´e de p,i.e. l’unique r´eel tel que ¹_p + ¹_q = 1. L’in´egalit´e de H¨older nous fournit les majorations :

Z

Ω

f(f +g)^p−1dµ ≤ Z

Ω

f^pdµ

1/pZ

Ω

(f+g)^(p−1)qdµ 1/q

, Z

Ω

g(f +g)^p−1dµ ≤ Z

Ω

g^pdµ

1/pZ

Ω

(f +g)^(p−1)qdµ 1/q

.

Par addition membre `a membre et en notant que (p−1)q=p, on obtient Z

Ω

(f +g)^pdµ≤

"

Z

Ω

f^pdµ 1/p

+ Z

Ω

g^pdµ 1/p#

Z

Ω

(f +g)^pdµ 1/q

. (6.8) Si 0<R

Ω(f+g)^pdµ <+∞, on en d´eduit (6.7) en divisant par cette int´egrale (1−¹_q = ¹_p).

Si R

Ω(f +g)^pdµ = 0, (6.7) est automatiquement v´erifi´ee. Si R

Ω(f +g)^pdµ = +∞, on utilise l’in´egalit´e de convexit´e (p >1) :

f+g 2

p

≤ 1

2f^p+1 2g^p,

pour voir que n´ecessairement au moins l’une des int´egrales R

Ωf^pdµ ou R

Ωg^pdµ vaut +∞ et qu’ainsi (6.7) est automatiquement v´erifi´ee.

Proposition 6.10 (semi-normes).

a) Pour 1≤p <+∞, on d´efinit une semi-norme sur L^p_K(µ) en posant kfkp :=

Z

Ω

|f|^pdµ 1/p

.

b) Pour p= +∞, on d´efinit une semi-norme sur L^∞_K(µ) en posant kfk∞ := ess supf.

Ce ne sont pas des normes car :

kfk_p = 0 ⇔ f = 0 µ-p.p. (i.e. f ∈ N_K(µ)).

Preuve. Pour le a) comme pour le b), l’homog´en´eit´e (kcfk = |c|kfk) est imm´ediate.

V´erifions la sous-additivit´e (kf +gk ≤ kfk+kgk) dans le cas a). Par croissance sur R+ de la fonction puissance x 7→ x^p, on a |f +g|^p ≤ (|f|+|g|)^p d’o`u R

Ω|f +g|^pdµ ≤ R

Ω(|f|+|g|)^pdµet il ne reste plus qu’`a appliquer l’in´egalit´e de Minkowski aux fonctions mesurables positives |f| et |g|. Pour la sous-additivit´e dans le cas b), remarquons que grˆace `a la proposition 6.4, on a µ-presque partout |f| ≤ kfk∞ et |g| ≤ kgk∞. Ainsi

|f +g| ≤ kfk∞+kgk∞ µ-presque partout et vu la d´efinition du supremum essentiel de f +g, on en d´eduit quekf +gk∞ ≤ kfk∞+kgk∞.

Rappelons queN_K(µ) est l’espace vectoriel des applications Ω→Kqui sont µ-n´egli- geables. Il est clair que c’est un s.e.v. de chaque L^p_K(µ) pour 1≤p≤+∞.

D´efinition 6.11. Pour 1≤p≤+∞, on d´efinit l’espace quotient L^p_K(µ) := L^p_K(µ)/N_K(µ)

des classes de fonctions de puissance p-i`eme µ-int´egrable (ou µ-essentiellement born´ees sip= +∞) modulo l’´egalit´eµ-p.p.. La semi-norme k k_p surL^p devient une vraie norme sur L^p par ce passage au quotient.

Sauf mention explicite du contraire, l’espace vectoriel L^p

K(µ) sera toujours muni de la norme k k_p d´efinie ci-dessus. En particulier si 1 ≤ p < +∞, la convergence dans L^p(µ) de la suite ϕn vers ϕ a la traduction suivante :

ϕ_n ^L

p(µ)

−−−−→

n→+∞ ϕ ⇔ lim

n→+∞

Z

Ω

|ϕ_n−ϕ|^pdµ= 0.

Remarque 6.12. Dans le cas particulier o`uµest une mesure telle que pour toutω ∈Ω, µ({ω})>0, la nullit´eµ-presque partout ´equivaut `a la nullit´e partout etN_K(µ) se r´eduit

`

a {0} (singleton fonction nulle). Alors kfk_p et kfk∞ sont d´ej`a des normes sur L<sup>p</sup><sub>K</sub>(µ) (1≤p≤+∞) et les espacesL<sup>p</sup><sub>K</sub>(µ) et L<sup>p</sup><sub>K</sub>(µ) sont les mˆemes<sup>2</sup>. Cette situation se produit notamment pour les les espaces `^p(N) et `^∞(N).

2Notons aussi que dans ce cas, le supremum essentiel et le supremum co¨ıncident.

Th´eor`eme 6.13 (convergence domin´ee dans L^p, 1 ≤ p < +∞). Soit (f_n)n∈N une suite de fonctions mesurables Ω→K. On suppose que

a) f_n −−−−→^µ-p.p.

n→+∞ f.

b) Il existe g ∈L^p(µ) telle que pour tout n, |f_n| ≤g µ-p.p..

Alors la classe de f appartient `a L^p_K(µ)et f_n tend vers f au sens L^p, i.e. kf_n−fk_p tend vers 0.

Attention, ce th´eor`eme serait grossi`erement faux avec p = +∞. Voici un contre- exemple : Ω = [0,1],F = Bor([0,1]), µ=λ, f_n=1_[1/n,2/n] (n≥2) et f = 0.

Preuve. Soit Ω⁰ := {ω ∈ Ω; f_n(ω) → f(ω)}. Par une argumentation d´ej`a vue lorsque nous avons ´etabli le th´eor`eme de convergence domin´ee classique, on sait que Ω⁰ ∈F et queµ(Ω^0c) = 0. On d´efinit alors la suite des fonctions mesurables positives

h_n :=

(|f_n−f|^p sur Ω⁰

0 sur Ω^0c

et on obtient la conclusion en appliquant `a (h<sub>n</sub>) le th´eor`eme de convergence domin´ee classique avec pour fonction dominante 2^pg^p.

Th´eor`eme 6.14. Pour 1 ≤ p ≤ +∞, L^p_K(µ) est un espace vectoriel norm´e complet, c’est donc un espace de Banach.

Preuve dans le cas 1≤p < +∞. Soit (ϕ_n)_n∈N une suite de Cauchy dans L^p

K(µ). Pour chaque classe d’´equivalence ϕ_n, fixons l’un de ses repr´esentants dansL^p_K(µ) et notons le f_n. La propri´et´e de Cauchy se traduit alors par :

∀ε >0, ∃N(ε)∈N^∗, ∀j, k ≥N(ε), kf_j−f_kk_p < ε. (6.9) Nous allons extraire une sous-suite³ (f_ni)i∈N telle que

∀n≥n_i, kf_n−f_nik_p <2⁻ⁱ. (6.10) En particulier on a

∀i∈N, kf_ni+1−f_nik_p <2⁻ⁱ. (6.11) L’extraction de la sous-suite (f_ni)_i∈N repose sur (6.9) en prenant (pour ε= 2⁻ⁱ)

n₀ :=N(1) et pour i≥1, n_i := 1 + max n_i−1, N(2⁻ⁱ) .

Posons d´esormais pour all´eger g_i :=f_ni. La d´ecomposition en somme t´el´escopique g_j =g₀ +

j

X

i=1

(g_i−gi−1)

3La suite (ni)_i∈Nd’indices extraits est donc strictement croissante :∀i∈N,ni< ni+1.

nous fournit l’in´egalit´e

|g_j| ≤ |g₀|+

j

X

i=1

|g_i −g_i−1|=:h_j. (6.12) La suite de fonctions mesurables positives (h_j) ainsi d´efinie est croissante, notons h sa limite. Par croissance et continuit´e de la fonction x7→x^p sur R+, on ah^p_j ↑h^p et par le th´eor`eme de Beppo Levi et la continuit´e sur R⁺ de la fonctionx7→x^1/p, on en d´eduit :

kh_jk_p ↑ Z

Ω

|h|^pdµ 1/p

(j →+∞). (6.13)

A ce stade, il n’est pas exclu que cette limite de` kh_jk_p soit +∞.

Par ailleurs la d´efinition de hj et l’in´egalit´e de Minkowski nous procurent la majora- tion :

kh_jk_p ≤ kg₀k_p+

j

X

i=1

kg_i−gi−1k_p

≤ kg₀k_p+

j

X

i=1

2⁻ⁱ

≤ kg₀k_p+

+∞

X

i=1

2⁻ⁱ =kg₀k_p+ 1.

Ce majorant de khjkp ´etant valable pour tout j, on en d´eduit en faisant tendre j vers +∞ et en tenant compte de (6.13) que

Z

Ω

|h|^pdµ 1/p

≤ kg₀k_p+ 1 <+∞.

Il en r´esulte queh^p estµ-int´egrable, donc quehest finieµ-presque partout sur Ω. Comme h_j ≤ h, on en d´eduit que la s´erie de sommes partielles g_j = g₀ +Pj

i=1(g_i −gi−1) est absolument convergente µ-p.p. sur Ω. Notons g sa somme⁴. La suite (g_j) converge µ- p.p. vers g et est domin´ee µ-p.p. par h ∈ L^p puisque |gj| ≤ hj ≤ h. Le th´eor`eme de convergence domin´ee dans L^p nous donne alors :

kg_j−gk_p −−−−→

j→+∞ 0.

On en d´eduit en proc´edant comme suit, que

kf_n−gk_p −−−−→

j→+∞ 0.

4A priori d´efinie seulementµ-p.p., mais il suffit de prendregnulle sur l’ensemble de mesure nulle o`u la s´erie n’est pas absolument convergente pour queg soit mesurable et limiteµ-p.p.degj.

Soit ε >0 fix´e. Il existe i₀ tel que 2⁻ⁱ⁰ < ε. Comme g_j tend vers g dans L^p, il existe un i1 ≥i0 tel que kgi1 −gkp < ε. Alors par (6.10), nous avons

∀n≥n_i1, kf_n−f_ni

1k_p =kf_n−g_i1k_p <2⁻ⁱ¹ ≤2⁻ⁱ⁰ < ε.

Ainsi pour tout ε >0, on peut trouvern_i1(ε) tel que pour toutn ≥n_i1,kf_n−gk_p <2ε, autrement ditf_nconverge versgau sens L^p. En notantϕ∈L^p

K(µ) la classe d’´equivalence de g ∈ L^p_K(µ), on a donc la convergence vers z´ero de kϕn − ϕkp, autrement dit la convergence de ϕ_n vers ϕ dans l’espace L^p

K(µ).

Partis d’une suite de Cauchy quelconque dans L^p(µ), nous avons montr´e qu’elle converge dans cet espace. La compl´etude de L^p(µ) est ´etablie.

Corollaire 6.15. Si pour un p∈ [1,+∞[, la suite (f_n) converge vers f au sens L^p(µ), on peut en extraire une sous-suite (f_ni) qui converge µ-p.p. vers f.

Ecrit avec l’abus de langage traditionnel, cet ´´ enonc´e signifie bien sˆur qu’apr`es avoir choisi dans chaque classe f<sub>n</sub> un repr´esentant (une vraie fonction not´ee encore f<sub>n</sub> et appartenant `aL^p(µ)), on peut extraire de cette suite de vraies fonctions une sous-suite qui converge µ-p.p. vers un repr´esentant de f.

Preuve. La suite (f_n) converge dans l’espace m´etrique L^p donc est de Cauchy. La sous- suite (de vraies fonctions) (f_ni) construite dans la preuve du th´eor`eme 6.14 converge µ-p.p.et au sens L^p vers une certaine fonctiong qui est aussi dans L^p. Pour v´erifier que f =g ( µ-p.p.), il suffit d’´ecrire

kf −gk_p ≤ kf −f_nik_p+kf_ni −gk_p.

Quandi tend vers l’infini, ce majorant tend vers 0, d’o`u kf −gk_p = 0.

Preuve du th´eor`eme 6.14 dans le cas p= +∞. Soit (ϕ_n) une suite de Cauchy dans L^∞_K(µ).

Choisissons dans chaque classe ϕ_n un repr´esentant not´ef_n (une vraie fonction apparte- nant `a L^∞_K(µ)). On a donc

∀ε >0, ∃N(ε), ∀k, l≥N(ε), ess sup(f_k−f_l)< ε.

Grˆace `a la proposition 6.4, nous en d´eduisons que

∀ε >0, ∃N(ε), ∀k, l≥N(ε), |f_k−f_l|< ε µ-p.p. (6.14) Pour ´eviter la confrontation avec une r´eunion non d´enombrable d’ensembles de mesure nulle, discr´etisons le ε en prenant disons ε_i = 2⁻ⁱ, i∈N. Posons N_i :=N(ε_i) et

A_i,k,l :=

ω ∈Ω; |f_k(ω)−f_l(ω)|< ε , A_i := ∩

k,l≥N_iA_i,k,l, Ω⁰ := ∩

i∈N

A_i.

Par (6.14), on a µ(A^c_i,k,l) = 0 pour tout i ∈ N et tous k, l ≥ N_i. On en d´eduit suc- cessivement par sous-σ-additivit´e de µ que µ(A^c_i) = 0 et µ(Ω^0c) = 0. Nous avons donc maintenant :

∀ω ∈Ω⁰, ∀i∈N, ∀k, l ≥N_i, |f_k(ω)−f_l(ω)|< ε_i. (6.15)

Autrement dit, pour toutω ∈Ω⁰, la suite f_n(ω)

est de Cauchy. CommeKest complet, cette suite converge dans K. Posant alors

f(ω) :=

( lim

n→+∞f_n(ω) si ω∈Ω⁰, 0 si ω /∈Ω⁰,

on d´efinit une fonction mesurable f : Ω → K et fn converge µ presque partout vers f. Cette fonction f appartient `a L<sup>∞</sup><sub>K</sub>(µ). En effet elle est nulle en dehors de Ω<sup>0</sup> et pour ω ∈ Ω<sup>0</sup>, on a pour tout n ≥ N<sub>0</sub>, |f<sub>n</sub>(ω)−f<sub>N0</sub>(ω)| < ε<sub>0</sub>, d’o`u |f_n(ω)| <|f_N0(ω)|+ε₀ et en faisant tendre n vers l’infini,|f(ω)| ≤ |fN0(ω)|+ε0. CommefN0 ∈L^∞_K(µ), en posant Ω⁰⁰ := Ω⁰ ∩ {ω ∈ Ω; |f_N0(ω)| ≤ ess supf_N0}, on a µ(Ω^00c) = 0 et pour tout ω ∈ Ω⁰⁰,

|f(ω)| ≤ess supf_N0 +ε₀ et ce majorant fini ne d´epend pas de ω.

Cette fonction f est notre candidate pour ˆetre la limite au sens L^∞ de la suite de Cauchy (fn). Pour v´erifier cette convergence L^∞, on d´eduit de (6.15) en faisant tendre l vers +∞ que

∀ω ∈Ω⁰, ∀i∈N, ∀k ≥N_i, |f_k(ω)−f(ω)| ≤ε_i. (6.16) Comme µ(Ω^0c) = 0, l’in´egalit´e|f_k(ω)−f(ω)| ≤ε_i vraie sur Ω⁰ implique ess sup(f_k−f)≤ ε_i. Ainsi la convergence L^∞def_nvers f r´esulte de (6.16). En notantϕ ∈L^∞

K(µ) la classe de f ∈ L^∞_K(µ), on a ainsi ´etabli la convergence vers ϕ dans l’espace L^∞_K(µ) de la suite de Cauchy (ϕ_n). Comme la suite de Cauchy (ϕ_n) ´etait quelconque, l’espace L^∞_K(µ) est complet.

Remarque 6.16. Le corollaire 6.15 a ´et´e ´enonc´e avec 1 ≤p < +∞. Pour p= +∞on a un meilleur r´esultat. Si f_n converge vers f au sens L^∞, c’est toute la suite (f_n) (et non pas seulement une sous-suite) qui convergeµ-p.p.versf. On peut voir ce r´esultat comme un sous-produit de la preuve du cas p= +∞ci-dessus, ou le d´emontrer directement (en exercice) en s’inspirant de la technique de discr´etisation du ε utilis´ee ci-dessus.

6.2 Comparaison des L

Il n’y a pas de relations g´en´erales d’inclusion entre les L^p(µ), ind´ependantes de l’es- pace mesur´e (Ω,F, µ). Pour s’en convaincre, prenons pour espace mesur´e (R,Bor(R), λ) et comparons les espaces L¹(λ) et L²(λ). Soient les fonctions

f(x) = 1

√x1_]0,1](x) et g(x) = 1

x1[1,+∞[(x).

On voit imm´ediatement quef appartient `a L<sup>1</sup>(λ), mais pas `a L²(λ) tandis que g appar- tient `a L<sup>2</sup>(λ) mais pas `a L¹(λ). Ainsi, aucun des deux espaces L¹(λ) et L²(λ) n’est inclus dans l’autre.

Dans le cas d’une mesurefinie µ, le paysage est beaucoup plus agr´eable. Les espaces L^p(µ) sont alors emboˆıt´es dans l’ordre inverse de leurs exposants et, ce qui est bien plus important, on a des inclusions topologiques.

D´efinition 6.17. Soient (E,k k_E) et (F,k k_F) deux espaces vectoriels norm´es. On dit que E est inclus topologiquement dans F (notation E ,→F) si

a) E ⊂F;

b) l’injection canonique J :E →F, x7→x est continue.

La condition b) ´equivaut `a l’existence d’une constante C <+∞ telle que

∀x∈E, kxk_F ≤Ckxk_E.

Une cons´equence pratique de l’inclusion topologique deE dansF est que si une suite x_n converge versx dansE (i.e. kx_n−xk_E →0), alors elle converge aussi dans F vers la mˆeme limite (i.e. kx_n−xk_F →0).

Th´eor`eme 6.18. Si µ est une mesure finie, on a pour 1≤p≤ r≤ +∞ les inclusions topologiques

L^∞(µ),→L^r(µ),→L^p(µ),→L¹(µ).

Preuve. Il suffit de montrer les deux premi`eres inclusions topologiques, la troisi`eme n’´etant qu’un cas particulier de la seconde.

Pour l’inclusion L^∞(µ) ,→ L^r(µ), soit f ∈L^∞(µ) et M := ess supf. Alors |f| ≤ M µ-p.p.d’o`u

∀r∈[1,+∞[, Z

Ω

|f|^rdµ 1/r

≤ Z

Ω

M^rdµ 1/r

=M µ(Ω).

En passant aux classes d’´equivalence modulo l’´egalit´e µ-p.p., on en d´eduit que

∀f ∈L^∞(µ), kfk_r ≤µ(Ω)kfk∞.

Comme µ(Ω)<+∞, ceci ´etablit l’inclusion topologique de L^∞(µ) dans L^r(µ).

Pour la deuxi`eme inclusion, fixons 1 ≤ p ≤ r < +∞ et soit f mesurable Ω → K. Notonsaetbdeux exposants conjugu´es (<sup>1</sup><sub>a</sub>+<sup>1</sup><sub>b</sub> = 1) `a pr´eciser ult´erieurement. L’in´egalit´e de H¨older appliqu´ee au produit F Gavec F =|f|^p etG= 1 nous donne :

Z

Ω

|f|^pdµ≤ Z

Ω

|f|^padµ

1/aZ

Ω

1^bdµ 1/b

=µ(Ω)^1/b Z

Ω

|f|^padµ 1/a

.

Cette in´egalit´e est vraie pour touta≥1. Choisissantade sorte quepa=r, on en d´eduit par croissance surR⁺ dex7→x^1/p,

Z

Ω

|f|^pdµ 1/p

≤µ(Ω)^1/(pb) Z

Ω

|f|^rdµ 1/r

. (6.17)

On peut se d´ebarasser de l’exposantben notant que _pa¹ +_pb¹ = ¹_p d’o`u _pb¹ = ¹_p−_pa¹ = ¹_p−¹_r. Prenant maintenant f quelconque dans L^r(µ) et passant aux classes d’´equivalence pour l’´egalit´e µ-p.p., on d´eduit de (6.17) que :

∀f ∈L^r(µ), kfk_p ≤µ(Ω)^1/p−1/rkfk_r, ce qui ´etablit l’inclusion topologique de L^r(µ) dans L^p(µ).

6.3 Th´ eor` emes de densit´ e

Th´eor`eme 6.19. Notons E l’espace des fonctions mesurables ´etag´ees h: Ω → K telles que

µ({ω ∈Ω; h(ω)6= 0})<+∞.

Pour 1≤p <+∞, E est dense dans L^p(µ).

L’´ecriture de cet ´enonc´e sacrifie une fois de plus `a l’abus de langage traditionnel. Il faut bien sˆur comprendre la conclusion comme «l’ensemble des classes des ´el´ements de E est dense dans L^p(µ)».

D´emonstration. D’abord il est ´evident que E est un s.e.v. de L^p_K(µ). Soit ϕ ≥ 0 dans L^p(µ) et f un repr´esentant de ϕ. On a donc f ≥ 0, µ-p.p.. Quitte `a modifier f sur un ensemble de mesure nulle, donc sans changer sa classeϕ, on peut supposerf ≥0 partout.

On sait qu’il existe alors une suite croissanteh_nde fonctions ´etag´ees mesurables positives qui converge partout vers f sur Ω. Les in´egalit´es 0 ≤hn≤f impliquent l’appartenance des h_n `aL^p_K(µ). Sim_n >0 est la plus petite valeur non nulle prise par la fonction ´etag´ee h_n, l’in´egalit´e de Markov nous permet d’´ecrire :

µ({ω∈Ω; h_n(ω)6= 0}) = µ({ω∈Ω; h_n(ω)≥m_n}) = µ({ω ∈Ω; h_n(ω)^p ≥m^p_n})

≤ 1 m^pn

Z

Ω

h^p_ndµ

≤ 1 m^pn

Z

Ω

f^pdµ <+∞.

On voit ainsi que les hn sont dans E. D’autre part le th´eor`eme de convergence domin´ee dans L^p nous donne la convergence de h_n vers f au sensL^p :

n→+∞lim kf−h_nk_p = 0.

Le casf `a valeurs r´eelles se d´eduit du casf ≥0 par d´ecompositionf =f<sup>+</sup>−f<sup>−</sup>. Le cas complexe se ram`ene au cas r´eel par s´eparation des parties r´eelle et imaginaire.

Corollaire 6.20. Pour 1≤ p <+∞ et 1 ≤r <+∞, l’espace L^p(µ)∩L^r(µ) est dense dans chacun des espaces L^p(µ) et L^r(µ) pour la topologie correspondante.

D´emonstration. Comme E est un sous-espace de tous les L^p pour 1 ≤ p < +∞, c’est aussi un sous-espace de L^p(µ)∩L^r(µ). Il suffit alors d’appliquer le th´eor`eme 6.19 dans L^p puis dans L^r.

Nous discutons maintenant la densit´e d’espaces de fonctions continues dans les L^p. Bien sˆur, cela suppose Ω muni d’une topologie. Nous nous limiterons au cas des espaces m´etriques.

Th´eor`eme 6.21. SoitE un espace m´etrique et µune mesure finie sur(E,Bor(E)). On note Cb(E) l’espace des fonctions continues born´ees E →K. Pour 1≤ p <+∞, Cb(E) est dense dans L^p_K(µ).

D´emonstration. La mesureµ´etant finie, toute fonction mesurable born´ee est dansL^p_K(µ).

On a donc l’inclusion ensembliste Cb(E) ⊂ L^p(µ). Comme dans la preuve du th´eo- r`eme6.19, il suffit de montrer que toute fonction positivef deL^p_K(µ) peut ˆetre approch´ee

`

a ε pr`es en distance L<sup>p</sup> par une fonction continue born´ee. En raison du th´eor`eme 6.19, il suffit de le prouver lorsque f est ´etag´ee positive. Par combinaison lin´eaire finie et in´egalit´e triangulaire, la r´eduction ultime du probl`eme est l’approximation en distance L<sup>p</sup> de f = 1<sub>A</sub> pour A bor´elien par une fonction continue. Rappelons un r´esultat d´ej`a d´emontr´e en exercice (cf. Annales I.F.P 2001-2002, D.M. n^o2).

Lemme 6.22. Si E est un espace m´etrique, toute mesure finie µ sur (E,Bor(E)) est r´eguli`ere, ce qui signifie que pour tout bor´elien A,

µ(A) = sup{µ(F); F ferm´e ⊂A};

µ(A) = inf{µ(V); V ouvert ⊃A}.

Par le lemme 6.22, pour ε positif fix´e, il existe un ferm´e F et un ouvert V tels que F ⊂ A ⊂ V et µ(A)−ε^p/2 ≤ µ(F) ≤ µ(V) ≤ µ(A) +ε^p/2. Comme µ est finie, on en d´eduit µ(V \F) = µ(V)−µ(F) ≤ ε^p. Admettons provisoirement l’existence d’une fonction continueg telle que 0≤g ≤1, nulle en dehors deV et de valeur constante 1 sur F. Ce point fait l’objet du lemme 6.23 ci-dessous (appliqu´e avec le ferm´e H =E\V).

Ainsi, f =g = 1 surF, 0≤g ≤f = 1 surA\F, 0 =f ≤g ≤1 sur V \A etf =g = 0 sur V^c (dans le cas particulier o`u E = V, cette derni`ere condition est sans objet et il suffit de prendre pour g la fonction constante 1 surE). On en d´eduit

Z

Ω

|f −g|^pdµ= Z

V\F

|f−g|^pdµ≤ Z

V\F

1^pdµ=µ(V \F)≤ε^p, d’o`u kf−gk_p ≤ε.

Lemme 6.23. Soient F et H deux ferm´es disjoints non vides d’un espace m´etrique E.

Il existe une fonction continue g : E → R+ telle que 0 ≤ g ≤ 1, g = 1 sur F et g = 0 sur H.

D´emonstration. Rappelons la d´efinition de la distance d’un point x `a un ferm´e F non vide dans un espace m´etrique (E, d) :

d(x, F) := inf

y∈Fd(x, y).

Il est bien connu que d(. , F) est continue et que d(x, F) = 0 si et seulement si⁵ x∈F. D´efinissons alors g par

g(x) := d(x, H)

d(x, H) +d(x, F), x∈E.

Le d´enominateur ne peut ˆetre nul que si d(x, F) = d(x, H) = 0. Or F et H ´etant ferm´es, cette ´egalit´e implique x ∈ F ∩H, ce qui est impossible puisque F et H sont

5QuandF est ferm´e. Dans le casF quelconque,d(x, F) = 0 ´equivaut `a x∈F.

disjoints. La fonction g apparaˆıt ainsi comme le quotient de deux fonctions continues avec d´enominateur ne s’annulant en aucun point deE. Elle est donc continue sur E. On v´erifie imm´ediatement que 0≤g ≤1, et que six∈F,g(x) = 1, si x∈H,g(x) = 0.

Notre prochain th´eor`eme de densit´e concerne l’approximation en distance L<sup>p</sup> par des fonctions continues `a support compact. Rappelons que si f est une fonction de l’espace topologique E dans R ou C, le support de f est la fermeture de l’ensemble {x ∈ E;

f(x)6= 0}. Ainsi une fonction `a support compact K est nulle en tout point deE\K. . . s’il en existe ! En particulier si E est lui mˆeme compact, toute fonction sur E est `a support compact.

Th´eor`eme 6.24. Supposons que l’espace m´etrique E est localement compactet r´eunion d’une suite croissante de compacts. Notons Cc(E) l’espace des fonctions continues E → K, `a support compact. Soit µ une mesure finie sur (E,Bor(E)). Pour 1 ≤ p < +∞, Cc(E) est dense dans L^p_K(µ).

D´emonstration. Par hypoth`ese, il existe une suiteK<sub>n</sub> de compacts croissante pour l’in- clusion et de r´eunionE. On effectue la mˆeme r´eduction du probl`eme que dans la preuve du th´eor`eme 6.21 en se ramenant au cas f = 1_A, pour A bor´elien quelconque. On re- marque alors que si A_n :=A∩K_n,A_n ↑Aet donc par continuit´e s´equentielle croissante de µ, µ(A_n)↑µ(A). Comme

k1_A−1_Ank_p =µ(A\A_n)^1/p = µ(A)−µ(A_n)1/p

−−−−→

n→+∞ 0,

il suffit de montrer l’approximation `a ε pr`es en distance L^p de 1_An par une fonction continue `a support compact. En proc´edant comme dans la preuve du th´eor`eme 6.21, on trouve F ferm´e et V ouverts tels que F ⊂A_n ⊂V et µ(V \F)≤ ε^p. Notons que F est maintenant compact comme ferm´e dans le compactK_n. Par contre on ne peut rien dire de l’´eventuelle compacit´e de V. Et c’est bien ennuyeux car si on d´efinit g comme dans la preuve du th´eor`eme 6.21, on ne pourra garantir qu’elle soit `a support compact. On se tire de ce mauvais pas grˆace au lemme suivant dont la preuve est l´eg`erement diff´er´ee.

Lemme 6.25. Soit E un espace m´etrique localement compact, K un compact de E et V un ouvert contenant K. Alors il existe W ouvert de fermeture compacte tel que K ⊂W ⊂W ⊂V.

Appliquons ce lemme avec le compact K = F et l’ouvert V. On obtient un ouvert W de fermeture compacte tel que F ⊂ W ⊂ W ⊂ V. Nous ne pr´etendons pas que A_n est inclus dans W. ´Ecartant provisoirement le cas particulier W^c =∅, on d´efinit alors

g(x) := d(x, W^c)

d(x, W^c) +d(x, F), x∈E.

C’est bien une fonction continue (car les ferm´es F etW^c sont disjoints), nulle en dehors de W, donc `a support inclus dans le compact W. On a g = 1 = f sur F et g =f = 0 sur V^c. Sur V \F, f et g sont encadr´ees par 0 et 1 donc |f−g| ≤1. On en d´eduit que kf −gk_p ≤µ(V \F)^1/p ≤ε.

Dans le cas particulier o`u W<sup>c</sup> =∅, on a W =E, donc E est compact et la fonction constanteg = 1 surEest `a support compact. On a aussikf−gkp ≤µ(V \F)^1/p≤ε.

Preuve du lemme 6.25. Traitons d’abord le cas o`uV 6=E et donc V^c 6=∅. Posons δ := inf

x∈Kd(x, V^c).

Par compacit´e de K et continuit´e de d(. , V^c), cet infimum est un minimum : il existe x0 ∈K tel que δ=d(x0, V^c). Les ferm´esK et V^c ´etant disjoints, δ=d(x0, V^c)>0.

Par locale compacit´e de E, tout x∈E poss`ede un voisinage ouvert U_x de fermeture compacte. D´efinissons alors les ouverts

W_x :=B(x, δ/2)∩U_x, x∈K.

Ainsi W_x est un voisinage ouvert de x, de fermeture compacte puisque W_x est ferm´e dans le compactU_x. Le compact K est recouvert par la famille d’ouverts{W_x, x∈K}, dont on peut extraire un recouvrement fini :

K ⊂Wx1 ∪ · · · ∪Wxm =:W.

W est un ouvert comme union finie d’ouverts. W est compact car ferm´e et inclus dans W_x1 ∪ · · · ∪W_xm qui est compact comme union finie de compacts. Il reste `a v´erifier l’inclusion de W dans V. Prenons y quelconque dans W. L’inclusion

W ⊂

m

[

i=1

B(xi, δ/2)

nous fournit unx_i tel qued(x_i, y)≤δ/2. Pour tout z deV^c, l’in´egalit´e triangulaire nous donne alors la minoration

d(y, z)≥d(x_i, z)−d(x_i, y)≥δ−δ/2 =δ/2.

En prenant la borne inf´erieure pour z d´ecrivant V^c, on en d´eduit d(y, V^c) ≥ δ/2 > 0.

Ainsiy n’appartient pas `a V^c donc il est dans V. Le raisonnement ´etant valable poury quelconque dansW, l’inclusion W ⊂V est ´etablie.

Pour compl´eter la preuve du lemme, il reste `a examiner le cas o`u V^c = ∅ et donc V = E. Il suffit alors de modifier la d´efinition de W_x en W_x := U_x, l’inclusion W ⊂ V

´etant maintenant triviale.

Th´eor`eme 6.26. Soit λ la mesure de Lebesgue sur R<sup>d</sup>. Pour 1 ≤ p < +∞, l’espace Cc(R<sup>d</sup>) des fonctions continues R<sup>d</sup> →K, `a support compact est dense dans L^p

K(λ).

D´emonstration. Grˆace au th´eor`eme 6.19, il suffit de montrer que si A est un bor´elien tel que λ(A) < +∞, on peut approcher 1<sub>A</sub> en distance L<sup>p</sup> `a ε pr`es par une fonction g continue `a support compact. On peut encore r´eduire la probl`eme en se ramenant au

cas o`u A est un bor´elien born´e<sup>6</sup>. En effet, posons A<sub>n</sub> = A∩[−n, n]<sup>d</sup>. Par continuit´e s´equentielle croissante de λ, λ(An) ↑ λ(A). Comme λ(A) est fini, on a pour n assez grand, 0 ≤λ(A)−λ(A<sub>n</sub>)≤ε<sup>p</sup> et λ(A\A<sub>n</sub>)≤ε<sup>p</sup> d’o`uk1_A−1_Ank_p ≤ε.

Dans la suite, nous supposons doncA born´e, disons A ⊂C:= [−a, a]^d.

Prenons pour espace m´etrique E =]−(a+ 1), a+ 1[, muni de la distance euclidienne (ou de n’importe quelle distance associ´ee `a une norme sur R^d) et pour µ la (restriction

`

a la tribu bor´elienne de E de la) mesure `a densit´e 1C par rapport `a λ. Par r´egularit´e de la mesure finie µ, on peut trouver F ferm´e et V ouvert de E tels que F ⊂ A ⊂ V et µ(V\F)≤ε^p. Notons au passage que commeEest ouvert deR^d,V est aussi ouvert dans R^d. De plus commeµ(E\C) = 0, on peut toujours remplacerV parV∩]−a−δ, a+δ[^d pour 0< δ <1. Dans la suite nous supposerons doncV ⊂]−a−δ, a+δ[^d pour unδ qui sera pr´ecis´e ult´erieurement. Ce remplacement n’a pas affect´e l’inclusion A⊂V puisque A est inclus dansC et que les points ´eventuellement ´elimin´es sont tous hors de C. Nous avons donc maintenant :

F ⊂A⊂V ⊂]−a−δ, a+δ[^d.

En reprenant la construction de g dans la preuve du th´eor`eme 6.24, on obtient une fonction continue g :E → [0,1] `a support compact inclus dans V et telle que R

E|1_A− g|^pdµ ≤ ε^p. Remarquons que g est nulle sur ∆ := {x ∈ R^d; a +δ < |x_i| ≤ a+ 1, 1 ≤ i ≤ d}. Ainsi il est clair qu’en posant g(x) := 0 pour x ∈ R^d \ E, on a un prolongement continu de g `a toutR^d, sans modifier le support.

En notantC_δ :=]−a−δ, a+δ[^d, nous avons alors Z

R^d

|1_A−g|^pdλ = Z

C

|1_A−g|^pdλ+ Z

Cδ\C

|1_A−g|^pdλ

= Z

E

|1_A−g|^pdµ+ Z

Cδ\C

|1_A−g|^pdλ

≤ ε^p+λ(C_δ\C).

On voit imm´ediatement que λ(C_δ\C) = (2a+ 2δ)^d−(2a)^d peut ˆetre rendu inf´erieur

`

a ε^p en choisissant δ suffisamment petit. Ce choix ´etant fait, nous avons donc ´etabli l’existence de g continue surR^det `a support compact telle quek1<sub>A</sub>−gk<sub>p</sub> ≤2<sup>1/p</sup>ε, ce qui ach`eve la d´emonstration.

6.4 Dualit´ e

Le dualtopologique d’un espace vectoriel norm´e est l’espace des formes lin´eairesconti- nues sur cet espace. En dimension infinie, une forme lin´eaire n’est pas automatiquement continue et il convient donc de distinguer dual topologique et dual alg´ebrique.

6Tout bor´elien born´e a une mesure de Lebesgue finie, mais la r´eciproque est fausse :Qest de mesure nulle mais pas born´e.

Proposition 6.27. Soit p∈[1,+∞[ et q son exposant conjugu´e ¹_p +¹_q = 1. Pour g fix´e dans L^q_K(µ), l’application

Φ : L^p

K(µ)→K, f 7→Φ(f) :=

Z

Ω

f gdµ

est une forme lin´eaire continue sur L^p_K(µ). Si 1 < p < +∞, la norme de Φ est ´egale `a kgk<sub>q</sub>. Sip= 1 (et donc q = +∞) et si la mesure µ est σ-finie, la norme de Φ est kgk<sub>∞</sub>. D´emonstration. D’abord Φ est bien d´efinie puisque d’apr`es l’in´egalit´e de H¨older

Z

Ω

|f g|dµ≤ kfk_pkgk_q <+∞.

On d´eduit imm´ediatement de cette in´egalit´e que

∀f ∈L^p(µ), |Φ(f)|= Z

Ω

f gdµ ≤

Z

Ω

|f g|dµ≤ kfk_pkgk_q.

Ceci montre que Φ est continue et que sa norme (dans l’espace des applications lin´eaires continues de L^p_K(µ) dansK) v´erifie

kΦk ≤ kgk_q. (6.18)

Cas 1 < p < +∞. Si g = 0 (le z´ero de L^q, i.e. tout repr´esentant de g est une fonction nulleµ p.p.), Φ est la forme lin´eaire nulle donc sa norme est 0 =kgk_q. En dehors de ce cas particulier,kgkq>0. Choisissons un repr´esentant de g (not´e encoreg) et d´efinissons la fonction f par

f =h|g|^q−1, o`u h(ω) =





 g(ω)

|g(ω)| si g(ω)6= 0, 0 si g(ω) = 0.

(6.19)

L’exposant q ´etant le conjugu´e de p, v´erifie q = p(q−1), d’o`u |f|<sup>p</sup> = |g|<sup>p(q−1)</sup> = |g|<sup>q</sup>. L’appartenance def`a L^p(µ) d´ecoule ainsi de celle deg`a L^q(µ). En outrekfkp =kgk^q/pq >

0. Calculons maintenant Φ(f) : Φ(f) =

Z

Ω

f gdµ= Z

{g6=0}

¯ g

|g||g|^q−1gdµ= Z

{g6=0}

gg|g|¯ ^q−2dµ= Z

Ω

|g|^qdµ=kgk^q_q. On en d´eduit la minoration

kΦk ≥ |Φ(f)|

kfk_p =kgk^q−q/p_q =kgkq

qui avec (6.18) entraˆınekΦk=kgk_q.

Cas p= +∞etµ σ-finie.Le cas particulierkgk∞´etant imm´ediat, on supposekgk∞ >0 et on fixe un repr´esentant de g. D´efinissons pour 0 < ε <kgk∞

A_ε:={ω∈Ω; kgk∞−ε≤ |g(ω)| ≤ kgk∞}.

D’apr`es la d´efinition du supremum essentiel deg,µ(A_ε) est strictement positif. La mesure µ´etant σ-finie, il existeB_ε∈F tel que 0< µ(B_ε)<+∞ etB_ε⊂A_ε. Soit alors

f_ε:= 1_Bε µ(B_ε)h,

o`uhest d´efinie comme dans (6.19). Clairement,f_ε ∈L¹(µ) et kf_εk₁ = 1. De plus comme sur B_ε,g(ω)6= 0,

Φ(f_ε) = Z

Ω

f_εgdµ= Z

Bε

¯ g

|g|µ(B_ε)gdµ= 1 µ(B_ε)

Z

Bε

|g|dµ≥ kgk∞−ε >0.

On peut ainsi minorer la norme de Φ par kΦk ≥ |Φ(f_ε)|

kf_εk₁ = Φ(f_ε)≥ kgk∞−ε >0.

Cette minoration ´etant vraie pour 0< ε < kgk_∞, on en d´eduit en faisant tendre ε vers 0 que kΦk ≥ kgk∞, ce qui avec (6.18) permet de conclure kΦk=kgk∞.

Corollaire 6.28. Si 1< p <+∞ et g ∈L^q(µ), kgk_q = sup

kfk_p≤1

Z

Ω

f gdµ . Ceci s’´etend au cas q= +∞, p= 1 siµ est σ-finie.

La proposition6.27 admet une r´eciproque que nous admettrons.

Th´eor`eme 6.29 (Riesz). Siµestσ-finie et 1≤p < +∞, toute forme lin´eaire continue Ψ sur L^p

K(µ) peut s’´ecrire

Ψ : L^p_K(µ)→K, f 7→

Z

Ω

f gdµ,

pour un unique ´el´ementg deL^q o`u <sup>1</sup><sub>p</sub>+<sup>1</sup><sub>q</sub> = 1. On peut ainsi identifier le dual topologique de L<sup>p</sup><sub>K</sub>(µ) `a L^q_K(µ) :

L^p_K(µ)0

= L^q_K(µ), 1≤p <+∞, 1 p +1

q = 1.

Corollaire 6.30. Si µest σ-finie et 1< p <+∞, L^p(µ)est r´eflexif (on peut l’identifier avec son bidual topologique).

Remarque 6.31. En g´en´eral le dual de L^∞ n’est pas L¹. Il contient L¹.